第八章 必刷小题16 圆锥曲线【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定义、方程及几何性质，通过基础到综合的题型设计，构建从概念到动态探究的知识逻辑链，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-5题|考查椭圆、双曲线、抛物线定义及标准方程|从曲线定义出发，推导标准方程，关联焦点、离心率等基础量| |几何性质综合|单选6-8题、多选9-11题|结合渐近线、斜率乘积、焦点三角形等性质|以离心率、渐近线为核心，构建性质间推导关系，强化数形结合| |动态探究与交汇|填空14题|涉及轨迹问题、参数范围及多曲线组合|从静态性质延伸至动态几何，体现知识应用的拓展性与综合性|

第八章 直线和圆、圆锥曲线 必刷小题16　圆锥曲线 [分值：73分] 【高考考向预测】 圆锥曲线包含椭圆、双曲线、抛物线三大类，核心考查定义、标准方程、几何性质、离心率、渐近线等基础内容，常结合直线综合考查位置关系、弦长、定点定值、最值、参数范围与轨迹问题，注重数形结合和代数运算；近三年是高考数学重难点，选填、压轴解答题均高频考查，分值占比大；预测2027 年依旧保持高考查力度，偏向多条件综合推理、动态几何探究与复杂运算，强化不同曲线组合命题以及新情境下的知识活用。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知椭圆x2+ky2=5的一个焦点是(0，2)，则k等于(　　) A. B. C.5 D. 【答案】A 【解析】椭圆x2+ky2=5，即+=1，由椭圆的焦点坐标为(0，2)，得-5=4， 所以k=. 2.焦点在x轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.-y2=1 【答案】A 【解析】依题意，设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，c为双曲线的半焦距，则2c=4，e==2，解得c=2，a=1， 所以b==， 故该双曲线的标准方程为x2-=1. 3.(2026·咸阳模拟)抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线-y2=1的右焦点重合，则抛物线的准线方程为(　　) A.x=-5 B.x=-4 C.x=-3 D.x=-2 【答案】D 【解析】对于双曲线-y2=1，因为a2=3，b2=1，所以c2=a2+b2=4，所以c=2. 所以双曲线的右焦点的坐标为(2，0). 对于抛物线y2=2px(p>0)，因为焦点为(2，0)，即=2，可得p=4. 所以其准线方程为x=-2. 4.已知焦点在y轴上的双曲线-=1的两条渐近线互相垂直，则m等于(　　) A.1 B.- C.-4 D.1或-4 【答案】C 【解析】方法一　因为双曲线-=1即-=1的焦点在y轴上，所以a2=m2-4，b2=-3m， 所以解得m<-2. 又双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以-×=-1， 即(m-1)(m+4)=0，解得m=-4或m=1(舍去). 方法二　由题意知，该双曲线是焦点在y轴上的等轴双曲线，则m<0且m2-4=-3m，即(m-1)(m+4)=0，故m=-4. 5.已知点P(x，y)满足=|x+1|，Q(4，0)，则|PQ|的最小值为(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【解析】由=|x+1|，化简得y2=4x， 设P，则|PQ|===≥2， 当且仅当t=±2时等号成立， 故|PQ|的最小值为2. 6.设P是椭圆C：+=1(a>b>0)上不同于左顶点A，右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若椭圆C的离心率为，则k1k2等于(　　) A.- B.- C.- D.- 【答案】C 【解析】由椭圆C：+=1(a>b>0)， 可得A(-a，0)，B(a，0)， 设P(x，y)(x≠±a)，由+=1， 可得y2=， 因为椭圆C的离心率为， 可得e===，解得=， 又因为k1=，k2=， 可得k1k2=·==-=-. 7.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l垂直于C的一条渐近线，且与C的左、右两支分别交于点A，B，若|AB|=|AF1|，则C的渐近线方程为(　　) A.y=±(1+)x B.y=±(2+)x C.y=±x D.y=±x 【答案】A 【解析】由|AB|=|AF1|，|AF2|-|AF1|=2a，可得|BF2|=2a，连接BF1(图略)，则|BF1|=|BF2|+2a=4a. 由双曲线的渐近线方程为y=±x， 即bx±ay=0，右焦点为F2(c，0)， 右焦点F2(c，0)到渐近线的距离为=b， 因为l垂直于C的一条渐近线， 所以cos∠BF2F1=. 在△BF2F1中，由余弦定理可得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos∠BF2F1， 即16a2=4a2+4c2-2×2a×2c×， 化简整理得--2=0， 解得=1+或=1-<0(舍去)，故C的渐近线方程为y=±x=±(1+)x. 8.已知抛物线M：y2=2px(p>0)，直线l1：y=kx+b与抛物线M交于A，B两点(A点在B点上方)，直线l2：y=kx+d(b≠d)交抛物线M于C，D两点(C点在D点上方)，直线AC与直线BD交于点E，交点E的纵坐标为，则抛物线M的方程为(　　) A.y2=4x B.y2=2x C.y2=x D.y2=8x 【答案】D 【解析】根据题意得k≠0， 联立得y2-y+b=0， 可得yA+yB=，同理可得yC+yD=， 记AB的中点为P，CD的中点为Q，则yP=yQ=， 又EP为△EAB底边AB上的中线，EQ为△ECD底边CD上的中线，且AB∥CD， 所以P，Q，E三点共线，可得yP=yQ=yE=， 所以=，即p=4. 所以抛物线M的方程为y2=8x. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且|PF1|-|PF2|=2，则下列说法正确的是(　　) A.|PF1|=3 B.椭圆的焦距为2 C.△PF1F2的周长为6+2 D.点P在圆x2+y2=5上 【答案】CD 【解析】由椭圆C：+=1可得a=3，b=2，则c==，则椭圆的焦距为2c=2，故B错误； 又因为|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|-|PF2|=2， 解得|PF1|=4，|PF2|=2，故A错误； △PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2+2c=6+2，故C正确； 又因为|PF1|2+|PF2|2=42+22=20=|F1F2|2，则PF1⊥PF2， 因为坐标原点O是F1F2的中点，则|OP|=|F1F2|=，即点P在圆x2+y2=5上，故D正确. 10.抛物线Γ的焦点在x轴正半轴上，其焦点到准线的距离为2，点P(4，y0)(y0>0)是Γ上一点.设直线l的斜率存在且与Γ相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则(　　) A.抛物线方程为y2=8x B.直线l的斜率为 C.若直线AP与BP的斜率互为相反数，则直线l的斜率为- D.若直线l过抛物线的焦点，且倾斜角为60°，则△PAB的面积为3 【答案】BC 【解析】由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，由焦点到准线的距离为2得-=p=2，故抛物线方程为y2=4x，A错误； 直线l的斜率为==，B正确； 由点P(4，y0)(y0>0)是抛物线上一点，可得y0==4，所以P(4，4)， 由AP与BP的斜率互为相反数可得kAP+kBP=+=+==0， 所以yA+yB=-8，由选项B可得直线l的斜率为==-，C正确； 若直线l过焦点且倾斜角为60°，直线l的方程为y=(x-1)，联立可得3x2-10x+3=0，则xA+xB=， 所以|AB|=xA+xB+p=+2=，点P到直线AB的距离为=，故△PAB的面积为××=，D错误. 11.(2026·石家庄模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，虚轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点(其中点M在第一象限内)，则(　　) A.双曲线C的方程为-y2=1 B.当F1M⊥MN时，|MF1|=1+ C.若cos∠F1MF2=，则△MF1F2的面积为3 D.当k=-时，△F1MF2的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】对于A，由|F1F2|=4，虚轴长为2，得2c=4，2b=2，即c=2，b=， 所以a==1，故双曲线C的方程为x2-=1，故A错误； 对于B，由F1M⊥MN，则|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=16， 故(|MF1|-|MF2|)2+2|MF1||MF2|=16，而|MF1|-|MF2|=2a=2，所以|MF1||MF2|=6， 故|MF2|2+2|MF2|-6=0，得|MF2|=-1(负值舍去)，所以|MF1|=1+，故B正确； 对于C，由cos∠F1MF2=得∠F1MF2=，根据双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2. 由余弦定理可得cos∠F1MF2=，即=， 可得|MF1||MF2|=12，所以△MF1F2的面积为|MF1||MF2|sin=×12×=3，故C正确； 对于D，当k=-时，直线MN的方程为y=-(x-2)， 联立消去y并整理得4x2-20x+21=(2x-3)(2x-7)=0， 解得x=或x=，故点M的横坐标为，纵坐标为， =|F1F2|·=，M，F1(-2，0)，F2(2，0)， △F1MF2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=++4=4+2+4=10， 设△F1MF2的内切圆半径为r，则=×10r=5r=，解得r=，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.设F1，F2是双曲线C：-=1的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且|PF1|=，则|PF2|=　　　　. 【答案】 【解析】因为a2=4，b2=5，即a=2，又点P在双曲线C上，所以||PF1|-|PF2||=2a=4， 又c2=a2+b2=9，则c=3，所以|F1F2|=2c=6， 所以=4， 解得|PF2|=或|PF2|=. 当|PF2|=时，|PF1|+|PF2|=5<|F1F2|=6，不符合题意； 当|PF2|=时，|PF1|+|PF2|=13>|F1F2|=6，符合题意， 所以|PF2|=. 13.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点，当S△AOB=2时，|AF|·|BF|=　　　　　. 【答案】8 【解析】由已知得xP+=2+=3，则p=2，所以抛物线方程为y2=4x， 设直线AB的倾斜角为α， 由于直线AB过焦点F， 则S△AOB===2，解得sin α=， 又+==1，所以|AF|·|BF|=|AF|+|BF|=|AB|===8. 14.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，若该椭圆上存在不同的两点A，B，使得=2，则该椭圆的离心率的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F1(-c，0)，F2(c，0)(c为椭圆的半焦距)， 则由=2， 可得(x1+c，y1)=2(x2-c，y2)， 所以 ① 又因为点A，B都在椭圆上， 所以 ② 由方程组①②可得x2=， 因为x2=<a， 所以3c2-4ac+a2<0，又e=， 即3e2-4e+1<0，解得<e<1. 所以该椭圆的离心率的取值范围是. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 必刷小题16　圆锥曲线 [分值：73分] 【高考考向预测】 圆锥曲线包含椭圆、双曲线、抛物线三大类，核心考查定义、标准方程、几何性质、离心率、渐近线等基础内容，常结合直线综合考查位置关系、弦长、定点定值、最值、参数范围与轨迹问题，注重数形结合和代数运算；近三年是高考数学重难点，选填、压轴解答题均高频考查，分值占比大；预测2027 年依旧保持高考查力度，偏向多条件综合推理、动态几何探究与复杂运算，强化不同曲线组合命题以及新情境下的知识活用。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知椭圆x2+ky2=5的一个焦点是(0，2)，则k等于(　　) A. B. C.5 D. 2.焦点在x轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.-y2=1 3.(2026·咸阳模拟)抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线-y2=1的右焦点重合，则抛物线的准线方程为(　　) A.x=-5 B.x=-4 C.x=-3 D.x=-2 4.已知焦点在y轴上的双曲线-=1的两条渐近线互相垂直，则m等于(　　) A.1 B.- C.-4 D.1或-4 5.已知点P(x，y)满足=|x+1|，Q(4，0)，则|PQ|的最小值为(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 6.设P是椭圆C：+=1(a>b>0)上不同于左顶点A，右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若椭圆C的离心率为，则k1k2等于(　　) A.- B.- C.- D.- 7.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l垂直于C的一条渐近线，且与C的左、右两支分别交于点A，B，若|AB|=|AF1|，则C的渐近线方程为(　　) A.y=±(1+)x B.y=±(2+)x C.y=±x D.y=±x 8.已知抛物线M：y2=2px(p>0)，直线l1：y=kx+b与抛物线M交于A，B两点(A点在B点上方)，直线l2：y=kx+d(b≠d)交抛物线M于C，D两点(C点在D点上方)，直线AC与直线BD交于点E，交点E的纵坐标为，则抛物线M的方程为(　　) A.y2=4x B.y2=2x C.y2=x D.y2=8x 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且|PF1|-|PF2|=2，则下列说法正确的是(　　) A.|PF1|=3 B.椭圆的焦距为2 C.△PF1F2的周长为6+2 D.点P在圆x2+y2=5上 10.抛物线Γ的焦点在x轴正半轴上，其焦点到准线的距离为2，点P(4，y0)(y0>0)是Γ上一点.设直线l的斜率存在且与Γ相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则(　　) A.抛物线方程为y2=8x B.直线l的斜率为 C.若直线AP与BP的斜率互为相反数，则直线l的斜率为- D.若直线l过抛物线的焦点，且倾斜角为60°，则△PAB的面积为3 11.(2026·石家庄模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，虚轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点(其中点M在第一象限内)，则(　　) A.双曲线C的方程为-y2=1 B.当F1M⊥MN时，|MF1|=1+ C.若cos∠F1MF2=，则△MF1F2的面积为3 D.当k=-时，△F1MF2的内切圆半径为 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.设F1，F2是双曲线C：-=1的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且|PF1|=，则|PF2|=　　　　. 13.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点，当S△AOB=2时，|AF|·|BF|=　　　　　. 14.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，若该椭圆上存在不同的两点A，B，使得=2，则该椭圆的离心率的取值范围是　　　　　　. / 学科网（北京）股份有限公司 $