专题01 一元二次不等式的解法（专项训练）数学人教B版高一必修第一册.zip

**基本信息** 聚焦一元二次不等式解法，以9类题型构建从基础到综合的递进训练体系，通过分层突破培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|9类题型含选择、填空、解答题|覆盖不含参数解法、三个二次关系、参数确定、含参不等式、根分布、恒成立（实数集/区间）、有解问题及实际应用|从基础解法到参数讨论，再到函数与方程思想应用，形成“概念-方法-应用”逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|含单选、多选等综合题|融合集合、命题、实际情境的复杂问题|深化知识内在联系，培养数学眼光观察现实问题、用数学语言表达解决过程|

专题01 一元二次不等式的解法 常考题型·精准突破 题型01 解不含参数的一元二次不等式（高频） 题型02 三个二次的关系求参 题型03 利用一元二次不等式的解确定参数（重） 题型04 解含有参数的一元二次不等式（难） 题型05 根的分布问题（难） 题型06 在实数集上恒成立问题（重） 题型07 在某区间上的恒成立问题 题型08 在某区间上有解问题 题型09 一元二次不等式的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01 解不含参数的一元二次不等式 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西渭南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津红桥·期末）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 4．（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东深圳·期末）不等式的解集是___________． ◆题型02 三个二次的关系求参 1．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 2．（25-26高一上·北京·期中）如果关于的不等式的解集是，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 5．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 ◆题型03 利用一元二次不等式的解确定参数 1．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 5．（25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 6．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． ◆题型04 解含有参数的一元二次不等式 1．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知． (1)若的解集为，求关于x的不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 4．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 5．解不等式. ◆题型05 根的分布问题 1．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 2．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 5．（25-26高一上·福建福州·自主招生）已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． ◆题型06 在实数集上恒成立问题 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． ◆题型07 在某区间上的恒成立问题 1．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 5．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型08 在某区间上有解问题 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 4．（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 5．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． ◆题型09 一元二次不等式的实际应用 1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 3．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 4．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 5．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南·期末）已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南南阳·阶段检测）若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山西长治·阶段检测）已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高一下·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 7．（24-25高一上·江苏·阶段检测）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 8．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 三、填空题 9．（25-26高二下·广东深圳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 10．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，关于x的不等式的解集恰为，则a=______，b=______. 四、解答题 11．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次不等式的解法 常考题型·精准突破 ◆题型01 解不含参数的一元二次不等式 1． 【答案】D 【详解】，故. 2． 【答案】C 【详解】对原不等式变形，得， 得，解得， 所以不等式的解集为(−2,5). 3． 【答案】B 【分析】直接求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为，故B正确. 4． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 5． 【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 6． 【答案】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． ◆题型02 三个二次的关系求参 1． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，求出、的值，进而求出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两个根， 所以，，所以，. 所以. 故选：C. 2． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可求得的值，进而得到结果. 【详解】不等式的解集为， 方程的两根分别为和， ，即，，. 故选：C. 3． 【答案】BD 【分析】根据一元二次方程与一元二次函数的关系，结合韦达定理逐项判断即可． 【详解】由不等式的解集为， 所以，，故A错误； 方程的两个根为， ，则，故B正确，C错误； ，故D正确． 4． 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 5． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． ◆题型03 利用一元二次不等式的解确定参数 1． 【答案】C 【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可. 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 2． 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 3． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 4． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 5． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 6． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 ◆题型04 解含有参数的一元二次不等式 1． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 2． 【答案】ABD 【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 3． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可. 【详解】（1）已知的解集为，说明1和2是方程的根． 由韦达定理：，可得， 将代入不等式，得， 所以或． 因此，不等式的解集为． （2）先对进行因式分解： 即解，需要根据a的取值分类讨论： （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式变为，解集为全体实数R； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上所述：当时，；当时，；当时，． 4． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 5． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式可化为，即，解集为； 当时，原不等式可化为，解集为； 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为， 当时，解集为． ◆题型05 根的分布问题 1． 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 2． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 3． 【答案】D 【分析】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题，即在上有两个不同的零点，结合二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 4． 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 5． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合韦达定理与正根的符号条件，分析判别式、根的和与积的范围，确定的取值区间； (2)先化简目标代数式，代入韦达定理的结果转化为关于的函数，通过配方法求其最大值. 【详解】（1）对于方程，设其两根为. 由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0. 由得，解得；由得，解得. 综上所述，的取值范围是. （2） . 因为，所以当时，原式取得最大值为. ◆题型06 在实数集上恒成立问题 1． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 2． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 3． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 4． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 5． 【答案】ACD 【详解】当时，，即在时恒成立，故A正确； 当时，，即存在，使，故B错误； 当时，，所以当时，恒成立，故C正确； 当，，即当时，恒成立，故D正确． ◆题型07 在某区间上的恒成立问题 1． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 2． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 3． 【答案】C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 4． 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 5． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. ◆题型08 在某区间上有解问题 1． 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 2． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 3． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 4． 【答案】C 【分析】将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 5． 【答案】C 【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. ◆题型09 一元二次不等式的实际应用 1． 【答案】C 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2． 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 3． 