江苏镇江市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷

**基本信息** 以志愿服务标志、芯片制造工艺等真实情境为载体，融合代数推理与几何变换，梯度覆盖七年级下册整式运算、不等式、图形变换等核心知识，突出创新意识与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、平方差公式、不等式性质|结合志愿服务情境考查图形性质，程序操作题体现数学思维| |填空题|6/18|科学记数法、完全平方公式、反证法|以芯片工艺为背景考查科学记数法，折叠问题融合几何直观| |解答题|8/72|代数推理、三角板旋转、新定义“智慧数”“好友角”|设置“智慧数”探究题培养合情推理，“好友角”结合折叠考查空间观念|

江苏镇江市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式乘法运算中，能运用平方差公式的是（　　） A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a﹣b）（b﹣a） C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（a+b）（﹣a﹣b） 3．若a＜b，则下列结论错误的是（　　） A．a+1＜b+1 B．2﹣a＜2﹣b C．3a＜3b D． 4．如果是方程x﹣3y＝﹣2的一组解，那么代数式4﹣2a+6b的值是（　　） A．0 B．2 C．6 D．8 5．下列运动中，能改变图形大小的是（　　） A．平移 B．旋转 C．翻折 D．放缩 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，在△ABC中，BC＝10，分别沿DE，GF折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则△AEG的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 8．下列命题：①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若是关于x、y的二元一次方程ax﹣2y＝1的解，则a的值为（　　） A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5 10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（　　） A．x＞23 B．23＜x＜47 C．23≤x＜47 D．23＜x≤47 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11．我国一款手机的芯片采用了先进的8nm制造工艺，已知8nm＝0.000000008m，将0.000000008用科学记数法表示为　 　 ． 12．已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ 　 　 ． 13．已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是　 　 ． 14．用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设：　 　 ． 15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，点M、N分别为边AB、CD上的点，将边AD沿MN翻折，使点A落在边AB上的点E处，点D落在点F处．若∠C＝106°，则∠CNF＝　 　 °． 16．若am＝3，an＝4，则am+n＝　 　 ． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： （1）a8÷a﹣2÷a﹣7； （2）（a﹣3）﹣2•a﹣3•a0． 18．（1）解方程 （2）解方程组 （3）解不等式并把解集在数轴上表示出来． 19．先化简，再求值：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y），其中，y＝1． 20．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E，EF∥CD，交AB于点F，那么EF平分∠DEB吗？ 解：∵CD平分∠ACB（已知）， ∴∠1＝∠2（　 　 ）， ∵AC∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3（　 　 ）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∵CD∥EF（已知）， ∴∠4＝∠3（　 　 ）， 　 　 （两直线平行，同位角相等）， ∴∠4＝∠5（等量代换）． ∴EF平分∠DEB． 21．下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成既是一个中心对称图形，又是轴对称图形． 22．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON与∠AOM的度数． （2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部．请探究：∠CON与∠AOM之间的数量关系，并说明理由． （3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　 　 秒（直接写出结果）． 23．代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程．代数推理包括演绎推理与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理． （1）求证：两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”． 如3＝22﹣1，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，…，3，5，7，8就是“智慧数． ①9 　 　 “智慧数”（填“是”或“不是”），写出判断的理由； ②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由． 24．【概念】如果两个角的度数之差为30°，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”．例如∠1＝70°，∠2＝40°，∠1﹣∠2＝30°，则∠1和∠2互为“好友角”，即∠1是∠2的“好友角”，∠2也是∠1的“好友角”． 【理解】（1）若∠A＝45°，则∠A的“好友角”的度数为 　 　 ； （2）已知∠1和∠2互为“好友角”，∠1＞∠2，且∠1和∠2互补，∠1的度数为 　 　 ； （3）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部A′处，已知∠B＝58°，∠C＝82°．若∠A′EB和∠A′DC互为“好友角”，则∠A′EB的度数为 　 　 ； 【拓展】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，过点C作AB的垂线，垂足为D，AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“好友角”，求∠ABC的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 2．【解答】解：A、（2a+b）（a﹣2b）＝2a2﹣3ab﹣2b2，故A不符合题意； B、（a﹣b）（b﹣a）＝﹣（a﹣b）2，故B不符合题意； C、（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故C符合题意； D、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）2，故D不符合题意； 故选：C． 3．【解答】解：A．∵a＜b， ∴a+1＜b+1，故本选项不符合题意； B．∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴2﹣a＞2﹣b，故本选项符合题意； C．∵a＜b， ∴3a＜3b，故本选项不符合题意； D．∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．【解答】解：将代入原方程得：a﹣3b＝﹣2， ∴4﹣2a+6b＝4﹣2（a﹣3b）＝4﹣2×（﹣2）＝8． 故选：D． 5．【解答】解：平移，旋转，翻折不改变图形的大小，放缩可以改变图形的大小． 故选：D． 6．【解答】解：由平移的性质得：BE＝2，AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴S平行四边形ABED＝BE•AC＝2×4＝8， 故选：D． 7．【解答】解：∵由折叠的性质知AE＝BE，AG＝CG， ∴△AGE的周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝10， 故选：D． 8．【解答】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，故原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题； ③两条平行，内错角相等，故原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题． 故选：B． 9．【解答】解：把代入ax﹣2y＝1得， a﹣4＝1， 解得a＝5， 故选：B． 10．【解答】解：由题意得， ， 解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x＞23， ∴23＜x≤47， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：0.000000008＝8×10﹣9． 故答案为：8×10﹣9． 12．【解答】解：∵（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6， ∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝30﹣6， x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝24， 4xy＝24， xy＝6． 故答案为：6． 13．【解答】解：， 解不等式①，得x＞﹣1， 解不等式②，得x＜a， ∵关于x的不等式组有解， ∴a＞﹣1， 故答案为：a＞﹣1． 14．【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设原命题的否定，即“三角形三个内角都大于60°”， 故答案为：三角形三个内角都大于60°． 15．【解答】解：由折叠的性质可得∠EMN＝∠AMN，∠MND＝∠MNF， ∵∠EMN+∠AMN＝180°，∠B＝90°， ∴∠EMN＝∠AMN＝90°， ∴∠AMN＝∠B＝90°， ∴MN∥BC， ∵∠C＝106°， ∴∠MNC＝180°﹣∠C＝180°﹣106°＝74°，∠MNF＝∠MND＝∠C＝106°， ∴∠CNF＝∠MNF﹣∠CNM＝106°﹣74°＝32°． 故答案为：32． 16．【解答】解：∵am＝3，an＝4， ∴am+n＝am•an＝3×4＝12． 故答案为：12． 三．解答题（共8小题） 17．【解答】解：（1）a8÷a﹣2÷a﹣7 ＝a8﹣（﹣2）﹣（﹣7） ＝a8+2+7 ＝a17； （2）（a﹣3）﹣2•a﹣3•a0 ＝a6•a﹣3•a0 ＝a6﹣3+0 ＝a3． 18．【解答】解：（1）去分母得，6x﹣2（1﹣x）＝x+2﹣6， 去括号得，6x﹣2+2x＝x+2﹣6， 移项得，6x+2x﹣x＝2﹣6+2， 合并同类项得，7x＝﹣2， 系数化为1得，x； （2）， ①×3得，6x+9y＝21③， ②×2得，6x﹣10y＝2④， ③﹣④得，19y＝19， 解得y＝1， 把y＝1代入①得，2x+3＝7， 解得x＝2， 所以，方程组的解是； （3）去分母得，3（2x﹣1）﹣4（x﹣2）≤2（4x+3）﹣12， 去括号得，6x﹣3﹣4x+8≤8x+6﹣12， 移项得，6x﹣4x﹣8x≤6﹣12+3﹣8， 合并同类项得，﹣6x≤﹣11， 系数化为1得，x， 在数轴上表示如下： 19．【解答】解：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y） ＝4x2+4xy+y2﹣2（2x2﹣xy+4xy﹣2y2） ＝4x2+4xy+y2﹣4x2+2xy﹣8xy+4y2 ＝5y2﹣2xy， 当，y＝1时，原式＝5×12﹣2×（）×1 ＝5×1+1 ＝5+1 ＝6． 20．【解答】解：∵CD平分∠ACB（已知）， ∴∠1＝∠2（角平分线的定义）， ∵AC∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∵CD∥EF（已知）， ∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）， ∴∠4＝∠5（等量代换）， ∴EF平分∠DEB． 故答案为：角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；∠2＝∠5． 21．【解答】解：（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示． 22．【解答】解：（1）已知∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 又OM平分∠BOC， ∠COM∠BOC＝60°， ∴∠CON＝∠COM+90°＝150°， ∠AOM＝∠AOC+∠COM＝60°+60°＝120°； ∴∠CON的度数为150°，∠AOM的度数为120°． （2）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下： ∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°， ∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°． （3）延长NO到点D，如图2， ∵∠BOC＝120° ∴∠AOC＝60°， 当射线OD恰好平分锐角∠AOC，如图2， ∴∠AOD＝∠COD＝30°， 即顺时针旋转300°时NO延长线平分锐角∠AOC， 由题意得10t＝300， ∴t＝30， 当NO平分∠AOC，如图3， ∴∠NOR＝30°， 即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC， ∴10t＝120， ∴t＝12， ∴t＝12或30． 故答案为：12或30． 23．【解答】解：（1）设两个连续奇数分别为2m﹣1，2m+1，其中m为正整数，两个连续奇数的平方差为（2m+1）2﹣（2m﹣1）2＝（2m+1+2m﹣1）（2m+1﹣2m+1）＝4m×2＝8m， ∵m为正整数， ∴8m能被8整除， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）①∵2k+1＝9， ∴k＝4， ∵9＝（4+1）2﹣42＝52﹣42； ∴9是“智慧数”， 故答案为：是； ②设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1 设两个数分别为k+1和k﹣1，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2时，4k＝8， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2， ∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）①， ∵m+n和 m﹣n 这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可得左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被 4除余2的正整数都不是智慧数．把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， ∵（2025﹣1）÷3＝674……2， ∴第2025个智慧数在674+1＝675（组），并且是第2个数，即675×4+3＝2703．将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703． 24．【解答】解：【理解】（1）根据“好友角”定义可得：∠A的“好友角”的度数为45°+30°＝75° 或45°﹣30°＝15°， 故答案为：75°或15°； （2）∵∠1和∠2互为“好友角”，∠1＞∠2， ∴∠1﹣∠2＝30°， ∵∠1和∠2 互补， ∴∠1+∠2＝180°， 联立 ， 解得∠1＝105°， 故答案为：105°； （3）如图，连接AA′， ∵∠B＝58°，∠C＝82°， ∴∠BAC＝40°， ∴由折叠性质可知∠EA′D＝∠BAC＝40°， ∵∠A′EB＝∠EA′A+∠EA′A，∠A′DC＝∠DA′A+∠DA′A， ∴∠A′EB+∠A′DC＝∠EA′A+∠EA′A+∠DA′A+∠DA′A＝∠EAD+∠BAC＝80°， 即∠A′EB+∠A′DC＝80°， ∵∠A′EB 和∠A′DC 互为“好友角”， ∴∠A′EB﹣∠A′DC＝30° 或∠A′DC﹣∠A′EB＝30°， ∴∠A′EB＝55° 或∠A′EB＝25°； 故答案为：55°或25°； 【拓展】∵AE平分∠CAB，CD⊥AB， ∴∠CAE＝∠BAE，∠CDB＝90°， ∵∠CEF＝∠B+∠BAE，∠FCE＝90°﹣∠B， ∴2∠CEF+∠FCE＝∠B+∠BAC+90°＝180°， ∵∠FCE与∠CEF 互为“好友角”， ∴∠CEF﹣∠FCE＝30° 或∠FCE﹣∠CEF＝30°， 则∠FCE＝40° 或∠FCE＝80°， ∵∠FCE+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝50° 或∠ABC＝10°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $