第八章 进阶篇 进阶2 求值与证明问题【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦直线和圆、圆锥曲线的求值与证明问题，按求值（公式性质应用、多步骤运算）和证明（位置关系、数量关系推理）分类梳理，通过题型突破（含例题与跟踪训练）、限时训练等环节，帮助学生构建知识网络，掌握解题方法，体现复习的系统性与针对性。 资料以高考高频考点为核心，采用“例题示范-跟踪巩固-限时检测”分层教学，如例2结合椭圆切线与角平分线证明培养数学思维，跟踪训练强化运算能力，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生综合应考能力。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶2　求值与证明问题 【高考考向预测】 求值与证明问题遍布高中数学各模块，求值侧重利用公式、性质、等量关系计算数值、参数、解析式，证明多围绕等式、不等式、位置关系、存在性等展开，常用综合法、分析法、反证法、数学归纳法等方法；近三年贯穿选择、填空、解答全题型，是高考主流考查形式，考频极高；预测2027 年依旧会全面考查，求值更侧重多步骤运算与变式设问，证明题偏向逻辑严谨性，常结合函数、数列、几何、导数等模块综合命题，强化推理与运算能力。 重点解读　求值问题一般是在给定条件下求几何量或参数问题.求曲线方程与求值问题一般都比较简单或中档难度，往往作为压轴之前的铺垫.圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等). 【题型突破●明方向】 题型一　求值问题 例1　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，焦距为6. (1)求C的方程； (2)过点(0，3)的直线l与C交于M，N两点，若以MN为直径的圆过坐标原点O，求l的方程. 跟踪训练1　已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且·=-4.直线l：x=my+3交椭圆于M，N两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，求的值. 题型二　证明问题 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点P(2，1)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B.求证：PF平分∠AFB. 跟踪训练2　已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过点F的动直线m与C交于M，N两点. (1)若准线l的方程为x=-，求C的方程； (2)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0. 【限时训练】 （40分钟） 1.(13分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，且过点A(0，-1). (1)求C的方程；(4分) (2)过C的上焦点且斜率为k的直线与C交于P，Q两点，证明：AP⊥AQ.(9分) 2.(17分)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为直线x=a上一点.当|AP|=b时，|PF1|=4，|PF2|=2. (1)求椭圆E的方程；(4分) (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B(异于点A). ①若∠F2PF1=∠APF2，求|AP|；(6分) ②证明：∠BPF1=∠APF2.(7分) / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶2　求值与证明问题 【高考考向预测】 求值与证明问题遍布高中数学各模块，求值侧重利用公式、性质、等量关系计算数值、参数、解析式，证明多围绕等式、不等式、位置关系、存在性等展开，常用综合法、分析法、反证法、数学归纳法等方法；近三年贯穿选择、填空、解答全题型，是高考主流考查形式，考频极高；预测2027 年依旧会全面考查，求值更侧重多步骤运算与变式设问，证明题偏向逻辑严谨性，常结合函数、数列、几何、导数等模块综合命题，强化推理与运算能力。 重点解读　求值问题一般是在给定条件下求几何量或参数问题.求曲线方程与求值问题一般都比较简单或中档难度，往往作为压轴之前的铺垫.圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等). 【题型突破●明方向】 题型一　求值问题 例1　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，焦距为6. (1)求C的方程； (2)过点(0，3)的直线l与C交于M，N两点，若以MN为直径的圆过坐标原点O，求l的方程. 【解析】(1)由题可得 解得 所以双曲线C的方程为-=1. (2)由题意知，直线l的斜率一定存在， 设直线l：y=kx+3，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 消去y，整理得(2-k2)x2-6kx-15=0， 则k2≠2，Δ=36k2+60(2-k2)>0， 即-<k<且k≠±， 所以x1+x2=，x1x2=， 若以MN为直径的圆过坐标原点O，则·=0， 所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+3)(kx2+3)=0， 整理得(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0， 所以++9=0，解得k=±，满足题意， 所以直线l的方程为y=x+3或y=-x+3. 