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 4． 【答案】A 【分析】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 5． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1． 【答案】D 【分析】根据题意求出集合和集合，然后利用交并补的概念依次判断即可. 【详解】已知集合，解不等式，可得， 所以， 又因为集合，解不等式，可得， 所以，所以， 对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，，所以，故C正确； 对于D，由于，， 所以，故D错误. 2． 【答案】C 【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可. 【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合. 综上，． 3． 【答案】C 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围. 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C 4． 【答案】B 【分析】利用一元二次函数与一元二次方程之间的关系，需限定，区间两端点处函数值大于0，且对称轴在区间内部，解不等式即可求出结果. 【详解】根据题意可知，一元二次函数在区间内与轴有交点， 所以需满足，解得； 所以可得的取值范围是. 故选：B 5． 【答案】D 【详解】由，令，则， 解得，即，所以． 二、多选题 6． 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 7． 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 8． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 三、填空题 9． 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 10． 【答案】 0 2 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系求解即可. 【详解】，一元二次函数图象的对称轴为直线. 若，则，当时，解得，当时，无解，不符合题意. 若，的解集恰为， 即的解集恰为， 所以，解得，. 若，不等式的解集不可能是. 综上，，. 故答案为：0；2 四、解答题 11． 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次不等式的解法 常考题型·精准突破 题型01 解不含参数的一元二次不等式（高频） 题型02 三个二次的关系求参 题型03 利用一元二次不等式的解确定参数（重） 题型04 解含有参数的一元二次不等式（难） 题型05 根的分布问题（难） 题型06 在实数集上恒成立问题（重） 题型07 在某区间上的恒成立问题 题型08 在某区间上有解问题 题型09 一元二次不等式的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01 解不含参数的一元二次不等式 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故. 2．（25-26高二下·陕西渭南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对原不等式变形，得， 得，解得， 所以不等式的解集为(−2,5). 3．（25-26高二下·天津红桥·期末）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为，故B正确. 4．（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 5．（多选）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 6．（25-26高一下·广东深圳·期末）不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． ◆题型02 三个二次的关系求参 1．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，求出、的值，进而求出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两个根， 所以，，所以，. 所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·北京·期中）如果关于的不等式的解集是，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可求得的值，进而得到结果. 【详解】不等式的解集为， 方程的两根分别为和， ，即，，. 故选：C. 3．（多选）（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一元二次方程与一元二次函数的关系，结合韦达定理逐项判断即可． 【详解】由不等式的解集为， 所以，，故A错误； 方程的两个根为， ，则，故B正确，C错误； ，故D正确． 4．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 5．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． ◆题型03 利用一元二次不等式的解确定参数 1．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可. 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 4．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 5．（25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 6．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 ◆题型04 解含有参数的一元二次不等式 1．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 2．（多选）（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知． (1)若的解集为，求关于x的不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可. 【详解】（1）已知的解集为，说明1和2是方程的根． 由韦达定理：，可得， 将代入不等式，得， 所以或． 因此，不等式的解集为． （2）先对进行因式分解： 即解，需要根据a的取值分类讨论： （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式变为，解集为全体实数R； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上所述：当时，；当时，；当时，． 4．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 5．解不等式. 【答案】答案见详解 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式可化为，即，解集为； 当时，原不等式可化为，解集为； 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为， 当时，解集为． ◆题型05 根的分布问题 1．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题，即在上有两个不同的零点，结合二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 4．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 5．（25-26高一上·福建福州·自主招生）已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合韦达定理与正根的符号条件，分析判别式、根的和与积的范围，确定的取值区间； (2)先化简目标代数式，代入韦达定理的结果转化为关于的函数，通过配方法求其最大值. 【详解】（1）对于方程，设其两根为. 由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0. 由得，解得；由得，解得. 综上所述，的取值范围是. （2） . 因为，所以当时，原式取得最大值为. ◆题型06 在实数集上恒成立问题 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 2．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 3．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 4．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 5．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，，即在时恒成立，故A正确； 当时，，即存在，使，故B错误； 当时，，所以当时，恒成立，故C正确； 当，，即当时，恒成立，故D正确． ◆题型07 在某区间上的恒成立问题 1．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 2．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 3．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 4．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 5．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. ◆题型08 在某区间上有解问题 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 2．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 3．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 4．（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 5．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. ◆题型09 一元二次不等式的实际应用 1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2．某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 3．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 4．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 5．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南·期末）已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出集合和集合，然后利用交并补的概念依次判断即可. 【详解】已知集合，解不等式，可得， 所以， 又因为集合，解不等式，可得， 所以，所以， 对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，，所以，故C正确； 对于D，由于，， 所以，故D错误. 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可. 【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合. 综上，． 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围. 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C 4．（23-24高一上·河南南阳·阶段检测）若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次函数与一元二次方程之间的关系，需限定，区间两端点处函数值大于0，且对称轴在区间内部，解不等式即可求出结果. 【详解】根据题意可知，一元二次函数在区间内与轴有交点， 所以需满足，解得； 所以可得的取值范围是. 故选：B 5．（24-25高二下·山西长治·阶段检测）已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，令，则， 解得，即，所以． 二、多选题 6．（25-26高一下·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 7．（24-25高一上·江苏·阶段检测）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 8．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 三、填空题 9．（25-26高二下·广东深圳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 10．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，关于x的不等式的解集恰为，则a=______，b=______. 【答案】 0 2 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系求解即可. 【详解】，一元二次函数图象的对称轴为直线. 若，则，当时，解得，当时，无解，不符合题意. 若，的解集恰为， 即的解集恰为， 所以，解得，. 若，不等式的解集不可能是. 综上，，. 故答案为：0；2 四、解答题 11．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $