2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习(人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部)

**基本信息** 聚焦高二选择性必修内容，原创题占比高，结合近视调查、蔷薇花扦插等现实情境，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数计算、二项式系数、概率分布|原创题结合随机变量与展开式系数，多空题考查事件互斥与独立| |填空题|3题/15分|方差计算、极值点、概率期望|分层抽样方差计算，运动达标概率与期望结合生活场景| |解答题|5题/77分|二项式定理、独立性检验、导数证明|第17题近视调查卡方检验，第19题导数切线与极值点证明，体现逻辑推理与数据意识|

Sheet1 2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 导数定义的应用 0.75 2 单选题 5 正态分布、二项式定理、展开式系数和的求法 0.75 3 单选题 5 条件概率和全概率 0.7 4 单选题 5 排列组合、奇偶相间排列模型、相邻捆绑法 0.7 5 单选题 5 二项式系数的性质、通项公式、有理项判定、古典概型和组合计数 0.6 6 单选题 5 离散型随机变量的分布列性质、随机变量的期望计算、随机变量函数的概率计算 0.6 7 单选题 5 利用导数解决函数的零点问题 0.55 8 单选题 5 函数的单调性与最值、恒成立与存在性问题、导数的应用 0.5 9 多选题 6 互斥事件的定义及性质判断 0.7 10 多选题 6 二项式的通项公式、赋值法、导数的运算性质 0.6 11 多选题 6 百分位数、线性回归直线方程、正态分布、独立性检验 0.5~0.6 12 填空题 5 平均数的意义、由部分方差求总体方差的公式 0.7 13 填空题 5 函数的导数、导数与极值点关系 0.65~0.7 14 填空题 5 全概率公式计算、二项分布、数学期望公式 0.6 15 解答题 13 二项式系数、二项式系数之和、赋值法的应用 0.65~0.7 16 解答题 15 相互对立事件的概率、对立事件概率、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望、组合计数 0.65~0.7 17 解答题 15 条件概率、独立性检验 0.60~0.65 18 解答题 17 分层抽样的总样本均值与方差计算、离散型随机变量的分布列与数学期望 0.55~0.6 19 解答题 17 导数的几何意义、函数的极值点的判定、利用导数证明不等式 0.5~0.6 Sheet2 Sheet3 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（原创）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 2.（原创）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 3.某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（    ） A． B． C． D． 4.已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（    ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 5．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（    ） A． B． C． D． 6.已知随机变量的分布列是 0 1 随机变量的分布列是 1 2 3 以下错误的为（    ） A． B． C． D． 7.已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 8．已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 10.若，则（   ） A． B． C． D． 11.下列说法正确的是（    ） A．已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 其中 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的方差为 . 13.若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 14.小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为． (1)求； (2)记，求的值． 16.（15分）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 17.（15分）近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 (1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由； (2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 附：公式，独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18.（17分）四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 19．（17分）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：函数在区间内有且只有一个极值点； (3)证明：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（原创）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由在某点处导数的定义可知 所以 故选：C. 2.（原创）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以 设， 则当时，， 故选：A. 3.某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设小明选道类试题为事件， 小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 故，故C正确. 故选：C. 4.已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可. 【解析】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 5．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式系数的性质可知，再由二项展开式的通项求出有理项的个数，即可求解. 【解析】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以当时，分别为是整数， 即有理项有3项，可得. 故选：A. 6.已知随机变量的分布列是 0 1 随机变量的分布列是 1 2 3 以下错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确． 对于B中，，所以B正确． 对于C中，，， 所以，所以C错误． 对于D中，，， ，，， 计算得，所以，所以D正确. 故选：C． 7.已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】由，可得恒为的一个零点， 令，则恰有1个零点， 等价于的唯一零点是，或无零点. 因为，且， 所以恒成立，在上单调递增. 又时，时，因此必然存在唯一零点. 当的零点是时，可得 即，解得，. 故选:B. 8．已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，，令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以，所以. 故选：B 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 【答案】AC 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC. 【解析】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误． 故选：AC． 10.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；C：利用赋值法进行求解即可；D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【解析】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 11.下列说法正确的是（    ） A．已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 其中 【答案】ABC 【解析】对于A，将原数据按照从小到大的顺序排序为， 因为上四分位数就是第75百分位数，所以，所以， 因为的二项展开式的通项为 令，解得，所以的展开式中的系数为， 故A正确； 对于B，因为回归直线方程为过样本的中心点， 所以, 所以去除一个异常点后，， 所以新的回归直线必过点，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以其图象关于对称， 所以关于对称轴的对称点为，即， 关于对称轴的对称点为，即， 根据正态曲线的对称性可知 因为，所以， 所以，所以函数为偶函数，故C正确； 对于D，在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则 ， 所以变为原来的3倍，故D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的方差为 . 【答案】10 【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可. 【解析】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：10. 13.若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【解析】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 14.小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 . 【答案】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【解析】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为． (1)求； (2)记，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得，即可求； （2）先令，则，再令，则即可求解. 【解析】（1）由题意，二项式的通项公式为， （2分） 根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得 ，即， 解得. （6分） （2）由（1）可知， 令，则， （8分） 令，则， （11分） 则. （13分） 16.（15分）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为： 数学期望为1 【解析】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为，（2分） 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. （4分） 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. （7分） （2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， （9分） 分别计算概率得，， ，， （13分） 因此的分布列为： 所以数学期望为. （15分） 17.（15分）近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 (1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由； (2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 附：公式，独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，，有关联，理由见解析 (2)12.531，有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 【分析】（1）根据表中数据，即可得和的值，并根据其数值大小，分析可得是否有关. （2）根据数据，求出的值，分析比较，即可得答案. 【解析】（1）在（平均每天使用手机时间1小时以下）条件下，近视的频率为， 用频率估计概率，得， （2分） 在（平均每天使用手机时间1小时及以上）条件下，近视的频率为， 用频率估计概率，得，（4分） 使用手机时间少于1小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1小时及以上的学生近视概率约为0.65，两者有较大差异. 因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高. （8分） （2）由题意，，，，， （10分） 则， （14分） 由于，所以有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.（15分） 18.（17分）四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 【答案】(1)，； (2)的分布列为： X 0 1 2 P 【解析】（1）根据题意，得，（2分） 因为 ，（4分） 同理， （6分） 所以 （7分） 所以总样本的平均数为，方差． （8分） （2）依题意可知，的所有可能取值为，设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， “第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，且， 则，， （10分） 所以 ， ， （16分） 则的分布列为： X 0 1 2 P （17分） 19．（17分）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：函数在区间内有且只有一个极值点； (3)证明：. 【答案】(1)；(2)略；(3)略. 【解析】（1）的定义域为，且. 因为，所以曲线在点处的切线方程为.（3分） （2）.当时，因为和都是增函数， 所以是增函数. （5分） 又因为，所以，使得.（7分） 当时，：当时，. 于是，在上单调递减，在上单调递增. 因此，在区间内有且只有一个极小值点，无极大值点. （9分） （3）令，则. 当时，：当时，. 于是，在上单调递减，在上单调递增. （11分） 因此，. 令，则， （13分） 当且仅当时取等号. 于是，是增函数. （15分） 因此，当时，. 综上，，即. （17分） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $