精品解析：湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

湖北曾都一中2025至2026学年高二下5月月考数学试卷 时间120分 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知随机变量的分布列如表所示，则（ ） 0 1 A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用概率之和等于1求解，然后求解期望即可． 【详解】解：由题意可得：，解得． 所以． 故选：A． 2. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 3. 已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解. 【详解】由题意杯子的底面面积， 则杯中溶液上升高度， 则， 当时，， 即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为. 故选：B. 4. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件 根据题目条件可知，，，， 根据全概率公式，可得，解得. 5. 现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（ ） A. 84种 B. 129种 C. 156种 D. 165种 【答案】D 【解析】 【详解】3本都给1个人：共种； 3本分为1本和2本，分给2个人：选2个不同竞拍者并分配数量，共种； 3本分给3个人，每人1本：选3个不同竞拍者，共种； 总结果数：种. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对立事件概率公式求出，进一步由条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， . 故选：A. 7. 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且.发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则（ ） A. 2 B. 1.6 C. 7.4 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】依据回归方程必过样本中心点，代入计算即可得结果. 【详解】根据可知，因此经验回归方程必过， 易知去掉与的两组数据的平均值为，则剩余数据均值不变， 因此新求得经验回归方程也过， 即可得，解得. 故选：C 8. 设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由结合题意可得，再由裂项求和法可化简，即可得答案. 【详解】由， 又， 则， 又时，，则. 则， 则. 令. 故选：A 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心 B. 设随机变量，则 C. 天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为 D. 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由最小二乘法求线性回归直线的过程判定；选项B，由二项分布的方差计算公式求值；选项C，由相互独立事件的概率公式求解；选项D，由的计算过程判定. 【详解】A选项：由最小二乘法求线性回归直线的过程可知，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心，故选项A正确； B选项：因为随机变量，所以，故选项B正确； C选项：根据题目条件，可得这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为，故选项C错误； D选项：在线性回归模型中，由的计算过程可知，越接近于1，表示回归的效果越好，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 时，有3个零点 C. 时， D. 时，过原点可作两条不同直线与图象相切 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，结合三次函数图象判断ABC；设出切点坐标并求出切线方程，确定切线过原点时方程解的个数判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， A，函数在处取得极大值，在取得极小值，因此是的极值点，A正确； B，，，由三次函数的性质知， 当且仅当且，即时，函数有3个零点，B错误； C，当时，，，C正确； D，当时，，设切点坐标为， 切线方程为， 由切线过原点，得，整理得， 令，求导得， 由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 函数有唯一零点，因此过原点只能作一条直线与图象相切，D错误. 11. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则（ ） A. 过点可作两条直线与曲线相切 B. 曲线是某个函数的图象 C. 过曲线上一点作与的垂线，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为2 D. 曲线上存在两个不同的点、，使得线段被点平分 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据绝对值分类求出函数在各个区间的解析式；再根据切线方程、函数定义、距离公式求面积、中点弦和韦达定理判断选项. 【详解】对于：， 当，方程为，曲线在第一象限的部分为的图象； 当，方程变为，无解，曲线不经过第二象限； 当，方程变为，曲线在第三象限的部分为的图象； 当，方程变为，曲线在第四象限的部分为的图象. A选项：由图知曲线分布在第一、三、四象限，易知在第四象限过点无法作曲线的切线， 而在第一象限，由，设切点为，则切线方程为， 将代入上式，可得，化简得，该方程显然无解， 所以在第一象限也无法作出曲线的切线，同理在第三象限也作不出切线，故A错误； B选项：由上分析，可知当时，，当，， 当，，所以该曲线是一个分段函数的图象，故B正确； C选项：如图，因在曲线上，则其到和的距离之积即为四边形的面积， 设，由距离公式得的面积为， 在曲线的第一象限部分，因，则； 在曲线的第四象限部分，因，则， 因为，所以时，取得最大值； 在曲线的第三象限部分，由，则. 综上分析，的最大值为，故C正确； D选项：点在第一象限，不妨设都在第一象限， 由为的中点，可得， ，两式相减得， 则，则直线的方程为， 联立消元可得，即 因，且，且， 故存在这样的线段被点平分，故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从正态分布且，则__________ 【答案】0.4 【解析】 【分析】根据随机变量X服从正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合求解. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以正态曲线关于对称， 因为， 所以， 所以， 故答案为：0.4 13. 已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【详解】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 14. 已知是函数的切线，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案． 【详解】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m）， 函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1， 则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1， 又由切线的方程为y＝kx+b， 则k1，b＝lnm﹣1， 则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1， 设g（m）＝lnm1，其导数g′（m）， 在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数， 在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数， 则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2； 故答案为ln2+2． 【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义． 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 16. 某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为. （1）设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差； （2）若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)根据题干，可知击中目标的人数服从二项分布，利用二项分布的期望和方差即可求出结果. （2）根据题干写出的表达式，再利用导数判断其单调性即可求出最大值. 【小问1详解】 四人互不影响地同时对同一目标进行射击，可以看成4次独立重复试验，且， . 【小问2详解】 依题意有 又.所以在区间上单调递增， 17. 函数． （1）讨论的单调性； （2）若有最大值M，且，求a的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）1 【解析】 【分析】 （1）求出，分或两种情况讨论可得； （2）由（1）可得，则，构造函数，利用导数可求最大值得出，则，即可得出. 【详解】解：（1）易知，， 当时对任意的恒成立； 当时，若，得，若，得， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得当时，单调递增，则没有最大值，， 则在上单调递增，在上单调递减， ，即， ，，即， 令， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， ， ，. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先得出，再根据导数求出函数单调性，得出. 18. 已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项积； （3）记，求数列的前20项和． 【答案】（1） （2） （3）3120 【解析】 【小问1详解】 是首项为0的等差数列，，，， 又是等比数列，， ，即 ，，即 ，解得， 是等差数列， 当时，, ，即为定值， 数列为首项，公比的等比数列 的通项公式为. 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， ， ，时， 即是首项为1，公差为4的等差数列， 令， 则 记的前n项和为， ， 数列的前20项和为3120． 19. 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. （1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； （2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； （3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率计算公式即可求出结果. （2）分别求出的概率，即可列出分布列和求出数学期望. （3）根据题干列出的递推公式，再利用构造新数列的方法即可求出结果. 【小问1详解】 依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球， 其概率为. 【小问2详解】 依题意. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故分布列为： X 2 3 4 5 6 7 P 期望. 【小问3详解】 依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则. 令， 即数列是以为首项，公比为的等比数列， .当时满足等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高二下5月月考数学试卷 时间120分 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知随机变量的分布列如表所示，则（ ） 0 1 A. B. 0 C. D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 3. 已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 4. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（ ） A. 84种 B. 129种 C. 156种 D. 165种 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且.发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则（ ） A. 2 B. 1.6 C. 7.4 D. 0.8 8. 设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心 B. 设随机变量，则 C. 天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为 D. 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 时，有3个零点 C. 时， D. 时，过原点可作两条不同直线与图象相切 11. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则（ ） A. 过点可作两条直线与曲线相切 B. 曲线是某个函数的图象 C. 过曲线上一点作与的垂线，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为2 D. 曲线上存在两个不同的点、，使得线段被点平分 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从正态分布且，则__________ 13. 已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______. 14. 已知是函数的切线，则的最小值为______． 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 16. 某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为. （1）设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差； （2）若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值. 17. 函数． （1）讨论的单调性； （2）若有最大值M，且，求a的值． 18. 已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项积； （3）记，求数列的前20项和． 19. 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. （1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； （2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； （3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $