第八章 进阶篇 进阶5 平面解析几何定值问题【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕解析几何定值问题，整合直线、圆、圆锥曲线等核心考点，按考向预测、方法解读、题型突破、限时训练递进架构，通过考点梳理、方法指导（特殊探路、代数推理）、真题演练帮助学生突破参数处理难点，体现复习系统性与针对性。 特色在于采用“特殊探路-一般证明”教学策略，如例1先求轨迹方程再证角度定值，培养数学思维与推理能力，分层设置例题、跟踪训练及限时题，强化运算能力与模型观念，助力学生高效解题，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶5　定值问题 【高考考向预测】 定值问题主要集中在解析几何板块，指图形动态变化过程中线段长度、斜率、乘积、和差、角度等相关量保持固定不变，解题常用设参联立、代数化简、消去参数推导结论，也可先取特殊情形预判定值再一般性证明；近三年在高考解答题中频繁出现，选填题也偶有考查，考频较高；预测2027 年仍会以椭圆、抛物线结合直线为主要命题载体，加大参数复杂度与运算量，注重数形结合、逻辑推导，常与最值、定点问题融合综合设问。 重点解读　解析几何中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等)的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，始终是一个确定的数值. 1.解决定值问题的基本方法是函数方法 (1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 常见的定值问题有：①斜率为定值；②斜率和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离、面积为定值；⑤数量积为定值；⑥系数和为定值. 【题型突破●明方向】 题型一　与斜率、角度有关的定值问题 例1　已知双曲线2x2-2y2=1的两个焦点为F1，F2，P为动点，若|PF1|+|PF2|=2. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点M(0，1)，过点N作直线l交轨迹E于A，B两点，判断∠AMB的大小是否为定值？并证明你的结论. 跟踪训练1　已知圆C经过D(0，2)，E(0，-2)，F(1，-)三点. (1)求圆C的方程； (2)设点P(2，4)，圆C与x轴正半轴交于点Q，过点P的直线与圆C交于A，B两点，证明：直线QA，QB的斜率之和为定值. 题型二　与距离、面积、系数和有关的定值问题 例2　(2026·太原模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，△MF1F2的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设=λ1，=λ2，试判断λ1+λ2是否为定值？请说明理由. 跟踪训练2　已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点. (1)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程； (2)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A，B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由. 【限时训练】 （40分钟） 1.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，其短轴长为2. (1)求椭圆C的方程；(5分) (2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率分别为kOP，k，kOQ，且k2=kOPkOQ，O为坐标原点，证明：直线l的斜率为定值.(12分) 2.(17分)在平面直角坐标系Oxy中，点A(-2，0)，B(2，0)，过点M的直线AM与BM的斜率之积为. (1)求点M的轨迹C的方程；(5分) (2)过曲线C上任一点N作C的切线l，若l与直线y=x，y=-x分别交于点P，Q，试判断△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(12分) / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶5　定值问题 【高考考向预测】 定值问题主要集中在解析几何板块，指图形动态变化过程中线段长度、斜率、乘积、和差、角度等相关量保持固定不变，解题常用设参联立、代数化简、消去参数推导结论，也可先取特殊情形预判定值再一般性证明；近三年在高考解答题中频繁出现，选填题也偶有考查，考频较高；预测2027 年仍会以椭圆、抛物线结合直线为主要命题载体，加大参数复杂度与运算量，注重数形结合、逻辑推导，常与最值、定点问题融合综合设问。 重点解读　解析几何中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等)的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，始终是一个确定的数值. 1.解决定值问题的基本方法是函数方法 (1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 常见的定值问题有：①斜率为定值；②斜率和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离、面积为定值；⑤数量积为定值；⑥系数和为定值. 【题型突破●明方向】 题型一　与斜率、角度有关的定值问题 例1　已知双曲线2x2-2y2=1的两个焦点为F1，F2，P为动点，若|PF1|+|PF2|=2. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点M(0，1)，过点N作直线l交轨迹E于A，B两点，判断∠AMB的大小是否为定值？并证明你的结论. 【解析】(1)依题意双曲线方程可化为-=1， 则|F1F2|=2， ∴|PF1|+|PF2|=2>|F1F2|=2， ∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦点在x轴上， 其方程可设为+=1(a>b>0)， ∴由2a=2，2c=2得a=，c=1， ∴b2=2-1=1， 则所求椭圆方程为+y2=1， 故动点P的轨迹E的方程为+y2=1. (2)由题意可得直线l的斜率一定存在， 设直线l的方程为y=kx-，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 得(1+2k2)x2-kx-=0， Δ=+4×(1+2k2)>0. ∴x1+x2=，x1x2=-. ∴·=(x1，y1-1)·(x2，y2-1) =x1x2+(y1-1)(y2-1) =x1x2+ =(k2+1)x1x2-(x1+x2)+ =(k2+1)·-·+ ==0， ∴⊥， ∴∠AMB=90°，为定值. 【思维升华】解决定值问题的处理技巧 (1)思路：可从特殊情况入手(如直线的斜率不存在时)，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数，以利于向目标靠拢. 跟踪训练1　已知圆C经过D(0，2)，E(0，-2)，F(1，-)三点. (1)求圆C的方程； (2)设点P(2，4)，圆C与x轴正半轴交于点Q，过点P的直线与圆C交于A，B两点，证明：直线QA，QB的斜率之和为定值. (1)【解析】因为D(0，2)，E(0，-2)，F(1，-)， 所以|OD|=|OE|=2，|OF|==2，其中O为坐标原点(0，0)， 所以|OD|=|OE|=|OF|=2， 所以圆C是以坐标原点O为圆心，2为半径的圆， 故圆C的方程为x2+y2=4. (2)【证明】由题意知Q(2，0)，直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为y-4=k(x-2)， 联立 得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0， 由已知Δ=[-4k(k-2)]2-4(1+k2)[(2k-4)2-4]>0⇒k>， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠2，x2≠2， 则 所以kQA+kQB=+ =+ =2k++=2k+ =2k+ =2k-(2k+1)=-1， 即直线QA，QB的斜率之和是定值，该定值为-1. 题型二　与距离、面积、系数和有关的定值问题 例2　(2026·太原模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，△MF1F2的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设=λ1，=λ2，试判断λ1+λ2是否为定值？请说明理由. 【解析】(1)由题意得可得 又b2=a2-c2=4-1=3， 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由题得直线l的斜率一定存在， 由(1)知F2(1，0)， 设直线l的方程为y=k(x-1)， 联立 消去y，整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0， Δ=144(k2+1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠1，x2≠1， 则x1+x2=，x1x2=， 又F2(1，0)，P(0，-k)，则=(x1，y1+k)，=(1-x1，-y1)， 由=λ1得x1=λ1(1-x1)， 所以λ1=， 同理得λ2=， 所以λ1+λ2=+= = ===-， 所以λ1+λ2为定值-. 【思维升华】解析几何中的定值，从代数角度看，定值与参数的取值无关，选择适当的变量以及消参方法，就可以得出定值.解答解析几何问题，方法的选择至关重要，如果方法选择不当，那么会导致计算量过大，就不易得到正确的运算结果，在分析清楚解题思路的基础上，树立优化意识，即算法的内在逻辑分析，优化解法. 跟踪训练2　已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点. (1)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程； (2)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A，B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)设抛物线方程为y2=2px(p≠0)， 则抛物线的焦点坐标为. 由已知，=2， 即p=4，故抛物线C的方程是y2=8x. (2)设圆心为M(a，b)，点A(0，y1)，B(0，y2). 因为圆M过点P(2，0)， 则圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=(a-2)2+b2. 令x=0，得y2-2by+4a-4=0， Δ=4b2-16a+16>0， 则y1+y2=2b，y1y2=4a-4. 所以|AB|===. 设抛物线C的方程为y2=mx(m≠0)， 因为圆心M在抛物线C上，则b2=ma. 所以|AB|==. 由此可得，当m=4时，|AB|=4为定值. 故存在一条抛物线y2=4x，使|AB|为定值4. 【限时训练】 （40分钟） 1.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，其短轴长为2. (1)求椭圆C的方程；(5分) (2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率分别为kOP，k，kOQ，且k2=kOPkOQ，O为坐标原点，证明：直线l的斜率为定值.(12分) (1)【解析】由题意可得解得 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)【证明】由题意可知直线l的斜率小于0， 设直线l的方程为y=kx+m(k<0，m>0)， 由 消去y后整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0， ∵直线l与椭圆C交于两点， ∴Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1) =16(4k2-m2+1)>0. 设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1+x2=， ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+km(x1+x2)+m2. ∵k2=kOPkOQ，x1x2>0， ∴k2=·=， 整理得km(x1+x2)+m2=0， ∴+m2=0， 又m>0，∴k2=， ∵k<0，即k=-， 故直线l的斜率为定值-. 2.(17分)在平面直角坐标系Oxy中，点A(-2，0)，B(2，0)，过点M的直线AM与BM的斜率之积为. (1)求点M的轨迹C的方程；(5分) (2)过曲线C上任一点N作C的切线l，若l与直线y=x，y=-x分别交于点P，Q，试判断△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(12分) 【解析】(1)设点M(x，y)(x≠±2)， 则kAM=，kBM=， 故×=， 整理得-y2=1， 所以动点M的轨迹C的方程为-y2=1(x≠±2). (2)由题意可得切线l的斜率存在，设其斜率为k，k≠±， 设点N(x0，y0)(x0≠±2)， 则l：y-y0=k(x-x0). 联立 消去y得(1-4k2)x2+8k(kx0-y0)x-4(kx0-y0)2-4=0， 则Δ=64k2(kx0-y0)2+4(1-4k2)[4(kx0-y0)2+4]=0， 故(kx0-y0)2=4k2-1， ① 联立 消去y得x=， 则P， 同理可得Q， 故|PQ|= = =4， 又点O到切线l的距离d=， 所以S△OPQ=|PQ|d=×4×， 将①式代入得S△OPQ=2，故△OPQ的面积是定值2. / 学科网（北京）股份有限公司 $