精品解析：2026年山西省朔州市怀仁市第二中学九年级学业水平调研数学卷

2026年怀仁市第二中学校九年级学业水平研卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（ ） A. 24200吨 B. 242000吨 C. 2420吨 D. 2420000吨 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解长江流域的水质污染情况 B. 了解某战斗机所有关键零件的尺寸精度 C. 测试某品牌手机的电池续航能力 D. 了解全国中小学生每日的睡眠情况 6. 下列哪个数是不等式的一个解？（ ） A. -3 B. C. D. 2 7. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B. 一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C. 太原市1月15日的最高温度为 D. 用长为，，三根木棒做成一个三角形 9. 用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 2025年中国探月工程在载人登月技术验证和月球科学研究双线并进，取得了扎实的突破．为此，某学校科技小组的学生设计了一枚纪念徽章，徽章中心设计图案如下：在一个边长为2的正方形内，以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O，象征四支火箭轨道汇聚于月球．则四段圆弧围成的阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为 ． 12. 在一次大型活动的无人机编队表演中，一个由数百架AI无人机组成的机群在夜空中呈现出动态变化的立体图案，其中，三架关键无人机构成了整个编队的基础定位三角．表演控制系统的显示屏上实时显示着它们的平面投影坐标：无人机A的坐标为，无人机C的坐标为，根据编队设计规则，这三架无人机的位置关系始终保持特定的几何结构（如图所示），则点B的坐标是________． 13. 某湿地公园规划将一片五边形区域划分为多个三角形生态保育区．规划人员在五边形内部设置若干个观测点，连同五个顶点，用小路（直线段）连接这些点，使得每个区域都是三角形且小路除端点外不交叉．经验发现：如图，当五边形内有1个观测点时，可得分5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得分7个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区数量为________． 14. 如图，与的边相切，切点为A．将绕点A按顺时针方向旋转得到（点C与点O对应），边交于点E．若，，则的长为 _____． 15. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是____. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）解方程组； （2）计算：． 17. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 18. 某校化学教学组采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．一氧化碳还原氧化铜；．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）_________，所对应的扇形圆心角是_________； （2）根据调查结果，估计该校九年级名学生中有_________人最喜欢的实验是“．一氧化碳还原氧化铜”； （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，、、三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 19. 某文创工作室为2025年全国运动会设计吉祥物，用30000元定制运动手环与钥匙扣共1100个，用于赛事宣传礼品，购买手环的费用与采购钥匙扣的费用相同．已知运动手环的单价是钥匙扣单价的1.2倍，求运动手环和钥匙扣的单价各是多少元？ 20. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度） 90 75 60 45 30 15 参考数据：，． 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 （1）任务1：确定影子长度某一时刻测得米，请求出此时影子的长度 （2）任务2：判断是否照射到这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会受到太阳光照射到？ 21. 图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． （1）操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． （2）探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 22. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 23. 数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 （1）如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 （2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 （3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年怀仁市第二中学校九年级学业水平研卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：C． 3. 中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（ ） A. 24200吨 B. 242000吨 C. 2420吨 D. 2420000吨 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，将（n为正整数）还原时，把a的小数点向右移动n位即可得到原数． 【详解】解：∵给定数为，其中， ∴将2.42的小数点向右移动5位，可得原数为242000， 即原数为242000吨，对应选项为B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂的除法、完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类项的法则，对各选项逐一计算即可判断正误． 【详解】A．，结果不是，错误； B．结果不是，错误； C．结果不是，错误； D．计算正确，正确． 5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解长江流域的水质污染情况 B. 了解某战斗机所有关键零件的尺寸精度 C. 测试某品牌手机的电池续航能力 D. 了解全国中小学生每日的睡眠情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全面调查的适用条件，根据调查的范围、要求和性质，判断符合全面调查适用要求的选项即可． 【详解】全面调查适用于要求结果精确、调查不具有破坏性、调查对象可控的情况，当调查范围广、具有破坏性或调查对象数量过大时，适合抽样调查． ∵选项A调查长江流域水质，范围过大，无法逐一调查，适合抽样调查，不符合要求． ∵选项C测试手机电池续航，测试过程具有破坏性，且样本数量大，适合抽样调查，不符合要求． ∵选项D调查全国中小学生睡眠情况，调查对象数量多范围广，适合抽样调查，不符合要求． ∵选项B中战斗机关键零件的尺寸精度直接影响飞行安全，要求绝对精准，必须对所有关键零件逐一检查，因此适合全面调查． 6. 下列哪个数是不等式的一个解？（ ） A. -3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可． 