【思维升华】(1)求值主要有求长度、面积、角度、斜率、坐标、方程等几何量或参数，所以要熟记相关公式及几何量的意义. (2)突出方程思想，方法是根据所给条件直接求解或列方程(组)求解，在解题过程中要注意几何性质的运用，优化计算方案. 跟踪训练1　已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且·=-4.直线l：x=my+3交椭圆于M，N两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，求的值. 【解析】(1)由题意知A(-a，0)，B(a，0)，C(0，b)，则=(-a，-b)，=(a，-b)， 所以·=-a2+b2=-c2=-4，即c=2， 又e==，所以a=4，b==2， 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)直线l：x=my+3，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 得(3m2+4)y2+18my-21=0，Δ>0， 则y1+y2=-，y1y2=-， 所以my1y2=(y1+y2)， 因为椭圆的左、右顶点分别为A(-4，0)，B(4，0)， 所以k1=，k2=， 所以=====. 题型二　证明问题 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点P(2，1)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B.求证：PF平分∠AFB. (1)【解析】由题意可得 解得 所以椭圆的方程为+=1. (2)证明　易知直线x=2与椭圆相切，不妨设切点为A(2，0)， 另一条切线为y-1=k(x-2)， 由 得(4k2+3)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0， 所以Δ=64k2(2k-1)2-32(4k2+3)(2k2-2k-1)=192k+96=0⇒k=-， 所以xB==1，yB=， 则B，又F(-1，0)， 所以直线BF的斜率 kBF=tan∠BFA==， 所以直线PF的斜率 kPF=tan∠PFA==， 所以tan 2∠PFA===tan∠BFA， 所以2∠PFA=∠BFA，即PF平分∠AFB. 【思维升华】圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 (1)位置关系方面：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面：如相等、存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，有时也可用反证法证明. 跟踪训练2　已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过点F的动直线m与C交于M，N两点. (1)若准线l的方程为x=-，求C的方程； (2)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0. (1)【解析】由抛物线的准线为x=-=-， 则p=3， 故抛物线C的方程为y2=6x. (2)证明　由题设知，A，F， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线m为x=ty+， 与y2=2px联立，可得y2-2pty-p2=0， 则Δ>0，y1+y2=2pt，y1y2=-p2， 则k1+k2=+ = = ===0. 【限时训练】 （40分钟） 1.(13分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，且过点A(0，-1). (1)求C的方程；(4分) (2)过C的上焦点且斜率为k的直线与C交于P，Q两点，证明：AP⊥AQ.(9分) (1)【解析】由已知得a=1，=， 故b=，C的方程为y2-=1. (2)证明　由(1)得双曲线C的上焦点为(0，2)， 设直线PQ：y=kx+2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 得(3k2-1)x2+12kx+9=0，k≠±，Δ>0， 所以x1+x2=-，x1x2=， 所以直线AP和直线AQ的斜率之积为 ·===-1， 因此AP⊥AQ. 2.(17分)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为直线x=a上一点.当|AP|=b时，|PF1|=4，|PF2|=2. (1)求椭圆E的方程；(4分) (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B(异于点A). ①若∠F2PF1=∠APF2，求|AP|；(6分) ②证明：∠BPF1=∠APF2.(7分) (1)【解析】易知F1(-c，0)，F2(c，0)，A(a，0)， 当|AP|=b时，由题意可得 解得 所以椭圆E的方程为+=1. (2)①【解析】根据对称性，不妨设点P在第一象限，且P(5，t)(t>0). tan∠APF2==， tan∠APF1==. 因为∠F2PF1=∠APF2， 所以∠APF1=2∠APF2， tan∠APF1=tan 2∠APF2 ===， 所以=，解得t=2(t=-2舍去)， 所以|AP|=2. ②证明　根据对称性，不妨设点P在第一象限，且P(5，m)(m>0)，直线BP：y=k(x-5)+m，设PB与x轴交于点D， 由 得(16+25k2)x2+50k(m-5k)x+25(5k-m)2-400=0. 由题意可得Δ=[50k(m-5k)]2-4(16+25k2)[25(5k-m)2-400]=0， 得k=，tan∠APF2==. 直线PF1的斜率=， 又∠BPF1=∠PF1A-∠PDA， tan∠PDA=k，tan∠PF1A=， 故tan∠BPF1=tan(∠PF1A-∠PDA)= ==， 所以tan∠APF2=tan∠BPF1， 所以∠BPF1=∠APF2. / 学科网（北京）股份有限公司 $