命题大赛 云南玉溪2025-2026学年高二下学期期末测试数学练习

**基本信息** 覆盖集合、复数、数列等高考核心模块，通过立体几何折叠、数列递推等问题设计，梯度考查逻辑推理与空间观念，适配高二期末复习与高考衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系、复数运算、排列组合|以集合交并关系题考查抽象能力，体现数学眼光| |多选题|3/18|二项式定理、等差数列、抛物线|结合抛物线焦点弦性质题，考查推理论证，体现数学思维| |填空题|3/15|函数不等式、排列问题、椭圆离心率|椭圆离心率题需几何直观，体现数学语言表达| |解答题|5/77|解三角形、轨迹方程、立体几何、函数|立体几何折叠题综合空间证明与体积计算，梯度提升创新应用能力|

高二年级下学期期末测试 年级: 高二 科目: 数学 ·双向细目表 题号 题型 分值 试题内容 难易程度 备注 1 集合 5 集合基本关系及运算 易 改编题 2 复数 5 复数基本概念及运算 易 改编题 3 数列 5 数列基本公式应用 易 改编题 4 组合数 5 组合数实际应用 易 改编题 5 直线与圆 5 根据直线与圆的位置关系求三角形面积最大值问题 中 改编题 6 数列 5 周期性应用 中 改编题 7 充分必要条件 5 求参数范围问题 中 改编题 8 排列组合数 5 排列数、组合数的综合应用 难 改编题 9 二项式定理 6 二项式定理的综合应用 易 改编题 10 等差数列 6 等差数列基本运算 中 改编题 11 平面解析几何 6 抛物线的定义及性质 中 原创题 12 计数原理 5 计数原理计算排队问题 易 改编题 13 函数 5 函数单调性及奇偶性 中 原创题 14 平面解析几何 5 离心率求值问题 难 改编题 15 解三角形 13 解三角形的综合 中 改编题 16 平面解析几何 15 动点轨迹及几何中的最值问题 中 原创题 17 数列 15 数列的基本应用 中 改编题 18 空间几何 17 空间中的折叠与翻折问题 中 改编题 19 导数 17 导数综合应用求参数取值范围 难 改编题 命题 思想 达成目标 优秀率 及格率 平均分 5% 30% 75 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期末测试（高考内容）答案解析 一、单选题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B C A B A 5.C 【详解】 , 故选：C. 6．A 【详解】对于数列，因，且， 则，，，，......， 以此类推可知，对任意的，， 因为，故. 故选：A. 7．B 【详解】因为， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 8.A 【详解】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 三个0，不存在；三个1，2和0插空，有2种情况；同理三个2，有2种情况； 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时， 两个1，两个2，一个0：12021，21012，10212，12012，12102，12120，20121，21021，21201，21210，共10种情况； 两个0，两个2，一个1：用1插2020的空，有5种方法，20102，10202，共7种情况； 同理两个0，两个1，一个2：共7种情况； 综上，这样的五位数共有28种. 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分，多选错选不得分，部分选对得部分分） 题号 9 10 11 答案 ABD BD AD 9． 【答案】ABD 【详解】的展开式的通项为，， 对于A，由通项可得，前三项系数之和为，故A正确； 对于B，因二项展开式有9项，故二项式系数最大的项是最中间项，即第5项，故B正确； 对于C，在通项中，使，解得，无常数项，故C错误； 对于D，在中，令，即得所有项的系数之和为1，故D正确. 故选：ABD. 10. 【答案】BD 【详解】设等差数列的首项为，由题有，解得，所以选项B正确，选项A不正确， 又，由，得到，所以是数列前项和的最小值，故选项C不正确，选项D正确， 故选：BD. 11. 【答案】AD 【详解】设直线为，与抛物线联立的，，故轴平分 ，即A正确。设直线的倾斜角为，则，故最小值为4，即B错误；C选项中的最小值为点的准线的距离，最小值为4.故错误；D选项中，，故D正确。 故选：AD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．【答案】 【分析】利用优先法和分步计数乘法原理来求即可. 【详解】第一步：优先老师，排中间四个位置中的2个，有； 第二步：再排5名学生到剩下的五个位置上，有； 根据分步计算乘法原理可得：共有种排法， 故答案为：. 13.【答案】 【详解】：，则为偶函数且在单调递增，单调递减。，即，故解集为。 14. 【答案】 【详解】椭圆，左焦点， 设右焦点为，连接，, 如下图所示： 由圆可知圆心，半径， 显然，， 过左焦点作直线与圆的相切于点， 可知， 因此可得，可得， 所以，， 即可得，, 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 又，即4， 因此离心率. 故答案为：. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分） 15. 【详解】（1）因为sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以， ..................6分 （2）设的外接圆半径为，所以所以， 由正弦定理得， 故 又即， ..................10分 ，当且仅当时取等号， 故面积的最大值为. ..................13分 16. （1）由，消去参数，得动点的轨迹方程为。 ..................6分 (2)设则= ==， ..................13分 故当时，最大值为；当时，最小值为67. ..................15分 17．【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， ..................2分 所以，， 数列的前项和为，且， 当时，则有， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， ..................5分 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. ..................7分 （2）由（1）可得， ..................8分 所以，①， 则②， ①②得 ， 化简得. ..................15分 18．【详解】（1）证明：∵，∴． ∵在等腰梯形中，， ∴在四棱锥中，． 又，平面， ∴平面． 又∵平面，∴． ∵在等腰梯形中，，，且， ∴，，， 由勾股定理得，故， ∴， ∴由勾股定理逆定理得． ∵，平面， ∴平面． ..................6分 （2）∵，平面， ∴． ..................10分 （3）由(1) 知，AB,AD,A两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB,AD,A为x,y,z轴建立空间直角坐标系。 ∵且，则 所以 设平面的一个法向量为, 平面和平面夹角为 ∴· =0，· =0，∴, ..................13分 又∵平面的一个法向量为, ..................15分 ∴= ..................17分 19．【详解】 ..................5分 （2）由，， 当时，，在单调递增， ..................7分 当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在单调递增，无单调减区间； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增. ..................11分 （3）设切点为，依题意，，所以， 又，代入可得，， ..................13分 设， 则，所在单调递增， 因为，所以，. ..................17分 试卷第4页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期末测试（高考内容） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若非空集合 A，B，C，D 满足：A ∩ B = B，B ∩ C = D，则 ( ) A. A ⊆ C B. A ∩ B = ∅ C. A ∩ D = ∅ D.B ⊆ A 2. 在复平面内，复数 z = ( 为虚数单位)，则 ( ) A. z 的实部为 2 B. = 2 - i C. = D. z 对应的点位于第一象限 3.已知数列{an}中，a1＝1且，则＝(　　) A． B． C． D．9 4．某教学楼三楼楼道里有10盏灯,为了节约用电,需关掉4盏互不相邻的灯,则关灯方案有(　　) A.24种 B.35种 C.42种 D.70种 5．直线 与圆O：x2+y2=9 相交于 两点，当 ∆AOB面积最大时的值为（     ） A．2 B．4 C．3 D． 6.对于数列，若，且，则=（    ） A． B． C． D． 7．已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．只用0，1，2这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．28个 B．24个 C．22个 D．18个 二、多选题（每小题6分，共18分，多选错选不得分，部分选对得部分分） 9．的展开式中（    ） A．前三项系数之和为1024 B．二项式系数最大的项是第5项 C．常数项为240 D．所有项的系数之和为1 10. 若公差为的等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 11. 已知抛物线，焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，点为抛物线上一动点，下列说法正确的是（） 若则轴平分 弦长最小值为8 点到点的距离与到准线的距离之和的最小值为3 过点作直线与抛物线相交于两点，则的最小值为32 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知函数，则不等式的解集为． 13. 5名学生和2位老师站成一排照相，则老师不排在两端的排法有 种 14. 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分） 15．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 16.在平面直角坐标系中，如果点的坐标满足. （1） 求动点的轨迹。 （2） 已知平面上三点，求的最大值和最小值。 17.在等差数列中，，，数列的前项和为，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)求三棱柱的体积． (3)求平面和平面夹角的余弦值. (1)若求函数值域； (2)讨论的单调区间； (3)若直线为的切线，求a的值. 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $