第八章 进阶篇 进阶1 圆锥曲线中的常见结论及应用【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线综合问题，涵盖椭圆、双曲线、抛物线的焦半径、焦点弦、中点弦等核心二级结论，按焦半径公式、垂径定理、焦点三角形等题型系统架构知识。通过考向预测明确命题趋势，题型突破环节结合例题解析与跟踪训练梳理方法，限时训练强化真题应用，帮助学生构建解题框架突破难点。 资料突出结论推导与实战结合，如例2证明垂径定理培养数学思维中的推理能力，跟踪训练2结合离心率计算发展数学眼光中的抽象能力。设置分层练习与真题限时训练，助力学生在有限时间内提升知识迁移能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考效率提供有力支持。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶篇　圆锥曲线中的综合问题 进阶1　圆锥曲线中的常见结论及应用 【高考考向预测】 圆锥曲线常见结论涵盖椭圆、双曲线、抛物线的焦半径、焦点弦、中点弦、切线、离心率相关二级结论，可快速简化运算、突破解题难点，广泛应用于求值、判断、范围与综合大题；近三年在选填压轴、解答题中频繁渗透，巧用结论能大幅提升解题效率；预测2027 年会继续侧重结论的灵活辨析与合理运用，结合动态几何、定点定值、最值问题命题，注重结论推导与实战结合，规避死记硬背，强化知识迁移能力。 重点解读　圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解. 【题型突破●明方向】 题型一　焦半径公式(第二定义) 例1　(1)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上的一点P满足|PF1|=3|PF2|，若P在第一象限，则点P的坐标为　　　　. 【答案】 【解析】由题意，a=，c=2，e=， 设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则由焦半径公式， |PF1|=+x0，|PF2|=-x0， 因为|PF1|=3|PF2|， 所以+x0=3， 解得x0=， 又点P在椭圆+=1上，且y0>0， 则+=1，得y0=， 故点P的坐标为. (2)过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=　　　　. 【答案】 【解析】方法一　由题意，|AF|=xA+1=3， 所以xA=2，代入y2=4x可得yA=±2， 由对称性，不妨设A(2，2)， 又F(1，0)，所以kAF==2， 故直线AF的方程为y=2(x-1)， 联立 消去y整理得2x2-5x+2=0， 解得x=2或x=， 因为xA=2，所以xB=， 故|BF|=xB+1=. 方法二　如图，设∠AFO=α， 由题意知p=2，则|AF|==3， 所以cos α=-， 故|BF|===. 方法三　由题意，p=2， 所以+==1， 将|AF|=3代入可得|BF|=. 【思维升华】(1)如图1，椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算 ①|PF1|=a+ex0；②|PF2|=a-ex0(记忆：左加右减). (2)如图2，双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算 ①|PF1|=|ex0+a|；②|PF2|=|ex0-a|(记忆：左加右减). (3)如图3，设A为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，点F为抛物线的焦点，直线AF与抛物线的另一个交点为B点，记∠AFO=α，则焦半径|AF|=，|BF|=. 跟踪训练1　(1)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的取值范围为　　　　　　. 【答案】[2，6] 【解析】由题意得a=，c=2，e=， 设P(x0，y0)，其中-≤x0≤， 则|PF1|=+x0，|PF2|=-x0， 所以|PF1|·|PF2|=6-，取值范围为[2，6]. (2)双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|=5，则△PF1F2的面积为　　　　　　. 【答案】6或4 【解析】方法一　由题意得a=1，b=，c=2，e=2， 设P(x0，y0)，则|PF1|=|2x0+1|=5， 解得x0=2或x0=-3， 当x0=2时，代入双曲线方程可求得y0=±3， 所以=·|F1F2|·|y0|=6； 当x0=-3时，代入双曲线方程可求得y0=±2， 所以=·|F1F2|·|y0|=4. 综上所述，△PF1F2的面积为6或4. 方法二　由题意得a=1，b=，c=2， 所以|F1F2|=4， 当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知 |PF1|-|PF2|=2，又|PF1|=5，所以|PF2|=3， 显然+=， 所以PF2⊥F1F2， 从而=·|PF2|·|F1F2|=×3×4=6； 当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2， 又|PF1|=5，所以|PF2|=7， 从而cos∠PF1F2= =-， 所以sin∠PF1F2==， 从而=·|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2 =×5×4×=4. 综上所述，△PF1F2的面积为6或4. 题型二　垂径定理(第三定义) 例2　已知椭圆+=1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM=-. 【证明】方法一　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则kAB=，kOM=， x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， 因为 两式作差得+=0， 即·=-， 于是·=-， 所以kAB·kOM=-. 方法二　设直线AB的方程为y=kx+m， A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 由消去y得 (b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0， 所以x1+x2=-， 于是y1+y2=k(x1+x2)+2m=， 所以M， 于是kOM==-. 因此kAB·kOM=k·=-. 方法三　令=x'，=y'，则x'2+y'2=1. 原题设中的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分别对应单位圆中的点A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是线段A'B'的中点， 由圆的垂径定理得kA'B'·kOM'=-1， 又因为kAB===·kA'B'， kOM===·kOM'， 所以kAB·kOM=·kA'B'··kOM' =·kA'B'·kOM'=-. 【思维升华】(1)椭圆中的垂径定理 (2)双曲线中的垂径定理 (3)垂径定理也可以描述为：设点M是有心圆锥曲线+=1(m>0，n>0，或mn<0)中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦AB的中点，则kAB·kOM=-. (4)若点M是有心圆锥曲线的弦AB的中点，其中AB与坐标轴不垂直且不过中心O，且将圆看作是离心率e=0的特殊的椭圆，则有kAB·kOM=e2-1. 跟踪训练2　(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P使直线AP和BP的斜率之积kAP·kBP∈，则椭圆C的离心率e的取值范围是　　　　　　　. 【答案】 【解析】由题意，-<kAP·kBP=-<0， 所以<，从而a2>3b2=3(a2-c2)， 故>， 所以e=>，又0<e<1， 所以<e<1. (2)已知双曲线C：x2-y2=2 026的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线右支上一点，且∠APB=4∠PAB，则∠PAB=　　　　. 【答案】 【解析】令∠PAB=α，则α∈， ∠PBx=β，则β∈， 则β=5α，所以α∈， 又e2===1+=2， 由双曲线的垂径定理可知 tan α·tan β=tan α·tan 5α=e2-1=1， 则tan α==tan，-5α∈， 则α=-5α，故α=. 题型三　焦点三角形 例3　(多选)如图，F1，F2是圆锥曲线的焦点，A，B为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P为双曲线上任意一点，下列说法正确的是(　　) A.椭圆中△ABF1的周长为4a B.椭圆中当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大 C.椭圆中= D.双曲线中= 【答案】ABD 【解析】对于A，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a显然成立，A正确； 对于B，cos∠F1AF2= = = =-1， ∵|AF1||AF2|≤=a2， 当且仅当|AF1|=|AF2|，即点A是短轴端点时取等号， ∴cos∠F1AF2=-1≥-1， 又∵y=cos θ在(0，π)上单调递减， ∴当A为短轴端点时，∠F1AF2最大，B正确； 对于C，由选项B的推导过程得 cos∠F1AF2=-1， ∴|AF1||AF2|=， ∴=|AF1||AF2|sin∠F1AF2 =··sin∠F1AF2 =b2·=b2tan ，C错误； 对于D，证明方法同椭圆，=，D正确. 【思维升华】对于与焦点三角形有关的结论，在处理椭圆与直线的交点问题时尤为重要，因为它提供了一个固定的几何量，帮助我们验证和推导其他几何性质. 跟踪训练3　已知椭圆C：+=1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.12 【答案】D 【解析】由e=，得=，即a=2c. ① 设△F1PF2的内切圆的半径为r， 因为△F1PF2的内切圆的面积为3π， 所以πr2=3π，解得r=(舍负). 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知=b2tan=r(2a+2c)， 即b2=(a+c)， ② 又a2=b2+c2， ③ 联立①②③得c=3，a=6，b=3， 所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2020·新课标全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2-=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为(　　) A. B.3 C. D.2 【答案】B 【解析】方法一　由题意知a=1，b=，c=2，F1(-2，0)，F2(2，0)， 如图，因为|OF1|=|OF2|=|OP|=2， 所以点P在以F1F2为直径的圆上， 故PF1⊥PF2， 则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16. 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2， 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4， 所以|PF1||PF2|=6， 所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=3. 