导数与函数的单调性、极值、最值 期末复习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数与函数性质的系统性训练，以题载法构建从定义应用到综合实践的完整逻辑链，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4、填空12|导数几何意义求切线、定义法求导|从导数定义到几何意义，夯实概念生成基础| |综合应用|单选5-8、多选9-11、填空13-14、解答15-17|同构函数法、构造函数比较大小、导数法证不等式|联结单调性、极值与不等式，形成原理推导-应用拓展链条| |实际应用|解答18-19|分段函数求最值、导数解决优化问题|迁移数学知识至现实情境，体现模型意识与应用能力|

河北省宁晋县第二中学 多元绽放 人人出彩 导数与函数的单调性，极值，最值 2025-2026学年高二下数学期末复习题 组编： 审核： 使用日期： 一、单选题 1．函数的图象在点处的切线方程为（） A． B． C． D． 2．若曲线在点处的切线的斜率为2，则t的值为（） A．–1 B． C．0 D．1 3．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（） A． B． C． D． 4．函数，则的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则 的值为（） A． B．1 C． D． 6．已知函数在上单调递增，则的最小值为（） A．0 B．1 C． D． 7．已知函数，则不等式的解集是（） A． B． C． D． 8．已知，，，则（） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数在R上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 10．设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（） A．与，都有关 B．仅与有关而与无关 C．仅与有关而与无关 D．与，均无关 11．已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 三、填空题 12．曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为______. 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________． 14．已知是定义域为R的偶函数，当时，.那么函数的极值点的个数是___ 四、解答题 15．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 16．给定函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数 17．已知，求证：恒成立. 18．2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产万件产品，每件产品需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完． (1)求利润函数的解析式； (2)求利润函数的最大值． 19．设 ，曲线 在点 处的切线垂直于 轴. (1)求的值； (2)求函数 的极值. 1．A 【分析】利用导数几何意义求切线方程即可. 【详解】因为，所以， 则，， 所以所求切线的方程为，即. 故选：A. 2．C 【分析】求导解方程即得解. 【详解】由题得，所以. 故选：C 3．A 【分析】根据导函数图象可判断原函数切线斜率的变化，结合选项中的图象即可判断． 【详解】由图可知在上单调递减，在上单调递增， 则的切线斜率在上递减，在上递增，选项A符合题意； 选项B，的切线斜率在上递增，在上递减，不符合题意； 选项C，的切线斜率在上递减，不符合题意； 选项D，的切线斜率在上递增，不符合题意. 故选：A． 4．A 【分析】利用导数的定义，以及导数的运算法则，即可求解． 【详解】 ， ∴， 故． 故选：A． 5．A 【分析】依题意得，，则，即，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可. 【详解】依题意得，，即，， ，即，， ， ， 又， 同构函数：，， 则， 又， ，，，又， ，在上单调递增，， . 故选：A 【点睛】关键点点睛： （1）函数零点即为函数的取值； （2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域； （3）运用导数研究函数的单调性，进而确定； （4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值. 6．B 【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解. 【详解】由题意，函数 的定义域为， 导函数为， 因为函数在单调递增， 所以在恒成立， 所以，即， 故， 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 7．B 【分析】利用导数探讨函数的单调性，求出其零点，进而求出不等式的解集. 【详解】函数定义域为R，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且，， 由不等式，得或， 所以不等式的解集是. 故选：B 8．A 【分析】构建，，利用导数分别判断其单调性，结合单调性比较大小即可. 【详解】构建，则， 可知函数在内单调递增，则， 令，可得， 即，所以； 构建，则， 可知函数在内单调递增，则， 令，可得，即， 可得，所以； 综上所述：. 故选：A. 9．AC 【分析】根据导函数与函数单调性的关系一一判定即可. 【详解】因为函数，所以. 因为函数在R上单调递增，所以,对于任意的恒成立， 所以恒成立，即A正确； 但大小不确定，故B错误； 对于方程，有，即，所以C正确，D错误； 故选：AC. 10．ACD 【分析】利用导数和极限的关系结合导数的定义求解即可. 【详解】易知函数在处可导，故， 显然此极限仅与有关而与无关，故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果. 【详解】时，单调递减；时，单调递增， 已知图象中在上单调递减，在上单调递增， 且有两个零点和的是， ， 由图象，当时，先正后负，在上不单调，A错误； 当时，，单调递增，B错误； 当时，，单调递减，C正确； 当时，，无意义，D错误. 故选：ABD. 12． 【分析】设切点为，利用导数几何意义及斜率两点式列方程求，即可得切线斜率. 【详解】因为，所以，设切点为，则， 所以，解得，所以，即切线的斜率为. 故答案为： 13． 【分析】将题设等价于在上恒成立即可求解. 【详解】由题可得在上恒成立， 因为的图像是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．3 【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数在上的单调性，再结合偶函数的性质求出极值点个数作答. 【详解】当时，，当时，，当且仅当时取等号， 当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数是偶函数，于是在上单调递减，在上单调递增， 因此在或处取得极大值，在处取得极小值， 所以函数的极值点的个数是3. 故答案为：3 15．(1) (2) (3) 【分析】根据导数运算法则，即可求解. 【详解】（1），； （2）， （3），. 16．(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值，无极大值； (2)作图见详解； (3)答案见详解 【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）由函数的单调性、极值即可作出图象. （3）利用数形结合法即可求解. 【详解】（1）由，定义域为 ， 令，即， 令，即， 令，即， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，为极小值点， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）函数的大致图象，如图所示：    （3）方程解的个数等价于与的交点个数. 由（2）可知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 17．证明见解析 【分析】要证明，只需要证明即可.从而利用导数法判断函数的单调性并求出最小值即可求解. 【详解】证明：，显然在单调递增， 又，，所以存在唯一的使得 即，两边取对数得 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以， 所以恒成立． 18．(1) (2)1000万元． 【分析】（1）根据题意，分段表示销售利润，即得利润函数； （2）对利润函数分段讨论，利用求导、基本不等式等方法求函数的最大值即得. 【详解】（1）由题意得，销售收入为万元． 当产量不足50万件时，， 利润为：； 当产量不小于50万件时，， 利润为：. 所以利润函数为 （2）当时，， 所以当时，在上单调递增； 当时，在单调递减， 所以当时，取得最大值； 当时， 当且仅当，即时，等号成立 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元． 19．(1)1 (2)极大值 ，无极小值. 【分析】（1）由，即可求解； （2）由，确定单调区间即可求解. 【详解】（1）， 由题可知 ， ; （2）由 (1) 知， ， 当 时， 在单调递增， 当 时， 在单调递减， 故有极大值 ，无极小值. 勤学善思 荣校报国，第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $