精品解析：2026年山西省太原市九年级二模数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试（二） 数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 衡量手机信号强弱最准确的指标是，即参考信号接收功率（单位：），其数值范围通常在到之间，绝对值越小，表示信号越强．下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，信号越强对应的绝对值越小，计算各选项的绝对值并比较大小即可得到结果． 【详解】解：、、、， 由于， 则的绝对值最小，对应信号最强． 2. 电子社保卡是实体社保卡的线上版本，具有与实体社保卡相同的法律效力．下面是电子社保卡小程序中的一组图标，文字上方的部分是轴对称图形的是（ ） A. 综合服务 B. 社会保障 C. 人才人事 D. 常用服务 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知，均为正整数，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查乘方的意义以及幂的乘方运算法则，先根据乘方定义化简括号内的部分，再利用幂的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 4. 如图是实践小组利用3D打印技术制作的多功能支架及其主视图，其左视图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据三视图的定义解答即可，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线． 【详解】解：从左边观察物体得到的图形是左视图，其中有两条看不见的轮廓线要画成虚线，具体图形如下： 5. 随着国家“东数西算”工程的推进，全国智能算力总规模进一步提升．某人工智能超算中心每秒可处理数据条，若该中心持续运行3600秒，则这段时间内能处理的数据量用科学记数法表示为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法要求表示形式为，其中，所以将初步结果调整为符合科学记数法规范的形式，再匹配对应选项． 【详解】由题意可得， ∴ ， 故选C． 6. 如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出然后利用平行线的性质求出，则利用三角形内角和定理即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（ ） A. 做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B. 第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C. 两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D. 重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，概率反映随机事件发生的可能性大小，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，概率不代表试验中必然得到确定的结果． 【详解】根据概率的定义，概率是描述随机事件发生可能性大小的量，不是确定的必然结果。 选项A，概率为仅表示发生可能性，做次重复试验，该事件不一定恰好发生次，故选项A错误； 选项B，每次试验都是独立的随机事件，第一次试验该事件没发生，第二次试验不一定发生，故选项B错误； 选项C，两次重复试验中，该事件可能发生0次，1次或2次，不是必定发生一次，故选项C错误； 选项D，重复多次试验时，该事件发生的频率稳定在概率左右，符合概率的基本意义，故选项D正确． 8. 如图，点是外一点，，与相切于点，，是的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由切线的性质和圆周角定理求出，的度数，最后利用三角形的内角和计算即可. 【详解】解：连接， ∵，与相切于点，， ∴，， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴. 9. 我国某盐湖地区有“夏天晒盐，冬天捞碱”的说法，这里的“盐”是指，“碱”是指．如图是和的溶解度曲线，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 的溶解度随温度的升高而增大 B. 时的溶解度大于的溶解度 C. 的溶解度随温度升高而显著增大 D. 和的溶解度相同时，温度为 【答案】B 【解析】 【分析】根据和的溶解度曲线逐项进行分析即可． 【详解】解：A. 的溶解度随温度的升高而先增大后减小，故该选项错误，不符合题意； B. 时的溶解度大于的溶解度，故该选项正确，符合题意； C. 的溶解度随温度升高而缓慢增加，故该选项错误，不符合题意； D. 和的溶解度相同时，温度低于，故该选项错误，不符合题意； 10. 如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系中图形的平移及关于轴对称的点的坐标特征解题即可． 【详解】解：∵点，关于轴对称，点，的对应点分别为点，， ∴点，横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即，， ∵点的坐标为，沿轴正半轴方向平移，点，在轴上， ∴当点在内部时，． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 将二次根式化为最简二次根式__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，属于基础题型，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 12. 如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 【答案】丙 【解析】 【分析】根据平均数越高的成绩越好，方差越小发挥越稳定，故选择平均数高的且方差小的同学去参加比赛即可． 【详解】解：∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的平均数高， ∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的方差相比，丙同学的方差较小，发挥稳定， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，应该选择丙． 13. 无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】因为牵引力F和速度v是反比例函数关系，所以先设反比例函数的一般形式，其中k为常数且，把已知的、代入反比例函数表达式，求出k的值，确定F与v的函数解析式，因为要求，所以将代入已得到的函数解析式，求解对应的v值，结合反比例函数的增减性，得到v的最大值． 【详解】∵牵引力和速度是反比例函数关系， ∴设， 将，代入解析式，得， ∴函数关系式为， 当时，代入得， ∵， 解得， ∴拖拉机速度的最大值为． 14. 如图，以线段为边，在其两侧作正五边形，再分别以点，为圆心，的长为半径作和，得到的扇形和扇形与两个五边形组成一个轴对称图形，其中，点，，，均为五边形的顶点．若，则这个轴对称图形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】牢记正多边形的内角和为，算出和的圆心角度数，根据弧长公式（n为圆心角度数，r为半径）算出和长度，最后根据周长定义进行求解． 【详解】解：由题意可知：正五边形的内角和为：， 每个内角的度数为， ， ， ，， 所以这个图形的周长为：． 15. 如图，已知中，，，，点是上一点，，点在的延长线上，连接并延长交边于点．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据可以求出，利用勾股定理可以求出，根据可得：，过点作，可得，根据相似三角形的性质可以求出，，过点作，根据等腰三角形的三线合一定理可知，是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可以求出，从而可知，，由可知，求出，利用即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 过点作， 则， ， ， ，， 过点作， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算绝对值、括号内的、负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先通分算括号内的减法，再算分式的除法即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，已知中，点是的中点，连接，点是上一点，且．试判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】方法1：根据等腰三角形三线合一的性质，得出垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得解；方法2：根据等腰三角形三线合一的性质，证明，即可得解． 【详解】解：，理由如下： 方法1：点D是的中点， ，即是的中线， ， ． 垂直平分． 点E在线段上， 点A是垂直平分线上的点． ． 方法2：点D是的中点， ，即是的中线． ， ． ， ． ， ． ． 18. 为深入贯彻习近平总书记关于“爱读书、读好书、善读书”的重要指示精神，教育部于2026年4月发布《中国青少年阅读素养框架》教育行业标准．依据这一框架，某校从七年级学生中随机抽取40名进行阅读素养测评（满分20分），将测评成绩分为5组（每组成绩含最小值不含最大值）进行整理，绘制成如下的频数直方图： 【数据整理】 说明：①在组内的10个数据为：；；；；；；；；； ②其他各组内的数据均无重复． 【数据分析】 40名同学阅读素养测评成绩分析数据统计表 平均数/（分） 众数/（分） 中位数/（分） 【问题解决】 （1）表中________，________； （2）若将阅读素养测评得分不低于17分划定为“良好”，由此可估计该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有________人； （3）学校对数据进行分析后，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰．学生小王说：“我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能受到表彰！”他的分析合理吗？请你进行判断，并说明理由． 【答案】（1）17.8，17.8 （2）270 （3）小王的分析不合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）利用“样本估计总体”进行求解即可； （3）利用中位数和平均数进行判断即可． 【小问1详解】 解：40个数据的中位数是第20个和第21个数据的平均数，由直方图可知， 和两组人数为：， 说明第20、21个数据都在组内， 在组内的10个数据从小到大排列为： ；；；；；；； ； ； 则中位数为； 由于其他各组内的数据均无重复，在组内，出现3次， 则众数为； 【小问2详解】 解：人 则该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有270人； 【小问3详解】 解：小王的分析不合理； 理由：因为40名学生阅读素养测评得分的中位数为分，前一半的学生进行表彰，则被表彰的学生分数至少为分；年级测评得分的平均数为分，虽然小王的成绩比年级平均分高，但是不确定是否达到分，所以小王的分析不合理． 19. 三晋黄土与千度窑火的千年契阔，淬炼出国家级非物质文化遗产——山西琉璃这门东方古法技艺．