2026年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷（3）（新一卷）

**基本信息** 2026年高考数学新一卷模拟卷，覆盖复数、集合、向量等核心知识，通过概率情境、导数应用等题设计，考查数学眼光、思维与语言，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、向量、椭圆离心率等|第9题抽奖情境考查条件概率，体现数学语言表达现实世界| |填空题|3题15分|二项式系数、双曲线渐近线、组合数求和|第14题组合数求和考查创新思维，体现数学眼光观察规律| |解答题|5题77分|数列、立体几何、抛物线切线、导数应用、概率统计|第17题抛物线切线与面积最小值综合考查解析几何与函数，第19题概率统计结合数学期望与最值，注重能力提升与创新应用|

《2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（3）数学（新一卷）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A A A B C A AC AB AD 1．B 【详解】因为，所以复数的共轭复数为. 2．B 【详解】由题可得，于是，其中共4个元素. 3．A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得，又因为， 故，，， 代入等式得：，解得. 4．A 【详解】 . 5．A 【详解】已知，则. 6．B 【详解】因为. 所以对于任意的，都成立，所以命题为真命题. 命题是全称命题，所以它的否定为. 命题为真命题，且命题的否定为. 7．C 【详解】连接，设，则，，， 由，则，故， 所以，可得，则， 所以，，又， 所以，可得，即（负值舍）. 8．A 【分析】根据的图像关于点（，1）对称，得到是奇函数，构造函数，由得到在上递增，然后将转化为求解. 【详解】因为的图像关于点（，1）对称，所以是奇函数， 因为对任意的实数均有成立， 所以对任意的实数均有成立， 令，则 ， 所以 在上递增， 因为，又， 所以， 9．AC 【详解】由题意可知，甲箱中每次抽到红球的概率为，乙箱中每次抽到红球的概率为. 因为参与者选择箱子是随机的，所以. 对于A，在事件发生的条件下（即选择了甲箱） 每次抽到红球的概率为，且各次抽取相互独立, 两次均抽到红球的概率为，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，在事件发生的条件下（即选择了乙箱），每次抽到红球的概率为， 两次均抽到红球的概率为，由全概率公式可得， ，故C正确； 对于D，因为，所以， 因此事件与事件不独立，故D错误. 10．AB 【详解】对于A，当，时，函数取得最小值，A正确； 对于B，，点是函数图象的一个对称中心，B正确； 对于C，由，得，因此函数在区间上单调递减，C错误； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到，D错误． 11．AD 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 12． 【详解】因为的项可以由展开式中含的项与1的乘积构成， 又展开式中的项为； 因为的项可以由展开式中含的项与的乘积构成， 又的展开式中含的项为， 所以的展开式中的项为. 故的展开式中的系数为. 13． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）．故答案为：． 14．925 【详解】将分成如下25组：， 因为所选取的个数，任意两数之和不为，也不为， 故只能从每一组中选择一个数，故必须选取，故不能选取， 考虑，所以只能选取，再考虑。该组只能选择， 故只能依次选取， 故这个数的和为. 15．【详解】（1）解：因为数列的前项和为， 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，所以， 又由， 设等差数列的公差为，可得，即，解得， 所以， 因此，数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，，可得， 因为为在区间内项的个数， 又由，可得，即， 所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以数列的前项和为 16．【详解】（1）取的中点为，在线段上取点， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为和分别为和的中点，所以，且 因此且，所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面，所以平面. （2）因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为，故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面，所以平面 过点作，垂足为点，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为. 17．【详解】（1）由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为， 焦点到直线的距离为，解得， 因此抛物线的方程为. （2） （i）设切点，由得 ，. 则抛物线在点处的切线斜率为，切线方程为且， 整理得， 因为在切线上，代入切线方程得， 同理，对切点可得. 说明两点都满足方程，由两点确定一条直线得，直线的方程就是得证. （ii）联立直线与抛物线的方程， 消去得，判别式， 由韦达定理得， 弦长， 点到直线的距离，   因此的面积. 因为，当即时，取得最小值， 因此面积的最小值为. 18．【详解】（1）当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. （3）令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 19．【分析】（1）（i）先根据题意求出小明从甲口袋摸出一个白球的概率和从乙口袋摸出一个白球的概率，然后求出小明4次摸球中，摸出的都是红球的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得答案；（ii）的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求出的数学期望； （2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，则，然后利用导数可求得其最大值. 【详解】（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为. （i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且， 所以. （ii）的所有可能取值为， 由（i），得，， ，，， 所以. （2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为，则. 因为， 所以当时，；当1时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，最大， 此时，解得， 故当时，最大. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（3） 数学（新一卷） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上， 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，，则的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知命题：，，则下列结论正确的是（   ） A．为真命题，且命题的否定为：， B．为真命题，且命题的否定为：， C．为假命题，且命题的否定为：， D．为假命题，且命题的否定为：， 7．已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（    ） A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1） 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲､乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和1个白球，乙箱中有3个红球和2个白球，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次都抽到红球”，则（    ） A． B． C． D．与相互独立 10．已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．的展开式中的系数为______． 13．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 14．从这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49也不等于50，则这25个数字之和为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）已知数列的前项和为，等差数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和，求. 16．（15分）在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 17． （15分）已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线 ：的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 18．（17分）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 19．（17分）已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $