平面解析几何 课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习课时作业：平面解析几何 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.过点P1,2)且斜率小于0的直线与x轴，y轴围成的封闭图形面积的最小值为() A.2 B.2W2 C.4 D.4√2 2.己知点A(-5,4),B(3,-2),则以AB为直径的圆的方程为（) A.x+1)2+(y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x+1)2+(y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100 3.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过F作C的对称轴的垂线，与C交于A、B,则川AB=() A.8 B.4 C.2 D.1 立方=a>0b>0的左、右焦点分别为月，R,以右焦点乌为焦点的抛物线产=2m>0与双曲线 4.双曲线_y2 交于第一象限的点P,若P+Pr=3F,则双曲线的离心率=() A.2 B.5 c.2+1 D.5+1 2 2 5.设抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为 y=-2x+2,则|AF卡() A.3 B.4 C.5 D.6 á，双曲线C。1a>0b>0)的准线为，左焦点和右焦点分别为马和：抛物线9的准线为，焦点为 G的一交为M则暖于(）了 A.-1 B.1 D. 1.已知痛圆C若芳ab>0的窝心华为4,4分别为c的左、右顶点，香为C的上原点，若原1， 则C的方程为() 花-1 B. 2 981 D. +=1 8.若椭圆 京+示=1(>b>0)的左、右焦点分别为耳、R,线段B被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3的两段， 则此椭圆的离心率为() 16 A.17 B.4V17 4 D.25 17 C.5 5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.抛物线C:y2=4x的准线为1，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作1 的垂线，垂足为B,则() A.1与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，|PQ=√15 C.当|PB=2时，PA⊥AB D.满足IPAHPB的点P有且仅有2个 10.己知乃，乃分别是椭圆C:+上=1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的 43 是() A.△PFF的周长为6 B.P的最小值为1 C.△PF耳，面积的最大值为V D.椭圆C的离心率为 1Ⅱ.已知椭圆C:+父-1，右焦点为F,直线y=(k≠0)与椭圆c交于P,Q两点，D为C上不同于P,Q的一点， 4+3 记直线DP,DO的斜率分别为k,k2,则下列结论正确的是() A.C的离心率为片 B.△FPe面积的取值范围为(O,V3) C.6=3 D.若点M为C上的动点，则OM+2MF的最大值为8 4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.在平面直角坐标x0y中.已知椭园C不+1@>b>0)的离心率为，左，右焦点分别为，乃，点P2,V② 为C上一点，记C在点P处的切线l,过点耳作1⊥1于点M,则PM的长为」 3已知直线V=x-2经过椭圆C。+?〔a>0的一个顶点，则C的离心率为 14已知双唐线：三茶=（口s060)的左、右焦点分划为。R,引：云，离心率为e点P在B的右 支上且lg川-a,驴-D,若-c,则e=一 四、解答题 15。（13分)在平面直角坐标系G中，已知双前线r号茶-1a>0,b>0的焦距为4，点6在r上 D B (1)求双曲线T的方程： )设直线1的斜率为，1交双曲线T于R2两点，且与圆x2+y=4相切，切点位于x轴上方，求Op0⊙的值 (3)如图，设过双曲线Γ的左焦点耳的直线AB交T的左支于点A、B,过T的右焦点F,的直线CD交T的右支于点C、 D,若直线CD/AB,且四边形ABCD的面积为46，求直线AB的方程. 16.(15分)已知辅盟五若-ab~0的右焦点为P10,过万的直线与B交于4B两点当4为E的上顶 点时，AF=3 (1)求E的方程： (2)过点A作l:x=9的垂线，垂足为M. (i)证明：直线MB过定点： ()若AB的斜率不为0，记AB的中点为s,),()中的定点为V,A的斜率为k,B的斜率为点，证明：k 是定值 17.1s分》已知椭图哥+若-a>b>0共离率为e-分且过点91》 耳，耳分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上不同于左、右顶点的动点，直线P交椭圆于另一点A,直线PF,交椭圆于另一点B (1)求椭圆的标准方程： (2)若∠耳PF的角平分线交x轴于点M,且FM=MF,,求1的取值范围： (3)若点P不在y轴上，若直线AB的斜率为k4B,直线P耳的斜率为k,直线PE的斜率为k2,判断 k是否为定 k+k 值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 8.(17分)已知双曲线℃。1a>0.b>0)的焦距为42新近线方程为=±左项点为4，过点Ta,0且与 x轴不重合的直线l交双曲线右支于P,Q两点.直线AP,AQ与圆O:x2+y2=a2分别交于M,N两点. (1)求双曲线C的标准方程： (2)求证：直线AP与直线AQ的斜率之积为定值； B)记三角形△4PO的面积为S,△4MN的面积为S9,求。的取值范围 19.(17分)已知直线l:x-2y+3=0,1:2x+3y-8=0 (1)求经过点M(1,4)且与直线l,垂直的直线方程： (2)求经过直线（与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程， (3)若直线：x-y+2+4k=0(k∈R)交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面 积为S,求S的最小值及此时直线1的方程 2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面解析几何 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，过F作C的对称轴的垂线，与C交于A、B，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 4．双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 5．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为l，焦点为；与的一个交点为M，则等于（    ） A． B．1 C． D． 7．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 8．若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为 11．已知椭圆，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（   ） A．的离心率为 B．面积的取值范围为 C． D．若点为上的动点，则的最大值为8 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 13．已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为 . 14．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，，离心率为e，点P在E的右支上，且，，若，则 ． 四、解答题 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 16．（15分）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.当为的上顶点时，. (1)求的方程； (2)过点作的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）若的斜率不为0，记的中点为，（i）中的定点为的斜率为的斜率为，证明：是定值. 17．（15分）已知椭圆，其离心率为，且过点分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上不同于左、右顶点的动点，直线交椭圆于另一点A，直线交椭圆于另一点B. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的角平分线交轴于点M，且，求的取值范围； (3)若点不在轴上，若直线AB的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 18．（17分）已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)记三角形的面积为的面积为,求的取值范围． 19．（17分）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面解析几何 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得，即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点，则所围成封闭图形面积为 ，当且仅当，即时等号成立，所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 2．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即，设圆半径为r，则，则以为直径的圆的方程为.故选：B. 3．已知抛物线的焦点为F，过F作C的对称轴的垂线，与C交于A、B，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线方程可得，进而求出，即可得解. 【详解】由抛物线，则，对称轴为轴，所以过F与y轴垂直的直线为， 不妨设，则.故选：B. 4．双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知，易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 5．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得.所以.故选：C 6．双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为l，焦点为；与的一个交点为M，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物性的定义和双曲线的定义可求的值. 【详解】 过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可得， 设，则， 故，故，又，故即，故， 故，故选：A. 7．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以. 所以，因为，所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为.故选：B. 8．若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线的焦点坐标为，根据题意可以得到椭圆中关于的等量关系，代入椭圆的离心率公式，化简即可求得椭圆的离心率 【详解】设抛物线的焦点为，则点坐标为，由题得：，所以， ，所以，，所以椭圆离心率 。故选：D 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性. 【详解】如图： 依题意，， 所以的周长为，A选项正确； 若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B选项错误； 当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，为，C选项正确； 椭圆的离心率为，D选项正确. 故选：ACD 11．已知椭圆，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（   ） A．的离心率为 B．面积的取值范围为 C． D．若点为上的动点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】对于A，利用椭圆离心率公式求解即可；对于B，根据两点间的距离公式以及点到直线的距离公式分别求出和三角形的高，利用三角形面积公式集合的范围即可求解；对于C，利用两点间的斜率公式，结合点在椭圆上，化简即可求解；对于D，由椭圆的右准线为：，设到椭圆的右准线的距离为，可得，从而将问题转化为求的最大值. 【详解】由题可得：,,设，根据对称性可得, 对于A，，所以椭圆的离心率为,故A正确； 对于B，到直线的距离,   ， 所以， 因为，则面积的取值范围为，故B正确； 对于C，设，则，   ， 由于， 所以，故C错误； 对于D，由题意可得椭圆的右准线为：，设到椭圆的右准线的距离为，所以，则， 所以，当在椭圆左顶点时，，所以的最大值为8，故D正确；故选：ABD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先求切线的方程，再求直线的方程，即可求交点的坐标，即可求解. 【详解】由条件可知，，解得：，， 所以椭圆，所以在点处的切线方程为，即， 因为，所以直线， 联立，解得：，，即，且所以. 故答案为： 13．已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据直线求与坐标轴交点，结合椭圆方程和已知得，进而求离心率. 【详解】令，得，显然点不可能是的一个顶点， 令，得，所以点是的一个顶点，所以，故椭圆的离心率. 故答案为： 14．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，，离心率为e，点P在E的右支上，且，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意得，由余弦定理列方程即可求解. 【详解】由题意，设，所以，整理得，即，解得.故答案为：. 四、解答题 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据双曲线的焦距为及点在上，列方程即可求得结果； （2）设直线的方程为，利用直线与圆相切，求出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理或求出两个交点坐标，从而求得； （3）由双曲线的对称性，易知四边形为平行四边形，设直线的方程为（或），求出直线和直线的距离，再将直线方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出的长，根据平行四边形的面积为列出方程，求出，再根据直线与双曲线左支有两个交点对结果进行取舍，从而得到答案. 【详解】（1）由双曲线的焦距为4，点在上， 可得，所以，且，又因为，即， 联立方程组，解得，，所以的方程为. （2）设直线l方程为，代入圆的方程整理得，直线与圆相切， 所以判别式，所以，切点位于轴上方，故. 将直线代入双曲线方程，整理得，解得， 两点的坐标分别为（）、（）， 从而； 另解：由题意设直线方程为，该直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得. 联立得 设，，则， （3）由题意直线与平行，由双曲线的对称性，易知=，四边形为平行四边形． 当直线垂直于x轴时，，此时四边形的面积为，不合题意，舍去； 设直线方程为，则直线方程为， 直线和的距离就是点到直线的距离， 设，，联立方程组，整理的， 则，且，， 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点、，可得，() 则， 所以，化简可得， 解得，或，因为，所以， 故直线的方程为或． 另解：设直线方程为，代入双曲线方程得，整理得 ，(因为双曲线的渐近线斜率为，直线AB与双曲线左支交于两点，所以) ，，所以， 点到直线的距离，， 化简可得，解得，或，因为当时，直线AB斜率平方， 此时AB与双曲线左支只能交于一点，舍去，所以， 故直线的方程为，或． 16．（15分）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.当为的上顶点时，. (1)求的方程； (2)过点作的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）若的斜率不为0，记的中点为，（i）中的定点为的斜率为的斜率为，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义进行求解即可. （2）（i）解法一：联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，将直线的方程表示出来并化简即可求出定点；解法二：联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，得出，然后将直线的方程表示出来并化简即可求出定点； （ii）列出的表达式并化简即可证明. 【详解】（1）记的半焦距为，显然，而， 故，于是的方程为. （2）（i）证明：解法一：设， 当直线的斜率不为0时，设， 联立，得， 可得. 易知，故直线可表示为， 显然，故当时， ， 故直线过定点. 当直线的斜率为0时，易知过点. 综上所述，直线过定点. 解法二：由解法一得，直线可表示为， 显然，当时， ， 故直线过定点. 当直线的斜率为0时，易知过点. 综上所述，直线过定点. （ii）证明：由题意，而， 则 ， 则，故，为定值.    17．（15分）已知椭圆，其离心率为，且过点分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上不同于左、右顶点的动点，直线交椭圆于另一点A，直线交椭圆于另一点B. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的角平分线交轴于点M，且，求的取值范围； (3)若点不在轴上，若直线AB的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不是定值，理由见解析 【分析】（1）结合离心率与点坐标代入解方程组可求； （2）利用角平分线定理得到，再利用动点的坐标表示，结合范围可得； （3）设出点坐标，借助焦点坐标求，再联立直线与椭圆方程，知一交点坐标可求另一交点坐标，同理可求点的坐标，由此求得斜率，进而用坐标表示出，从而判断不为定值. 【详解】（1）已知，即，则， 化简得，将点代入椭圆方程得， 解得， 故椭圆方程为：. （2）因为，得，， 设（），则， 则， . 在中，由角平分线定理得 ， 由，得. 故的取值范围为.    （3）由，得，其中. 则. 设，直线方程为，直线方程为， 联立，得， 由韦达定理， 所以 ， 则； 同理，联立，得， ， 所以 ， 则； 则 ， 故， 故随着的变化，的值在变化，如： 当时，； 当时，； 故不为定值.    18．（17分）已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)记三角形的面积为的面积为,求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由焦距及渐近线方程可得,确定双曲线标准方程； （2）设出直线与点,联立直线与双曲线方程，根据题意写出表示出,再结合韦达定理化简计算； （3）设出直线与,表示出的纵坐标，再将三角形面积之比中的边长之比转化为纵坐标的比，最后结合与的范围求解. 【详解】（1）由题意知,,且, 所以, 所以双曲线的标准方程为. （2） 证明：由题意知直线的斜率不等于0，设的方程为, 由，得． 因为直线与双曲线的右支交于两点，所以①， 因为,所以, ， 所以由①式解得． 因为,所以 ,所以直线与直线的斜率之积为定值． （3）设,且,所以,即,所以． 又因为,所以． 由得,所以,同理可得． 由得,所以,同理可得, 所以 . 令,由,得, 所以． 令, 因为在区间上为增函数,所以的取值范围为, 所以的取值范围为． 19．（17分）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【详解】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则，当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：平面解析几何 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.过点P1,2)且斜率小于0的直线与x轴，y轴围成的封闭图形面积的最小值为() A.2 B.2N2 C.4 D.4V2 【答案】C 分析】设直线为y=:+bk<0),代入P0,2)得2=k+b,表示出所围成封闭图形面积为S-子十2，进而结 合基本不等式求解即可。 【详解】设直线为y=x+b(k<0),代入P1,2)得2=k+b,即b=2-k,b>0, 设直线与x轴交点A 会与y销交点30.