【详解】解：解不等式，得 因为只有-3<,所以只有-3是不等式的一个解 故选：A 【点睛】此题考查不等式解集的意义，是一道基础题．理解不等式的解集的意义是解题的关键． 7. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知，先判断三个点所在象限，再根据同一象限内y随x的变化规律比较大小． 【详解】解：∵对于反比例函数，， ∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵点 ，的横坐标都小于， ∴，在第二象限， ∵， ∴ ， ∵点的横坐标大于， ∴在第四象限，可得， ∴． 8. 在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B. 一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C. 太原市1月15日的最高温度为 D. 用长为，，三根木棒做成一个三角形 【答案】D 【解析】 【分析】结合生活实际，以及三角形三边关系判断各事件类型，即可比较得到可能性最小的事件． 【详解】解：∵ A选项中，水沸腾温度为是随机事件，可能性大于1， B选项中，专业射击运动员无风条件下一次命中10环是随机事件，可能性大于1， C选项中，太原市1月15日最高温度为是随机事件，可能性大于1， D选项中，根据，则这三根木棒不能组成三角形，该事件是不可能事件，发生可能性为0， ∴ 发生可能性最小的是D． 9. 用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可． 【详解】解：A、由作图可知，，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确； B、由作图可知，即四边相等的平行四边形是菱形，正确； C、由作图可知，只能得出四边形是平行四边形，错误； D、由作图可知，对角线平分对角，可以得出是菱形，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 10. 2025年中国探月工程在载人登月技术验证和月球科学研究双线并进，取得了扎实的突破．为此，某学校科技小组的学生设计了一枚纪念徽章，徽章中心设计图案如下：在一个边长为2的正方形内，以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O，象征四支火箭轨道汇聚于月球．则四段圆弧围成的阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形边长求出对角线长，从而确定扇形半径；然后计算四个扇形的面积之和；最后利用面积的和差关系，用四个扇形的面积和减去正方形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：  正方形边长为，  正方形面积 ， ∴对角线长为．   扇形半径为对角线长的一半 ，  半径．  四个扇形的圆心角均为 ，  四个扇形的面积之和．   ∵正方形被四个扇形完全覆盖，其中阴影部分为两个扇形的重叠部分，空白部分为一个扇形的非重叠部分 ， ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为 ． 【答案】 【解析】 【分析】直接把分子相加减即可. 【详解】=,故答案为. 【点睛】本题考查了分式的加减法，关键是要注意通分及约分的灵活应用． 12. 在一次大型活动的无人机编队表演中，一个由数百架AI无人机组成的机群在夜空中呈现出动态变化的立体图案，其中，三架关键无人机构成了整个编队的基础定位三角．表演控制系统的显示屏上实时显示着它们的平面投影坐标：无人机A的坐标为，无人机C的坐标为，根据编队设计规则，这三架无人机的位置关系始终保持特定的几何结构（如图所示），则点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知点  和点  的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及单位长度，利用网格结构推导点  的坐标． 【详解】解：由点  的坐标为 ，点  的坐标为  可知，平面直角坐标系中每个小正方形的边长代表  个单位长度， 根据点  向左平移  个单位，向下平移  个单位可确定坐标原点的位置， 观察图形可知，点  在坐标原点的右侧 3个单位长度，上方2个单位长度处， 所以点  的横坐标为 ，纵坐标为 ． 即点  的坐标为 ． 13. 某湿地公园规划将一片五边形区域划分为多个三角形生态保育区．规划人员在五边形内部设置若干个观测点，连同五个顶点，用小路（直线段）连接这些点，使得每个区域都是三角形且小路除端点外不交叉．经验发现：如图，当五边形内有1个观测点时，可得分5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得分7个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区数量为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察图形中三角形数量随观测点数量增加的变化规律，每增加1个点，增加2个三角形，即可求解． 【详解】解：当五边形内有1个观测点时，可得分5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得分7个三角形生态区（不被分割的三角形）， …… 每增加1个点，增加2个三角形， ∴当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区数量为． 14. 如图，与的边相切，切点为A．将绕点A按顺时针方向旋转得到（点C与点O对应），边交于点E．若，，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，，根据旋转可得为等边三角形，进而可求出，再利用，可证明三点共线，得出，即可作答． 【详解】解：如图，连接，， 由题意得：， ∴ ∴为等边三角形， ∴， 与相切于点， ， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴ ∵旋转性质 则 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是____. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意连接EC.再根据勾股定理计算EC、GC的长，设BF=x,根据勾股定理列方程进而求解未知数x.再计算EF的长度. 【详解】根据题意连接EC, 沿折叠后，点恰好落到上的点处 为直角三角形， 在直角三角形中， 所以 设BF=x,所以 ，BC=12 根据勾股定理可得 所以可得x= 所以可得 因此答案为 . 【点睛】本题主要考查矩形的知识，关键在于折叠的图形的性质不变,和原来的图形是全等的. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）解方程组； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解二元一次方程组即可； （2）先分别化简二次根式、绝对值、负整数指数幂，再合并计算，即可得到结果． 【小问1详解】 解：  ， ①②得：，  解得， 把代入①得：  ， 解得， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：   ． 17. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，熟练地求解函数解析式是解本题的关键． （1）根据待定系数法，可得函数的解析式； （2）先求出直线与轴交点坐标，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得，， ∴， ∴， 再将代入，则， 解得， ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，在中，令，则 解得， ∴C点坐标， ∴． 18. 某校化学教学组采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．一氧化碳还原氧化铜；．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）_________，所对应的扇形圆心角是_________； （2）根据调查结果，估计该校九年级名学生中有_________人最喜欢的实验是“．一氧化碳还原氧化铜”； （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，、、三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】（1）50， （2）120人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，列表或画树状图求概率，解题的关键是数形结合，根据题意画出树状图或列出表格． （1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可； （2）用800人乘以类所占的百分比即可； （3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为 (人)， 选择C的学生人数为 (人)， 故； E所对应的扇形圆心角是， 故答案为：50，： 【小问2详解】 解： (人)， 答：估计该校九年级名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”； 【小问3详解】 解：根据题意列表如下： 由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有 6种，分别为， ， ， ， ， ， ∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊) ． 19. 某文创工作室为2025年全国运动会设计吉祥物，用30000元定制运动手环与钥匙扣共1100个，用于赛事宣传礼品，购买手环的费用与采购钥匙扣的费用相同．已知运动手环的单价是钥匙扣单价的1.2倍，求运动手环和钥匙扣的单价各是多少元？ 【答案】运动手环单价为30元，钥匙扣单价为25元． 【解析】 【分析】先由题意得到两种商品各自的采购费用为15000元，设钥匙扣的单价为元，则运动手环的单价为元，再根据总数量为1100个列分式方程，检验后即可得到结果. 根据题意正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解 由题意得，购买运动手环和购买钥匙扣的费用均为  （元）， 设钥匙扣的单价为元，则运动手环的单价为元， 根据两种商品总数量为1100个， 列方程得            解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 运动手环单价为  （元）， 答：运动手环单价是30元，钥匙扣单价是25元． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度） 90 75 60 45 30 15 参考数据：，． 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 （1）任务1：确定影子长度某一时刻测得米，请求出此时影子的长度 （2）任务2：判断是否照射到这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会受到太阳光照射到？ 【答案】（1）米； （2）小明会被照射到． 【解析】 【分析】（1）先过点作于点，过点作于点，再求出，从而得出，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，因为点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，再作比较即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点，过点作于点． ，， ， ，， ， ， ． ， ， ， ，四边形为矩形， ，， ， ， 在中，（米）； 【小问2详解】 解：如图2，过点作交于点． 由（1）知，， ， ， 在中，， ， ． 在中，， 在中，， 在中，当时，， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 21. 图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． （1）操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． （2）探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查圆与网格作图，勾股定理与网格，求弧长； （1）步骤一：在图1、图2、图3中连接，则中点即为圆心O． 步骤二：取圆心右边4格的格点，则，，此时，即为的切线． 步骤三：图2中，连接，根据和竖直方向距离2格得到与中间横线的交点即为线段中点，连接并延长与交点即为，根据垂径定理可得F是的中点． （2）①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ，根据F是的中点得到，再求出半径，即可求出的长度； ②连接，则、、三点共线，设与交于点，连接，先证明为等腰直角三角形，再在中求出，最后在中求出． 【小问1详解】 解：圆心O，切线，使F是的中点，如图所示： 【小问2详解】 解：①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵半径， ∴的长度为； ②连接，则、、三点共线，设与交于点，连接， 由图可得，，，， ∴， ∴， ∴． 22. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】（1）11.25， （2） （3）她当天的比赛不能成功完成此动作 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米 对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解： ∴点坐标为 ∴ ∴ 当时， ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 23. 数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 （1）如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 （2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 （3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或1或4 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，，再在利用勾股定理即可求解； （2）作于点，作于点，由旋转的性质得，，，根据等角对等边得出，则有，，通过证明得到，设，在和中分别利用勾股定理，得到关于的方程，解出的值，求出的长，再在中利用正弦的定义即可求解； （3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，画出对应的示意图，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理即可求解． 【小问1详解】 解：矩形， ， ， 由旋转的性质得，，，， ，， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，作于点，作于点， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ， 在中，， ． 【小问3详解】 解：①若，连接，如图， 由旋转的性质得，， 点，分别为，中点， ，， ，， ， 三点共线， ， 又， ， ， ； ②若且在的下方，连接，如图， 点，分别为，中点， ，， ， ， 三点共线， 由旋转的性质得，， ， ； ③若且在的上方，连接，如图， 点，分别为，中点， ，， ， ， 三点共线， 由旋转的性质得，， ， ； 综上所述，的长为或1或4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、求角的正弦值、相似三角形的性质与判定、三角形中位线定理，结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $