2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想题型卷（3）数学（新一卷）

**基本信息** 聚焦真实情境与数学思维融合，如新能源汽车保值率（指数模型）、射箭游戏概率（数据意识），体现数学应用与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、向量、数列、统计|基础巩固，如复数性质判断（运算能力）| |填空题|3/15|数列求和、二项式系数、立体几何|能力提升，如圆柱表面动点距离（空间观念）| |解答题|5/77|三角、概率、立体几何、椭圆、导数|创新应用，如导数题证明曲线位置关系（逻辑推理）|

2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想题型卷（3） 数学（新一卷） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上； 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上； 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 6．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 8．若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 9．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 11．已知棱长为的正四面体的四个顶点、、、均在球的球面上，动点、分别在棱、上（不包括端点），则（   ） A．面积的最小值为 B．若恰有两个点满足，则的取值范围是 C．到平面和到平面的距离之和为定值 D．若，则的周长不可能为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 13．的展开式中的系数为__________. 14．已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤。 15．（13分）已知函数，． (1)求； (2)中，若构成等差数列，且，求． 16．（15分）甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲． (1)求第3次射箭的人是甲的概率； (2)甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，O为底面中心，，． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面PAB与平面ABCD夹角的余弦值的范围． 18．（17分）已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 19．（17分）函数的定义域为，，为处的切线． (1)的最大值； (2)证明：，除点A外，曲线均在上方； (3)若，证明：对任意的，有． 学科网（北京）股份有限公司 $《2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想题型卷(3)数学（新一卷）》参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 11 答案 D 0 B 9 B B A BC AD ACD 1.D 【详解】集合N表示的是奇数集，集合M中为奇数的元素为-1,1,3， 所以MnN={-1,1,3. 2.D 【详解】由已知=6=1，a-万=-，所以a在万方向上的投影向量为 a.b.B=-16 3.B 【详解】a1a4a,=a=64,a4=4，又a60,=a4a=4a,=8,∴a,=2. 4.A 【详解】由y=x且0<c<1在(0，+0)上单调递增，a>0,b>0, 若a°<b°<1，则0<a<b<1, 由y=c且0<c<1在0，+0上单调递减，a>0,b>0, 若cb<ca<1,则b>a>0, 显然0<a<b<1可推出b>a>0,反之不一定成立， 综上，“a°<b<1”是“cb<c“<1”的充分不必要条件. 