云南省罗平县第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年下学期期末考试试卷 高二年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件 C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件 3.已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ） A. 1    B. 2    C.       D. 4.在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ） A.       B.       C.       D. 5.在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限 6.已知某圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A.       B.       C.       D. 7.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A.       B. C.       D. 8.已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（ ） A. 5    B. 9    C. 4    D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数，则（） A. 的极小值点为 B. 的极大值为 C. 曲线在单调递减 D. 曲线在点处的切线方程为 10.已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为      B. 点在圆内 C. 圆的半径为5      D. 点在圆内 11.已知，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若与垂直，则      B. 若与平行，则 C. 若与的夹角为钝角，则     D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为            . 13.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sm＋n(m，n∈N*)且a1＝5，则a8＝________． 14.某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为           ． 四、解答题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本题满分13分） 已知：函数. （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的单调区间. 16.（本题满分15分） 已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. （1）求圆的圆心坐标和半径; （2）求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 17.（本题满分15分） 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率； （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项. ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，求学生乙本题得0分的概率. ②若，且学生乙选择方案Ⅱ，求学生乙本题得4分的概率. 18.17.（本题满分17分） 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. （1）判断直线与的位置关系并证明； （2）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （3）若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 19. （本题满分17分） 设函数对任意实数都有. （1）若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； （2）设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明； （3）设，若在区间上严格递增，求：的取值范围. 一、单选题 1. C【解析】解不等式，可得， 所以. 解不等式，可得， 所以. 则. 故答案为：C. 2. A【解析】由可得. 解不等式，得. 因为“”能推出“”，而“”推不出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. D【解析】解法一：函数图象关于对称， 则，即，解得， 所以，化简得， 因为最大值为，所以最大值为. 解法二：可表示为， 因为图象关于对称，所以，即， 同解法一，得， 则， 所以最大值为. 4. A【解析】已知， 结合余弦定理形式，将两式对比：与， 可得，即， 因为，故， 故选：A． 5. D【解析】由复数的共轭复数性质，计算时，给分子分母同乘分母的共轭复数 由复数乘法运算法则及，得. 故 其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 6. A【解析】由圆锥侧面展开图是半径为的半圆，可知半圆弧长等于圆锥底面圆周长，且半圆半径为圆锥母线长， 半圆弧长为，设圆锥底面圆半径为，则底面圆周长，得， 圆锥的高、底面半径与母线满足， 圆锥体积. 故选：A. 7. D【解析】已知，. 则， ， 向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得：. 答案为D选项. 8. C【解析】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 二、多选题 9. BD【解析】， ， 令， 解得或， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，， A选项：极小值点为，A错误， B选项：极大值点为，，即极大值为，B正确， C选项：增区间是和，减区间是，C错误， D选项：，， 切线方程为，即，D正确， 综上，答案选BD. 10. ABC【解析】已知圆的方程， 可知圆心坐标为，半径，所以A、C正确. 点到圆心的距离的平方：， 所以点在圆内，B正确. 点到圆心的距离的平方：， 所以点在圆外，D错误. 答案是ABC选项. 11. BD【解析】 ， A选项：，则，解得，A错误. B选项：，则，即，解得，B正确. C选项：与夹角为钝角，则且与不共线反向.，得 共线反向时(已舍)，所以，C错误. D选项：时，， ，D正确. 答案为BD. 三、填空题 12. 【解析】设，. 因为为中点，可得，进而得到. 已知点在圆：上，将坐标代入圆方程：， 化简得，此为点的轨迹方程，圆心，半径. 是直线的斜率（），设直线方程为. 当直线与圆相切时，斜率取得最值. 此时圆心到直线的距离等于半径.即， 两边平方得，解得. 所以的最大值为. 13. 5【解析】数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5， 令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5. 所以an＋1＝5，故a8＝5. 14. 【解析】由总体密度函数， 知数学成绩，即均值， 已知， 则， 参加联考学生共人， 所以数学成绩超过分的人数约为人. 四、解答题 15. 解：（1） ， 所以. （2）， 令， 解得. 令， 解得. 因为， 所以单调减区间是和，单调增区间是. 16. 解：（1）已知圆的方程，通过配方将其转化为标准方程， 可知圆的圆心坐标为，半径. （2）设动直线过点，因为，所以点在圆内. 设线段中点，则，圆圆心，. 由于是弦中点，根据圆的性质，与直线垂直，又直线过，所以. 所以. 展开得，即. 配方可得. 所以线段中点的轨迹的标准方程为. 17. 解：（1）要得分需选对且不选错. 已知选项作出正确判断概率为；已知选项作出正确判断概率为. 已知选项，不作出错误判断的概率为； 已知选项，不作出错误判断的概率为. 根据独立事件概率公式. （2）①设事件为“正确答案是两个选项”，； 事件为“正确答案是三个选项”，. 若正确答案是两个选项，随机选一个选错的概率为； 若正确答案是三个选项，随机选一个选错的概率为. 根据全概率公式，得分（选错）的概率. ②设事件为“正确答案是三个选项”，. 从个选项中选个，共有种选法. 若正确答案是三个选项，选对两题的情况有种. 所以得分的概率. 18. 解：（1）是平行四边形，故， 平面平面，所以平面， 平面平面平面，因此， （2）当是中点时，平面平面， 取中点，连、， 是中点，是中点，故， 平面平面，则平面， 是中点，是中点，故， 平面平面，则平面， 平面， 所以平面平面. （3）连接，设到平面的距离为， 是中点，， 、是、中点，四边形面积， 下面几何体体积， 所以下面的几何体与四棱锥的体积比为. 19. （1）证明：令，代入， 得，即. 已知，令， 则； 令，， 则. 猜测：当时，. 当时，，猜测成立. 假设（）时，成立. 当时，， 即时猜测也成立. 所以当时，. 令，， 则， 可得； 令，； 令，，. 猜测当为负整数时，，可类似用数学归纳法证明. 综上，，. （2）证明：由（1）知. 当时，，，命题成立. 假设时，成立. 当时，. ，即时命题也成立. 综上，，成立. （3）解：已知，， 由可得. 则， ，， . 各式相加： . 是二次函数，其对称轴为. 因为在区间上严格递增， 所以对称轴， 解不等式得. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $