第八章 必刷大题17 解析几何【题型突破】-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解析几何核心内容，以椭圆、抛物线、双曲线及圆的变换为载体，覆盖方程求解、弦长面积、定点定值等考向，构建从基础计算到综合探究的知识逻辑链，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|1|离心率与顶点求方程，弦长及面积计算|椭圆定义与基本量关系，直线与椭圆位置关系的代数化| |抛物线|1|定义求轨迹，多直线相交的定点充要条件|抛物线定义应用，中点坐标与直线方程的综合推导| |圆与椭圆综合|1|伸缩变换得椭圆，最值及参数范围|圆的变换生成椭圆方程，参数法求最值的逻辑推理| |双曲线|1|方程求解，定直线及角平分线证明|双曲线几何性质与渐近线，坐标运算及几何证明|

第八章 直线和圆、圆锥曲线 必刷大题17　解析几何 [分值：60分] 【高考考向预测】 解析几何以坐标系 and 数形结合为核心，涵盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容，综合考查方程求解、位置关系判定、弦长、面积、定点定值、最值、参数范围及轨迹方程等问题，对运算与逻辑推理能力要求较高；近三年是高考数学核心板块，选填、解答题均大量考查，分值占比高、考频稳居前列；预测2027 年仍会保持大题压轴的考查形式，强化多曲线融合、动态几何与探究性问题，侧重几何条件代数转化、复杂运算以及综合题型的逻辑分析。 1.(13分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，N(2，0)是椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程；(5分) (2)过点H(0，1)且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点，求|AB|和△ABN的面积.(8分) 【解析】(1)由椭圆的右顶点N(2，0)，可得a=2， 又e==，所以c=， 所以b2=a2-c2=4-2=2， 所以椭圆的方程为+=1. (2)因为直线l过点H(0，1)且倾斜角为45°， 所以直线l的方程为y=x+1. 由 得3x2+4x-2=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=-， 由弦长公式得|AB|= =×=×=， 又点N到直线l的距离d==， 所以S△ABN=××=. 2.(15分)已知动圆过定点(1，0)且与直线x=-1相切. (1)求动圆圆心的轨迹方程E；(4分) (2)过点H(1，1)分别作斜率为，的直线l1，l2，若l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，设M，N分别为线段AB，CD的中点，证明：直线MN过定点(0，2)的充要条件是+=1.(11分) (1)【解析】设动圆圆心为(x，y)， 依题意得=|x+1|， 整理得y2=4x， 所以E的方程为y2=4x. (2)【证明】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知直线AB：x-1=m(y-1)， 即x=my-m+1， 联立 得y2-4my+4m-4=0， 则y1+y2=4m， 故yM==2m，xM=2m2-m+1， 即M(2m2-m+1，2m). 由直线AB，CD的交点为H(1，1)， 可知直线MN的斜率存在， 故设直线MN：y=kx+b， 则2m=k(2m2-m+1)+b， 即2km2-(k+2)m+k+b=0， 由题意知直线CD：x-1=n(y-1)， 同理可得2kn2-(k+2)n+k+b=0， 故m，n是关于x的方程2kx2-(k+2)x+k+b=0的两根， 所以m+n=，mn=. 充分性：若+=1， 即m+n=mn，解得b=2， 则直线MN：y=kx+2， 所以直线MN过定点(0，2)，充分性成立； 必要性：若直线MN过定点(0，2)， 则b=2，m+n=mn，+=1，必要性成立. 故直线MN过定点(0，2)的充要条件是+=1. 3.(15分)已知圆O：x2+y2=1，将圆O各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，设曲线C与y轴正半轴交于A点，点P在曲线C上. (1)求曲线C的方程及|AP|的最大值；(6分) (2)设曲线C与x轴正半轴交于点B，若线段OP与线段AB交于点M，|OP|≤t|OM|(t∈R)恒成立，求实数t的最小值.(9分) 【解析】(1)设曲线C上任意一点为(x，y)，对应圆O上的点为(x0，y0)， 则有即 代入+=1，得+y2=1， 所以曲线C的方程为+y2=1， 所以A(0，1). 设点P(m，n)，所以+n2=1， 所以|AP|====， 又-1≤n≤1， 所以当n=-时，|AP|max==， 所以|AP|的最大值为. (2)由(1)可得，直线OP的方程为nx-my=0， 又A(0，1)，B(2，0)， 所以直线AB的方程为x+2y=2， 联立解得 即M， 所以|OP|=， |OM|==， 由|OP|≤t|OM|有≤t·， 即t≥， 又因为m≥0，n≥0， 所以t≥+n，即t≥， 又+n2=1，所以+n≤2=，当且仅当=n，+n2=1， 即m=，n=时，等号成立， 所以t≥，即实数t的最小值为. 4.(17分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，|AB|=2，且左焦点F到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的标准方程；(3分) (2)过左焦点F的直线l交双曲线C左、右两支于N，M两点(点M位于第一象限)，直线AM与BN相交于点T. ①求证：点T在定直线上；(6分) ②求证：射线FT平分∠MFB.(8分) (1)【解析】由题意，设左焦点F的坐标为(-c，0)， 因为双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0， a2+b2=c2， 所以左焦点F到其中一条渐近线的距离为==b，可得b=， 又因为|AB|=2a=2，解得a=1， 故双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)【证明】由(1)知F(-2，0)，A(-1，0)，B(1，0)， 直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为x=my-2， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 得(3m2-1)y2-12my+9=0， Δ=(-12m)2-4×9(3m2-1)=36m2+36>0， 所以y1+y2=，y1y2=，则=， 故my1y2=(y1+y2). ①因为直线AM的方程为y=(x+1)， 直线BN的方程为y=(x-1)， 联立可得(x+1)=(x-1)， 所以== ====-， 则x=-，即点T在定直线x=-上. ②由①知 T， 其中-=1， tan∠MFB=kFM=kl=， tan∠TFB=kFT==， 则tan 2∠TFB======， 即tan∠MFB=tan 2∠TFB， 所以∠MFB=2∠TFB， 故射线FT平分∠MFB. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 必刷大题17　解析几何 [分值：60分] 【高考考向预测】 解析几何以坐标系 and 数形结合为核心，涵盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容，综合考查方程求解、位置关系判定、弦长、面积、定点定值、最值、参数范围及轨迹方程等问题，对运算与逻辑推理能力要求较高；近三年是高考数学核心板块，选填、解答题均大量考查，分值占比高、考频稳居前列；预测2027 年仍会保持大题压轴的考查形式，强化多曲线融合、动态几何与探究性问题，侧重几何条件代数转化、复杂运算以及综合题型的逻辑分析。 1.(13分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，N(2，0)是椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程；(5分) (2)过点H(0，1)且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点，求|AB|和△ABN的面积.(8分) 2.(15分)已知动圆过定点(1，0)且与直线x=-1相切. (1)求动圆圆心的轨迹方程E；(4分) (2)过点H(1，1)分别作斜率为，的直线l1，l2，若l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，设M，N分别为线段AB，CD的中点，证明：直线MN过定点(0，2)的充要条件是+=1.(11分) 3.(15分)已知圆O：x2+y2=1，将圆O各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，设曲线C与y轴正半轴交于A点，点P在曲线C上. (1)求曲线C的方程及|AP|的最大值；(6分) (2)设曲线C与x轴正半轴交于点B，若线段OP与线段AB交于点M，|OP|≤t|OM|(t∈R)恒成立，求实数t的最小值.(9分) 4.(17分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，|AB|=2，且左焦点F到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的标准方程；(3分) (2)过左焦点F的直线l交双曲线C左、右两支于N，M两点(点M位于第一象限)，直线AM与BN相交于点T. ①求证：点T在定直线上；(6分) ②求证：射线FT平分∠MFB.(8分) / 学科网（北京）股份有限公司 $