方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上， 且|F1F2|=2=4. 设点P的坐标为(x0，y0)， 则解得|y0|=. 所以△PF1F2的面积为 |F1F2|·|y0|=×4×=3. 方法三　由|F1F2|=4，|OP|=2，可知∠F1PF2=， 所以==3. 2.椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由垂径定理得·=-=-，又∈[-2，-1]，所以∈. 3.如图，A，B分别是椭圆C：+=1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1， 又 所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4=-1， 则e=. 4.已知双曲线的中心为原点O，且一个焦点为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为-，则此双曲线方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【答案】D 【解析】由条件知，线段MN的中点P在直线y=x-1上，所以P， 由垂径定理有kMN·kOP==e2-1， 即1×=e2-1，解得e=， 又c=，所以a=，b=， 故所求双曲线方程为-=1. 5.如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设双曲线C2的方程为-=1(a2>0，b2>0)，则有+===4-1=3. 设椭圆C1中，a1=2，b1=1，又四边形AF1BF2为矩形， 所以△AF1F2的面积为tan 45°=， 即==1，所以=-=3-1=2， 故双曲线C2的离心率e===. 6.已知双曲线C：-=1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，则+(c为双曲线C的半焦距)的取值范围是(　　) A.[4，+∞) B. C. D.[2，4] 【答案】B 【解析】由双曲线的第二定义可知 |PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a， ∵右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|， ∴ex0+a=3(ex0-a)⇒ex0=2a， 由e=，解得x0=， ∵P在右支上，可得x0=≥a， 又c>a，可得1<≤2，即1<e≤2， 则+=+4=e2+-4， 令e2=t，1<t≤4，可得+=e2+-4 =t+-4=-4， 而f(t)=在(1，4]上单调递减， ∴∈，∴2≤+<. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A.弦AB的长度的最小值为 B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a C.若AB的中点为M，坐标原点为O，且直线AB的斜率为k，则kOM·k= D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，+∞) 【答案】ABC 【解析】弦AB的长度的最小值为通径，故A正确； 由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a， |BF1|-|BF2|=2a， 所以|AF1|=|AF2|+2a，|BF1|=|BF2|+2a， |AF1|+|BF1|=|AF2|+2a+|BF2|+2a =|AB|+4a，则△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确； 根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=kOM·k=，故C正确； 若直线AB的斜率为，所以<， 所以b2<3a2，所以c2<4a2， 所以e=∈(1，2)，故D错误. 8.已知椭圆+y2=1，A，B分别为长轴的左、右端点，F1，F2分别为左、右焦点，点P为椭圆上除去A，B之外的任意一点，则(　　) A.△PAB面积的最大值为2 B.|PF1|2+|PF2|2的最大值为8 C.kPA·kPB= D.若∠F1PF2=60°，则= 【答案】AD 【解析】依题意知，a=2，b=1，c=，当P为短轴端点时，(S△PAB)max=×2a×b=2，A正确； ∵|PF1|+|PF2|=2a=4， 由≤知， ≥2， 即|PF1|2+|PF2|2≥8，当且仅当P为短轴端点时，等号成立，故B错误； 由垂径定理得，kPA·kPB=-=-，C错误； =b2tan=1×tan 30°=，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知双曲线-=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=120°，则△F1MF2的面积为　　　　　. 【答案】 【解析】根据双曲线焦点三角形的面积公式的二级结论得===. 10.双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围为　　　　. 【答案】∪ 【解析】∠F1PF2为钝角⇒cos∠F1PF2<0， 而cos∠F1PF2=， 所以+-<0， 由题意得a=1，b=，c=2，|F1F2|=4， 设P点的横坐标为x0，由焦半径公式得|PF1|=|2x0+1|，|PF2|=|2x0-1|， 所以+-16<0， 解得-<x0<， 又x0≤-1或x0≥1，且当x0=±1时， ∠F1PF2=180°， 所以点P的横坐标x0的取值范围为∪. / 学科网（北京）股份有限公司 $第八章直线和圆、圆锥曲线 进阶篇圆锥曲线中的综合问题 进阶1圆锥曲线中的常见结论及应用 【高考考向预测】 圆锥曲线常见结论涵盖椭圆、双曲线、抛物线的焦半径、焦点弦、中点弦、切线、离心率相关二 级结论，可快速简化运算、突破解题难点，广泛应用于求值、判断、范围与综合大题；近三年在选填 压轴、解答题中频繁渗透，巧用结论能大幅提升解题效率；预测2027年会继续侧重结论的灵活辨析 与合理运用，结合动态几何、定点定值、最值问题命题，注重结论推导与实战结合，规避死记硬背， 强化知识迁移能力。 【重点解读】圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基 础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解 题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解 【题型突破●明方向】 题型一焦半径公式（第二定） 例1(1)椭圆菩+号=1的左、右焦点分别为乃，乃，椭圆上的一点P满足P3PP,若P在第 一象限，则点P的坐标为 (2)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线1与C交于A,B两点，若AF=3,则BF= 跟踪训练1()椭圆号+号=1的左、右焦点分别为F,乃，点P在椭圆上，则PFPF的取值范 围为 (2)双曲线x2.号=1的左、右焦点分别为F1,E2,双曲线上的一点P满足PF5,则△PF,F2的面 积为 题型二垂径定理（第三定义 V 例2已知椭圆等器+存=1(>b>0),不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A,B两点，M为线段AB的中 点，直线AB和OMO是坐标原点)的斜率分别为4，ka,求证：ak一 跟踪训练2()已知椭圆C:等+斧=1@>b>0,点4，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P 使直线AP和BP的斜率之积k4Pkp∈（-青，O),则椭圆C的离心率e的取值范围是， (2)已知双曲线C:x2-y2=2026的左、右顶点分别为A,B,P为双曲线右支上一点，且∠APB=4∠ PAB,则∠PAB= 题型三焦点三角形 例3（多选）如图，F,F2是圆锥曲线的焦点，A,B为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P为双曲 线上任意一点，下列说法正确的是() A.椭圆中△AB1的周长为4a B.椭圆中当A为短轴的端点时，∠FAF2最大 b2 C.椭圆中S△AF,F:tm 2 D.双曲线中S△PF,F:tan呼 跟踪训练3已知椭圆C:等+F-1(o>b0,其左、右焦点分别为A,A,离心率e支，点P为 该椭圆上一点，且满足∠FPF2=号，己知△FPF2的内切圆的面积为3沅，则该椭圆的长轴长为 () A.2 B.4 C.6 D.12 【限时训练】 (40分钟) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1.(2020新课标全国I)设F1,2是双曲线C:x2号=1的两个焦点，0为坐标原点，点P在C上且 OP=2,则△PF1F2的面积为() A B.3 c D.2 2.椭圆C:等+号=1的左、右顶点分别为A1,A,点P在椭圆C上，直线P42的斜率的取值范围是[-2， -1],那么直线PA1的斜率的取值范围是() A.[,] B[,] c[克，1] D.[,1] 3如图，4，B分别是椭圆C:等+号1(a>b>0)的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆0上（点 P异于A,B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q,若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍， 则椭圆C的离心率为() A号 B 2 D 4.已知双曲线的中心为原点O,且一个焦点为F(W万，0，直线yx-l与其相交于M,N两点，MW中 点的横坐标为号，则此双曲线方程为 ) A.等-号1 B号1 c'-1 D.等若1 5.如图，F,F,是椭圆C:等+y2=1与双曲线C,的公共焦点，A,B分别是C,C在第二、四象限的 公共点.若四边形AFBF2为矩形，则C2的离心率是() A.v2 B.5 c D 6.已知双曲线C:器-号=1(@>0)的右支上的点Pto,W满足Pp3PF,B,分别是双曲线的左、右 焦点)，则焉+y(c为双曲线C的半焦距)的取值范围是() A[4V2,+∞) B[2,) c[42,) D.2,4V2] 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 7.已知双曲线C:等器-1Q>0,b0)的左、右焦点分别是R,P,其中RF-2c,过右焦点乃的直 线1与双曲线的右支交于A,B两点，则下列说法中正确的是() A.弦AB的长度的最小值为受 B.若AB=m,则△FAB的周长为2m+4a C若AB的中点为M,坐标原点为O,且直线AB的斜率为k,则rk号 D.若直线AB的斜率为V3,则双曲线的离心率e∈[2，+∞) 8.已知椭圆等+2=1，A,B分别为长轴的左、右端点，F,乃，分别为左、右焦点，点P为椭圆上除去 A,B之外的任意一点，则() A.△PAB面积的最大值为2 B.PF12+PF22的最大值为8 C.APB吉 D.若∠FPF,60,则SaPR,r5 三、填空题（每小题5分，共10分） 9.已知双曲线等茶1上一点M与两焦点R,乃所成的角∠RM,=120°，则△FMR:的面积 为 10.双曲线2号=1的左、右焦点分别为F,F2,双曲线上的一点P满足∠FPP2为钝角，则点P的横 坐标的取值范围为