某文创店主从厂家购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；他的同伴购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元． （1）求“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件的单价； （2）该店主发现这两种摆件都很畅销，他准备用元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售，他最多可以购入“琉璃小马”摆件多少个？ 【答案】（1）琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元 （2）个 【解析】 【分析】（1）设琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元，根据购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元列方程组求解即可； （2）设他可以购买琉璃小马摆件个，根据元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售列不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元， 根据题意，得 解得：， 答：琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元． 【小问2详解】 解：设他可以购买琉璃小马摆件个， 根据题意，得 ， 解得， 为正整数， ∴的最大值为， 答：他最多可以购买琉璃小马摆件个． 20. 如图1是街角公园（部分）的俯视图．已知街角公园毗邻两段互相垂直的小路，，其中路段的长为，路段的长为，街道平行于小路，点表示街道上的一盏路灯（图中所有点均在同一水平面内）．数学实践小组的同学利用测角仪器测得 ， ，请根据上述测量结果计算出小路与街道之间的距离（结果精确到；参考数据： ， ，，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点G，过点C作于点H．设 ，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：延长交于点G，过点C作于点H． 由题意可知四边形是矩形． ， ． 设 ． ， ． 在中，， ，， ． 在中，， ，， ． ， ． 解，得 ． 即 ． 答：小路与街道之间的距离约为． 21. 阅读与思考 下面是一篇数学小短文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 利用对称作图 在平面几何中，我们经常需要根据条件用尺规作出满足特定几何关系的图形．下面介绍一个有趣的作图问题： 问题呈现：已知：如图1，点，是外的两点（，，三点不共线，且）．求作：的直径，使得． 思路梳理：为解决这个问题，我们先画出目标图形的草图探索作法： 如图2，假设直径已经作出，且满足．借助草图可发现，作图的关键是确定直径端点（或）在圆上的位置．由圆的对称性想到，直径的端点，关于圆心对称，因此可以作点关于圆心的对称点，只要确定点，使，就可以得到． 作图步骤：… 根据以上材料，解答下列问题： 推理解释： （1）由“思路梳理”中的分析过程可得，点与关于点对称，且为的直径．请根据上述条件，借助图2说明当时，； 实践操作： （2）在图1中完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种符合要求的直径即可）； 推广应用： （3）如图3，有一个正方形养殖场，点，表示养殖场外部的两个饲料存放点．现要在养殖场内规划一条笔直的通道（，均在养殖场的边界上）．若通道平分养殖场面积，且从点到点的最短路线与点到点的最短路线相等．请在图3中用尺规作出表示通道的线段（要求：从饲料存放点到通道端点的最短路线不能经过养殖场内部）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据点A与关于O对称，是直径，则，证明，从而得出结论； （2）连接，以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点，则，再连接，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线与交于点，连接并延长，交于点，直径即为所求；由垂直平分线的性质得到，结合（1）中结论得到； （3）连接、，交于点，同（2）作点关于的对称点，连接，作线段的垂直平分线，交正方形边界于点（满足最短路线不经过养殖场内部即可），连接并延长，交正方形另一条边界于，线段即为所求；同（1）即可证明． 【小问1详解】 解：点A与关于点O对称， ， PQ为的直径， ， 在和中， ， ， ， 当时，成立； 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质、线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境：随着旅游热度上涨，来山西的游客日益增多，且客房入住数量也随之增加．某古镇特色酒店有客房120间，酒店经理计划调整房价，以获取最大利润．经过前期调研获得如下信息： 某月连续五天每日房价与客房入住数报表 日期 房价（元／间） 客房入住数（间） 第一天 160 120 第二天 200 96 第三天 190 102 第四天 170 114 第五天 180 108 建立模型：酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化．设每日房价为（元／间），客房入住数为（间），日营收金额为（元），其中，，均为正整数，且 ．根据报表所提供的信息，解决下列问题． 注：日营收金额房价客房入住数． 解决问题： （1）客房入住数（间）是房价（元／间）的________函数（填“一次”、“反比例”或“二次”），与之间的函数关系式为________； （2）当该酒店客房日营收金额（元）最大时，求这一天客房的房价； （3）为吸引顾客，酒店决定为入住房客赠送当地特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品成本为元（）．已知每间入住客房的固定成本（含保洁、水电等）为30元．