则所阳成树圆形面积为斜料兰0是兰： 2 k 24,当且仅当名一夸即k=-2时特号成立，所以所国成封用图形面积的最小值为4 故选：C. 2.已知点A(-5,4),B(3,-2),则以AB为直径的圆的方程为() A.(x+1)2+y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x+1)2+(y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可 【详解】设AB中点为O,则O -5+34-2 2,2 )即0-1山，设图半径为x则5号6-(+Kg4可-5 则以AB为直径的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25.故选：B. 3.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过F作C的对称轴的垂线，与C交于A、B,则|AB=() A.8 B.4 C.2 D.1 【答案】B 【分析】根据抛物线方程可得F(0,1),进而求出A(-2,1),B(2,1),即可得解 【详解】由抛物线C:x2=4y,则F(0,1),对称轴为y轴，所以过F与y轴垂直的直线为y=1, 不妨设A(-2,1),B(2,1),则|AB=4.故选：B. 4.双曲线y2 示厅=1(a>0,b>0的左、右焦点分别为，乃，以右焦点乃为焦点的抛物线y=2mp>0)与双曲线 交于第一象限的点P,若PF+P=3FE引，则双曲线的离心率=() A.2 B.5 c.V2+1 D. V5+1 2 【答案】A PF =3c+a 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 PRI=3-a=PA' 根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在 双曲线上构造齐次方程计算即可。 【详解】根据题意可设E, 双曲线的半焦距为C,P(x,),则p=2c, 过F作x轴的垂线1，过P作1的垂线，垂足为A,显然直线A耳为抛物线的准线，则PA=PF引， PF-PF,=2a 由双曲线的定义及已知条件可知 P+PEee”则P=3x-a三2a1, 由勾股定理可知A=片=PR-P4-12ac,易知听=4c,=3a,即兰- _9a_12ac-1, 2a2e2-a 整理得2c2-3ac-2d=0=(2c+a)(c-2a,.c=2a,即离心率为2 故选： VA 5.设抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为 y=-2x+2,则|AF=() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】先由直线I:求出焦点F和P即抛物线C的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B,从而可依次求出y。 和x4,再由焦半径公式即可得解 【详解】对1：y=-2x+2,令y=0,则x=1, 所以F(1,0),p=2即抛物线C:y2=4x,故抛物线的准线方程为x=-1, 故B(-14),则A=4,代入抛物线C:y=4x得x4=4.所以AF=AB=xA+号=41=5.故选：C 2 6.双曲线G: 云万=1a>0,b>0)的左准线为人左焦点和右焦点分别为R和R:抛物线℃的准线为1，焦点为R; EE ME C与C,的一个交点为M, 则 等于() M MF 1 A.-1 B.1 c.2 D. 2 【答案】A 【分析】利用抛物性的定义和双曲线的定义可求 FF ME MEME 的值 【详解】 H M F F 过M作准线I的垂线，垂足为H,由抛物线的定义可得MH=MP, a 故 MH a, M -名又网--a,故-山即%放2 故 X。+a a 2ac FF ME 故 2c 9-0-c-ac ME, 2ac 2a2 =-1,故选：A aa c-ac-a 见知椭圆C。+@>b>0的离心本为4.4分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点，若A4士 则C的方程为() A. 861 x2 y2 B.+=1 C. =1 D. 98 2+=1 【答案】B 【分析】根据离心率及BA·BA,=-1,解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率e=C= b2 3 A,A,分别为C的左右顶点，则A(-a,0),A,(a,0),B为上顶点，所以B(0,b) 所以B4=(←a,-b),BA=a,-),因为BABA=-1,所以-a+b=-1,将b=8a代入，解得d=9,6=8, 故椭圆的方程为+上=1故选：B, 98 8.若椭圆兰+ a 示=1(a>b>0)的左、右焦点分别为月、R,线段R被抛物线2=2x的焦点分成5：3的两段， 则此椭圆的离心率为（) 16 A.17 B.4v17 C. D.25 17 5 【答案】D 【分析】抛物线的焦点坐标为 根据题意可以得到椭圆中关于b,c的等量关系，代入椭圆的离心率公式，化 简即可求得椭圆的离心率 b 6 +C5 【详解】设抛物线的焦点为F,则F点坐标为 .0 由题得：RF:R-53,所以26 C- 2 →c=2b,所以，e2=1- b2 b24 a=1 b2+c2=1- 25 =二，所以椭圆离心率e= 5b-5 。故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.抛物线C:y2=4x的准线为1，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作1 的垂线，垂足为B,则() A.1与OA相切 B.当P,A,B三点共线时，|PO=V15 C.当|PB=2时，PA⊥AB D.满足I PAPB|的点P有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为x=-1,根据圆心到准线的距离来判断：B选项，P,A,B三点共线时，先求出P的 坐标，进而得出切线长：C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证kAk4s=-1是否成立：D选项，根据抛物 线的定义，PB=PF,于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个 数即可，亦可直接设P点坐标进行求解 【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1, ⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径， 故准线1和OA相切，A选项正确： B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥1，则P的纵坐标yp=4, 由y2=4p,得到xp=4,故P(4,4), 此时切线长Pg=√P4-r2=V42-P=√5，B选项正确： C选项，当PB=2时，xp=1,此时y2=4xp=4,故P12)或PL,-2), 当202时40912，k422,R02 0-1 不满足kAkA4B=-1: 当0-2时：40,4.B(1-2.ka-42-6,kw0号 4-(2）=6, 0-1 不满足k4k4B=-1: 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，PB=PF,这里FQ,O), 于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题， A(0,4),F1,0),AF中点 中垂的到率为子 11 于是AF的中垂线方程为：y= 2x+15 8 ,与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0, △=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得PA=PF,D选项正确 方法二：（设点直接求解） 由PB⊥I可得B(-1,t),又A(0,4),又PA=PB, 根据两点间的距离公式， G-4=+1,整理得-10+30=0， 16 4 △=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确。 故选：ABD 2已知尽，R分别是椭圆℃千+了1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的 是() A.△P耳E,的周长为6 B.P的最小值为1 C.△PFE面积的最大值为√5 D.椭圆C的离心率为号 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性 【详解】如图： 依题意，a=2,b=V3,c=1, 所以△P耳耳的周长为2a+2c=4+2=6,A选项正确： 若P为椭圆上任意点，则a-c≤P≤a+c,即1≤P≤3， 当P为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B选项错误： 当P为椭圆短轴顶点时，△P?马的面积最大，为S3=×2cb=√3，C选项正确： c I 椭圆的离心率为。2，D选项正确。 故选：ACD 1.已知椭圆C:+二-1，右焦点为P,直线y=k(k≠0)与椭圆C交于P,Q两点，D为C上不同于P,Q的一点， 43 记直线DP,DQ的斜率分别为k,k2,则下列结论正确的是() A.C的离心率为号 B.△FPO面积的取值范围为(O,V3) 3 C.= D.若点M为C上的动点，则OM+2M的最大值为8 4 【答案】ABD 【分析】对于A,利用椭圆离心率公式求解即可；对于B,根据两点间的距离公式以及点到直线的距离公式分别求 出P②和三角形的高，利用三角形面积公式集合的范围即可求解；对于C,利用两点间的斜率公式，结合点在椭 圆上，化简即可求解：对于D,由椭圆的右准线为：x=￠=4，设M到椭圆的右准线的距离为d,可得d=2MF, 从而将问题转化为求OM+d的最大值. 【详解】由题可得：α=2，b=√3，c=1,F(1,0),设P(x,),根据对称性可得2(-x,-y), 对下A,:台子所以能顺的离心率为号放A正确： 对于B,F到直线PO的距离d= V1+k2 P e=+)++)=2+k 1x因×2+kk卡卡 所以Se分安 因为0<y<5,则△FP面积的取值范围为(O,V3),故B正确： 对于C,设D),则+=1， 43 kk=业.+业=-出2-y2 +%2-x2x2-2? D 时财华，3发 4 必若y(代3，放C错澳 好-好- 4 对于D,由题意可得椭圆的右准线为：x-￠-4，设M到椭圆的右准线的距离为d,所以=e=】,则d=2, d 2 所以OM+2MF=OM+d,当M在椭圆左顶点(-2,0)时，(OM+d)=2+6=8,所以OM+2MF的最大值 为8，故D正确；故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 2在平面直角坐标O中已知椭圆C各+芳1Q>6>0)的离心率为，左，右焦点分别为，乃，点P2包) 2 为C上一点，记C在点P处的切线l,过点耳作1⊥1于点M,则PM的长为 【答案】√6 【分析】首先求切线l的方程，再求直线的方程，即可求交点M的坐标，即可求解 c-2 a 2 【详解】由条件可知， 4,2 云+示1，解得：d=8,=c24, a2=b2+c2 所以稀图C营+片1，所以在点P收网处的切线方程为5-1，即+2，-4=0。 84 因为耳(-2,0)，所以直线1'：y=√2(x+2), x+√2y-4=0 联立 =2+2)解得：x=0.y=25,即4022).且P2)所以2M-v0-2y+5--5 故答案为：√6 13. 已知直线y=x-2经过椭圆c:x+少 a2+3 =1(a>0)的一个顶点，则C的离心率为 【答案】05 【分析】根据直线求与坐标轴交点，结合椭圆方程和已知得α=2，进而求离心率. 【详解】令x=0,得y=-2,显然点(0，-2)不可能是C的一个顶点， 令)=0，得x=2,所以点(2,0)是C的一个顶点，所以a=2,故椭圆的离心率e=V-3 a 2 故答案为：； 14.已知双血线2：若茶=1(a>Q,b>0)的左、右焦点分别为片，月，F网到=正，离心率为e,点P在E的右 支上，且lRP=3a,P=3D,若EDc,则e= 【路案1沿 【分析】由题意得R=3a升-5aRD小-aRD川=cR列=2x,由余弦定理列方程 即可求解 【详解】由题意3aK升=5aD小=aR-c=2c,设∠P=0,所以 ad2+4c2_ =c0s09+4c2-25d,整理得3a-2c2=4c-16，即76a=43c，解得e=43故答案为 76 4 4 43 2a.2c 2.3a.2c 四、解答题 15.13分)在平面直角坐标系0中，已知双曲线r。芳-1a>Q6>0的焦距为4，点6在T上 D B (1)求双曲线的方程： (2)没直线1的斜率为，1交双曲线r于RQ两点，且与圆+y=4相切，切点位于x轴上方，求OP.O0的值： (3)如图，设过双曲线厂的左焦点耳的直线AB交T的左支于点A、B,过T的右焦点F的直线CD交T的右支于点C、 D,若直线CD//AB,且四边形ABCD的面积为4W6,求直线AB的方程. 【倍案10写-r= (2)-55 (3)x-y+2=0或x+y+2=0 【分析】(1)根据双曲线T的焦距为4及点（√6,1在T上，列方程即可求得结果； (2)设直线1的方程为y+m,利用直线1与圆相切、求出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用 韦达定理或求出两个交点坐标，从而求得OP-O0: (3)由双曲线的对称性，易知四边形ABCD为平行四边形，设直线AB的方程为y=k(x+2)(或x=y-2),求出 直线AB和直线CD的距离，再将直线AB方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出AB的长，根据平行四边形 ABCD的面积为4√6列出方程，求出k,再根据直线AB与双曲线左支有两个交点对结果进行取舍，从而得到答案 【详解11)山双自线r兰后=1a@6:心的焦范为点(6在r上， 可得2c=4,所以c=2,且京=1，又因为c=d+6,即a+b=4, [a2+b2=4 文方程组61，解得c3,6=1,所以T的方程为y2= 2)设直线1方程为y+m,代入圆的方程整理得x+心+心-4=0，直线与圆相 4 所以判别式△=m2-52+20=0,所以m2=5,切点位于x轴上方，故m=√5 将直线y=x+5代入双曲线r方程，整理得x:-V5x-6=0,解得x=6(V5±V万)， 2 12 P、2两点的坐标分别为(6√5-6√7,4W5-3√7)、(6√5+6W7,4W5+3√7)， 从而0P.00=180-252+80-63=-55: 另解：由题意设直线1方程为y分+，该直线与圆：+y=4相切， 1 y=2x+√5 则圆心到直线的距离d= 2m=2,解得m=√5.联立 得x2-12W5x-72=0 x 32=1 设P(,片)，2(2，y2),则x+x2=12V5，x2=-72 子2+5125+5=-5 (3)由题意直线AB与CD平行，由双曲线的对称性，易知AB=CD,四边形ABCD为平行四边形. 当直线AB垂直于x轴时，A-2,此时四边形4BCD的面积为S5 ,不合题意，舍去： 3 设直线AB方程为y=k(x+2),则直线CD方程为y=(x-2), 14k 直线AB和CD的距离就是点F,到直线AB的距离d= V1+k2, x2 设A(x,y),B(x4,y4),联立方程组 -y2=1 3 ,整理的1-32)x2-12k2x-12k2-3=0, y=k(x+2) 12k2 则△=12(K+>0,且+x=1-3农，x,= -12k2-3 1-3k2, 又由双曲线的渐近线的方程为y=±5，x 一X, 3 要使得过T的左焦点R的直线AB交T的左支于点A、日，可得2>，(：西，>0) 则41七-i+c+-46=*+.209 1-3k23k2-1 所以5401=25+2x485+尺46，化简可得7k-8:+1=0, 3k2-1V1+k2 3k2-1 解得-方或=1，因为产>行所以产=1 故直线AB的方程为x-y+2=0或x+y+2=0. D B 另解：设直线B方程为x=-2,代入双曲线方程得，2》°-少=1，整理得 3 (k:-3)y-4的+1=0，因为双曲线的渐近线斜率为5，直线4B与双曲线左支交于两点，所以忙≠3) 3 为y禁3所以-+Fg-灯=+后yw-g 4k