5.B 【详解】解法：由a+B=子，得a-了B,所以 2sim-sinp-2cos-sin5, sinB=_5 5 联立cos2B+sinp=1,得 CosB=2v ,所以anB=-】 5 裤法：曲a+月-号，得u=号-A,所以2n行-snB=2aoB-smB=5, (2cosp-sinB)4cosB-4cosB-sinB +sinB4-4tanB+tan'p cos2β+sin2β cos2β+sin2β 1+tan2B 则4anB+4tan5+1=2tanB+1'三0，所以tan5=-) 解法三：山a+B-子符a--B, 所以2sin（3-P-sn0=2cas0-sinB=5cosB+p=5,其中amp- 所以月+p=2a,1teZ,则a0=am时2-pj=-ap=号 6.D 【详解】由f(x≥g(x),则2x-m)lnx≥2nx-mn, 即2x-m)(lnx-n≥0对于x>0恒成立， 而函数y=2x-m和y=lnx-n在0，+oo)上均为增函数， 则函数y=2x-m和y=lnx-n在(0，+o)上有共同的零点， 即空=e,则m=20,即公-2公 ,n≠0，则h(=2e(n- 设h(n)=2e n 3 令h'(n)<0,得n<0或0<n<1,令'(n)>0,得n>1, 所以函数h(n在-o,0)和(0,1上单调递减，在(1，+oo上单调递增， 又n<0时，hn<0,n>0时，hn>0,且h(1=2e, 则h(n∈(-o,0U[2e,+0,即"的取值范围是(-，0)U[2e,+o). 7.B 【详解】由题意，当t=0时，p=ab°=a=1' ab2=72% a=1 根据题中数据，可列方程组 则 ab4=51.84% 1,则ab=0.72<40% b=0.72 2g2-1,所以t>5.57,由t∈N,则t≥6， 即5>1og0720.4=g*2 所以该车大约在使用6年后会进入“大幅贬值”区间 8.A 【详解】由直线1：3x+4y-2+22x+y+2)=0, 3x+4y-2=0 x=-2 (2x+y+2=0,解得 y=2’ 则直线1（不包含直线2x+y+2=0)过定点B(-2,2), 由对称性可知，MB=WB=V4+1=√5，即点N到定点B(-2,2)的距离为V5, 又直线1不包含直线2x+y+2=0, 所以点M(0,1)关于直线2x+y+2=0的对称点Q不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以B为圆心，√5为半径的圆（去掉点Q),因此，点N的轨迹为圆的一部分 9.BC 【详解】解：选项A,由z=1+2i,则z=1-2i,所以A错误： 选项B,由z=1+2i,则z2=(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i,所以B正确： 选项C,由z=1+2i,则z-i=1+2i-i=1+i=V2+12=V2,所以C正确： 选项D,由z=1+2i,则z-1=1+2i-1=2i=2,所以D错误， 10.AD 【详解】对于A:因随机变量X~N(1,o2),则u=1, 由正态曲线的对称性可得P(X≤0)=P(X≥2)，故A正确： 对于B:由事件A,B相互独立，可知P(A∩B=PAPB,对于随机事件A,B, 都有P(AUB)=P(A+P(B)-P(A⌒B)=P(A+P(B)-P(P(B), 故仅当A,B互斥时，才有PA∩B=0,故该结论不成立，即B错误： 对于C,由题意，x=12x,s2=2x-2=2, n 对于数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1, 其均值为7-22+=2x立+nx日2x+1, 其方为-∑[2x+-了-∑[2g-]=4×(g-列=4s=4x2=8, 故C错误； 对于D,相关指数R2越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小， 则该回归模型的拟合效果越好，故D正确 11.ACD 【详解】将正四面体ABCD补成正方体，以点D为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐 标系， D(0,0,0), 设0=-90其中01，则9 Q A0= 2,5,0 221 4B= 2’2 所以点Q到直线AB的距离为d A·AB 要〔日9 当且仅当元=时，等号成立，即点Q到直线AB距离的最小值为 2 1 所以S△40=7AB:d≥)×1X 22,A对： 24 对于B选项，易知球心O为正方体体对角线DF的中点，且F √2√2V2 2’22 测球心0 同理可知OC-6,所以△O8C为等题直角三角形， 故恰有两个点P满足OP=m,则d,<m≤OC，即m的取值范围是 √2√6 4’4 B错； 对于C选项，'Bcn=Vic-EaPg-4W,Dmc 易知ABC、△ABD都是边长为1的等边三角形， Sacamo 4 4 设点Q到平面ABC、平面ABD的距离分别为h、h2, 由'0cm=。-c+g-4得V5_ 13 =3xSch+写x5.m6=3×4 ×(h+h2), 123 解得h+h= 6,C对： 对于D选项，设CP=x,CQ=y,x、y∈(0,1， 在△BC0中，coS∠BCO=BC-V6 20C3 所以在△PC0中，由余弦定理，得OP2=x2+ 6 -2x 66-x+ 4 43 同理，有00=-y+ 3 在△PCQ中，由余弦定理，得P02=x2+y2-2cos=x2+y2-y, 3 在直角△P0Q中，PQ=0P2+0Q, 3 .3 3 所以产+少-w=少-y+8+-x+令即x+y=y+ 3 由基本不等式，得x+y之2V,即w+≥2√w, :=,则+之2，解得1≤分或≥号金> 4 所以y≤，显然等号可以取得， 4 在a0Pe=r+产-w=x+-3w(+)-3-- 3 又w≤4所以P=4w, 所以△PCO的周长为PQ+CP+CQ= q-+x+y-3 3 少+ 3 +xy= 4 3 则△PCQ的周长为定值。，不可能为√2，所以选项D正确， 4052 12. 2027 【详解】数列{an}中，a1=1,当n≥2时，an-a-1=n, 则当n≥2时，a,=a+(a,-a)+(a,-a)+…+(a,-n)=1+2+3+…+n=nm+, 2 11, 而4=1满足上式，因t0,-+D,1-2=2 2’ann(n+1)nn+1' 则8.=0-*兮+*+日1=20中0 所以S2026= 2×20264052 2027 2027 13.30 【详解】(x2+x+y=[（(x2+x刘+y]了， 其展开式的通项为T,1=C5(x2+xy,r∈N,r≤5， 令r=2,得(x2+x'的展开式的通项为C(x2)3x=C5x6-t,keN,k≤3， 令6-k=5,得k=1, 则(x2+x+y的展开式中xy2的系数为CC?=30. 14.-27 【详解】如图：过点A、B、C分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆O,O,O2, 设点A在圆O,O,上的射影点为B2,C2,点B在圆O上的射影点为B,点C在圆O上的射 影点为C, B B 01 A B10 '0, C 则AB·AC=(AB,+AB2)(AC+AC2) =AB·AC+AB,·AC+AE·AC+AB,·AC=AB·AC+AB·AC 由B,C2=AB2|+|AC2=10, c小 -25,当且仅当|AB,HAC=5时取等， 如图在圆O所在平面，取点A为圆O与x轴负半轴交点，建立平面直角坐标系. 则A(-2,0),设B(2cosa,2sin),C,(2cosB,2sinβ)， B B =(2cosa+2,2sina),AC=(2cos B+2,2sin B), 则AB,·AC=(2cosa+2)(2cosB+2)+2sina·2sinp =4 cosa cosβ+4 sina sinβ+4cosa+4cosβ+4 =4cos(a-B)+4cosa +4cosB+4 -8 onu）o)oou】 ≥2scfe=ara）--2 当）-山，mr,）叶，等号陵立 故AB.AC≥-2-25=-27， 所以AB.AC的最小值为-27. 15.【详解】(1)f0)=sinp=- 21 0=2M-g或9=2a-hcz刘， 6 又：-<p<0,9=8 (2)因为在ABC中，A,B,C构成等差数列， 则2B=A+C,结合A+B+C=π，可得B= 3 ）m4) A+C= 2π 62 smc小esc= c0s2C=2cos2C-1=2× 9-1=-7 2 25 16.【详解】(1)记“第3次射箭的人是甲”为事件A,所以 p叫小-+-8 即第3次射箭的人是甲的概率为 9 36 (2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3， 8Px-0-子司 叫x=子*号11}号7 叫x=2--引---}--)4 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 7 37 27 27 144 所以E(X)=0× 8+1× 7+2x37+3x 3577 2 2 144 16432 17.【详解】(1)因为底面ABCD是正方形，则AC⊥BD, 因为AP=PC,O为底面中心，则O为AC的中点，所以PO⊥AC, 又PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD, 又因为ACC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PBD: (2)以OD,OA为x,y轴，过O与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，由于AC⊥平面PBD,所以平面PBD即为xOz面， 由AB=2√2得AC=4,即OA=0C=2,又AP=PC=V5,所以P0=1, 所以A(0,2,0),B(-2,0,0),P(cos0,0,sin0), BA=(2,2,0),AP=(cos0,-2,sin0), 设平面PAB的一个法向量是m=(x,y,z), m·BA=2x+2y=0 则 令x=1,则m=(1,-1,- 2+c0s0 m.AP=xcos0-2y+zsin0=0 sin0 平面ABCD的一个法向量是n=(0,0,1),∈(0，)， 2+c0s0 m.n sin0 2+c0s0 2+c0s0 cos m,= 列 1+1+( 2+c0s02 V2sin20+(2+cos0)2√6+4cos0-cos2θ sin 令t=2+c0s0∈(1,3)， t 1 cosm,= 6+4t-2)-(t-2)2V-6+8t-t2 6+8-1 12 令m-兮》，则水os成F了6m+8m-司 令fmj=-6m2+8m-1,m-号时.am名f-=f0=1, 2 所以写m<1时，1长f)≤子 以cosm,∈力 所以平面PB与平面ABCD夹角的余弦值的范围是 2,0 18.【详解】1)由题可知，G=2,e=5,因此c=1,b=1,因此椭圆C:号+y广=1 2 (2)(i)设P(m,0),则过点P且斜率为1的直线可设为1：y=x-m,m∈(-√2,0)，设 D(x1,y),E(x2,y2),且x≠x2 V += 2 E 点D,E都在椭圆上，因此有 ,两式相减，得 2 ☒+5x-2+(0,+y0y-2)=0, 2 两边同除(x,+x2)(x1-x2),得： 吉知加号w=0树眠e日 1 0在定直线y三<0上，因此ZP0Q的大小为定值，且sSin∠Po0 在△OPQ中，由正弦定理可知 1O91_P| ,变形可得 sin∠OPO sin∠POQ √2 100_ sin∠OPQ =2= 10 IPO sin∠POg 5 1O9为定值 PO 2 (i)由∠D0Q=45°，利用斜率夹角公式：设OD的斜率为k,O0的斜率koo=- 则 2 -( Sm45=因D第象限，>0解器k头需 31 1+k:(2 3 又因为=-m,联立得x-30将其代入椭圆方程号+y=1,得： +(=1解得 2 m2=8 119 0 因为m<0,故m=-2V22 P/at 11 联立直线1与椭圆方程C,得3x2-4mx+2m2-2=0 4m,因此x,= 由韦达定理可知，，+，= 43 1 ÷m=m,y,=2-m7 m. 3 2 6 6 7. 故△EOP的面积为 3 19.【详解】1)x(-1+o,令=1+，则1>0，f-,设g-,求 导得g()=1-ln1, 2 令g't=0,解得t=e, 当t∈(0，e)时，g'(t)>0,g(t)单调递增，当t∈(e,+o)时，g't)<0,g(t)单调递减； g)在1=e时取得最大值，最大值gc=血e=,即f(x的最大值为 ee (2):l为A(a,f(a)处的切线，.切线l的方程为：y=f'(a(x-a+f(a, h(x)=f(x)-f"(a)(x-a)+f(a),h(a)=f(a)-f(a)(a-a)+f(a)=0, 求导得(x=f"(x)-∫(a)= In(1+x)In(1+a) 1+x1+a 由(1)知，f'(x)=gt),t=1+x),，g(t)在(0，e)上递增， 当-1<a<0时，0<1+a<1,则g(t)在(0,1)上递增： 若x>a,即1+x>1+a,则h'(x>0,h(x)单调递增； 若x<a,即1+x<1+a,则'(x<0,hx)单调递减； 若x≥0，即1+x≥1，则g(1+x≥g(1=0,而g(1+a)<0,故h'(x)>0,h(x)单调递 增； ∴.h(x)在x=a处取得最小值h(a=0, ∴.当x≠a时，hx)>0,即曲线在切线上方（除A点外），命题得证. 3)5=1+e=1+对e.血1+到=cn1+刘，求导得 1+x F()-em s5ou,o1-daa 12 2x2+1 令h+名，深导鸡国中：+4如一 x>-1,.H'x)>0,·H(x)在[0，+o)上单调递增，.H(x≥H(0)=1>0, G'(x)>0在[0，+o)上恒成立，故G(x在[0，+o上单调递增， :F(0)=0,.原不等式F(s+t)>F(s+F(t等价于F(s+t)-F(s>F(t)-F(O), p(x)=F(x+t)-F(x)=e*In(1+x+t)-e*In(1+x), pi=ea+i*t小-ean**]=ai*-. :G(x在(0，+0)上单调递增，t>0, ∴.G(x+t)>G(x),p'(x=G(x+t)-Gx)>0,p(x)在(0，+o)上单调递增， .对任意的s,te(0,+oo）,p(s>p0),即F(s+t)-F(s>F(t)-F(0), ∴对任意的s,t∈(0，+o),有F(s+)>F(s+F(t),命题得证.