若酒店希望在房价不超过200元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本的取值范围． 注：日毛利润日营收金额固定总成本礼品总成本． 【答案】（1）一次： （2）180元/间 （3） 【解析】 【分析】（1）观察表格可知，客房入住数（间）是房价（元／间）的一次函数，利用待定系数法求解可得与之间的函数关系式； （2）依据“日营收金额=当日房价×客房入住数”即可得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）设该酒店日毛利润为元，依据“日毛利润日营收金额固定总成本礼品总成本”即可得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质 即可求出礼品成本的取值范围． 【小问1详解】 解：观察表格可知，客房入住数（间）是房价（元／间）的一次函数， 设，将，代入，得 ，解得， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：依题意得，， ， ∴当时，该酒店客房日营收金额（元）最大． 【小问3详解】 解：设该酒店日毛利润为元， 依题意得，， ， 对称轴为：直线， ， ∴当时，随的增大而增大． ，解得， 又， ∴． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，已知中，，点是边的中点，过点作的平行线交于点． 猜想论证： （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； 拓展探究： （2）在图1的基础上，连接并延长交射线于点，连接并延长交线段于点（其余条件不变），探究下列问题： ①猜想图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出的值． 【答案】（1）菱形，见解析 （2）①，见解析；②或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再通过论证，得到是菱形； （2）①利用可得，利用可得，进而可得；②分两种情况讨论即可．　 【小问1详解】 答：菱形，理由如下： ∵，中， ∴四边形是平行四边形， ∵点是边的中点， ∴， ∵中，， ∴， ∴是菱形； 【小问2详解】 ①答：，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵是中点， ∴ ∴，即：， 即： 同理：， 即：， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴即： ∴即： ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴； 当时， ∵由（1）得， ，，∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试（二） 数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 衡量手机信号强弱最准确的指标是，即参考信号接收功率（单位：），其数值范围通常在到之间，绝对值越小，表示信号越强．下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 电子社保卡是实体社保卡的线上版本，具有与实体社保卡相同的法律效力．下面是电子社保卡小程序中的一组图标，文字上方的部分是轴对称图形的是（ ） A. 综合服务 B. 社会保障 C. 人才人事 D. 常用服务 3. 已知，均为正整数，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是实践小组利用3D打印技术制作的多功能支架及其主视图，其左视图正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着国家“东数西算”工程的推进，全国智能算力总规模进一步提升．某人工智能超算中心每秒可处理数据条，若该中心持续运行3600秒，则这段时间内能处理的数据量用科学记数法表示为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 6. 如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（ ） A. 做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B. 第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C. 两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D. 重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 8. 如图，点是外一点，，与相切于点，，是的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国某盐湖地区有“夏天晒盐，冬天捞碱”的说法，这里的“盐”是指，“碱”是指．如图是和的溶解度曲线，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 的溶解度随温度的升高而增大 B. 时的溶解度大于的溶解度 C. 的溶解度随温度升高而显著增大 D. 和的溶解度相同时，温度为 10. 如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 将二次根式化为最简二次根式__________． 12. 如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 13. 无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 14. 如图，以线段为边，在其两侧作正五边形，再分别以点，为圆心，的长为半径作和，得到的扇形和扇形与两个五边形组成一个轴对称图形，其中，点，，，均为五边形的顶点．若，则这个轴对称图形的周长为_______． 15. 如图，已知中，，，，点是上一点，，点在的延长线上，连接并延长交边于点．若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，已知中，点是的中点，连接，点是上一点，且．试判断线段和的数量关系，并说明理由． 18. 为深入贯彻习近平总书记关于“爱读书、读好书、善读书”的重要指示精神，教育部于2026年4月发布《中国青少年阅读素养框架》教育行业标准．依据这一框架，某校从七年级学生中随机抽取40名进行阅读素养测评（满分20分），将测评成绩分为5组（每组成绩含最小值不含最大值）进行整理，绘制成如下的频数直方图： 【数据整理】 说明：①在组内的10个数据为：；；；；；；；；； ②其他各组内的数据均无重复． 【数据分析】 40名同学阅读素养测评成绩分析数据统计表 平均数/（分） 众数/（分） 中位数/（分） 【问题解决】 （1）表中________，________； （2）若将阅读素养测评得分不低于17分划定为“良好”，由此可估计该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有________人； （3）学校对数据进行分析后，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰．学生小王说：“我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能受到表彰！”他的分析合理吗？请你进行判断，并说明理由． 19. 三晋黄土与千度窑火的千年契阔，淬炼出国家级非物质文化遗产——山西琉璃这门东方古法技艺．某文创店主从厂家购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；他的同伴购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元． （1）求“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件的单价； （2）该店主发现这两种摆件都很畅销，他准备用元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售，他最多可以购入“琉璃小马”摆件多少个？ 20. 如图1是街角公园（部分）的俯视图．已知街角公园毗邻两段互相垂直的小路，，其中路段的长为，路段的长为，街道平行于小路，点表示街道上的一盏路灯（图中所有点均在同一水平面内）．数学实践小组的同学利用测角仪器测得 ， ，请根据上述测量结果计算出小路与街道之间的距离（结果精确到；参考数据： ， ，，，，）． 21. 阅读与思考 下面是一篇数学小短文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 利用对称作图 在平面几何中，我们经常需要根据条件用尺规作出满足特定几何关系的图形．下面介绍一个有趣的作图问题： 问题呈现：已知：如图1，点，是外的两点（，，三点不共线，且）．求作：的直径，使得． 思路梳理：为解决这个问题，我们先画出目标图形的草图探索作法： 如图2，假设直径已经作出，且满足．借助草图可发现，作图的关键是确定直径端点（或）在圆上的位置．由圆的对称性想到，直径的端点，关于圆心对称，因此可以作点关于圆心的对称点，只要确定点，使，就可以得到． 作图步骤：… 根据以上材料，解答下列问题： 推理解释： （1）由“思路梳理”中的分析过程可得，点与关于点对称，且为的直径．请根据上述条件，借助图2说明当时，； 实践操作： （2）在图1中完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种符合要求的直径即可）； 推广应用： （3）如图3，有一个正方形养殖场，点，表示养殖场外部的两个饲料存放点．现要在养殖场内规划一条笔直的通道（，均在养殖场的边界上）．若通道平分养殖场面积，且从点到点的最短路线与点到点的最短路线相等．请在图3中用尺规作出表示通道的线段（要求：从饲料存放点到通道端点的最短路线不能经过养殖场内部）． 22. 综合与实践 问题情境：随着旅游热度上涨，来山西的游客日益增多，且客房入住数量也随之增加．某古镇特色酒店有客房120间，酒店经理计划调整房价，以获取最大利润．经过前期调研获得如下信息： 某月连续五天每日房价与客房入住数报表 日期 房价（元／间） 客房入住数（间） 第一天 160 120 第二天 200 96 第三天 190 102 第四天 170 114 第五天 180 108 建立模型：酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化．设每日房价为（元／间），客房入住数为（间），日营收金额为（元），其中，，均为正整数，且 ．根据报表所提供的信息，解决下列问题． 注：日营收金额房价客房入住数． 解决问题： （1）客房入住数（间）是房价（元／间）的________函数（填“一次”、“反比例”或“二次”），与之间的函数关系式为________； （2）当该酒店客房日营收金额（元）最大时，求这一天客房的房价； （3）为吸引顾客，酒店决定为入住房客赠送当地特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品成本为元（）．已知每间入住客房的固定成本（含保洁、水电等）为30元．若酒店希望在房价不超过200元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本的取值范围． 注：日毛利润日营收金额固定总成本礼品总成本． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，已知中，，点是边的中点，过点作的平行线交于点． 猜想论证： （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； 拓展探究： （2）在图1的基础上，连接并延长交射线于点，连接并延长交线段于点（其余条件不变），探究下列问题： ①猜想图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $