精品解析：贵州黔西南州顶兴高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（基础）

顶兴高级中学2026春季学期高二期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由导数的定义可得，即可得答案． 【详解】根据题意，， 故. 故选：D． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则=（ ） A. 76 B. 68 C. 38 D. 34 【答案】A 【解析】 【详解】因为为等差数列，所以， 又，所以 ，解得， 所以. 4. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程直接求解即可. 【详解】由圆的一般方程知：圆心为，半径. 故选：B. 5. 已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 以上答案均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义求解的周长. 【详解】由题意知：椭圆中， 所以的周长为 故选：C. 6. 函数在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令导函数大于零，从而可求出函数的增区间 【详解】解：函数的定义域为， 由，得， 令，得，， 解得或（舍去）， 所以函数的单调递增区间为， 故选：C 8. 已知是定义在上的函数，且，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用导数说明其单调性，再根据函数的单调性解函数不等式； 【详解】解：设， 因为，， 所以， 所以在上是增函数，且． 所以的解集即是的解集． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断的符号，进而确定的区间单调性和极值，即可得答案. 【详解】由图知：在区间上，即递增； 在区间上，即递减； 所以、处取极大值，处取极小值， 综上，A、B、D错，C对. 故选：ABD 10. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数的求导法则与复合函数求导求解即可. 【详解】选项A错误， ，选项B正确， 选项C正确， 选项D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为2 C. 有三个零点 D. 曲线在处的切线斜率为 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题设，则 ，D错， 当或时，，当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减，A对， 所以极大值为，极小值为，时，时， 所以在、、上各有一个零点，共有3个零点，B、C对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的两条渐近线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线方程可知，所以，且焦点在轴上， 所以该双曲线的渐近线为. 13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝2，，则_______ ． 【答案】22 【解析】 【详解】设等比数列的公比为. 已知，，即，解得. 公比. 可得. 14. 已知函数的导函数为，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】已知函数， 求导可得， 代入，可得，即. 四、解答题：本题共5小题 （13分、15分、15分、17分、17分），共77分. 15. 已知函数在处取得极值为. （1）求，的值； （2）求在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导后结合极值定义计算即可得； （2）利用导数的几何意义计算即可得. 【小问1详解】 ，依题意，，， 解得； 检验：当时，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故是该函数的极值点，符合题意， 故； 【小问2详解】 ， ， ，， 故切线方程为：，整理得：. 16. 设等差数列的前n项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，即，① 由，②，联立①②，解得， 则的通项公式为； 【小问2详解】 设， 则 . 17. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得或， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在点为的中点 【解析】 【分析】（1）取中点记为，连接EF，CF，通过证明四边形为平行四边形，然后可证平面； （2）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得 平面，即，又由即可证明平面； （3）以为坐标原点建立空间直接坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可. 【小问1详解】 证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）实数的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义，首先求函数的导数，以及在切点处的导数，然后根据，求解参数； （2）利用导数求函数的单调性的方法，第一步，根据上一问得到函数的导数，将导数化简，第二步，求解，和的不等式，就是对应函数的单调区间，注意函数的定义域； （3）处理此类不等式恒成立的问题，有两种方程，第一种，反解参数，转化为求函数的最小值，同样是求函数的导数，求函数的单调区间，确定最小值；第二种，转化为求，所以方法就是求函数的导数，讨论函数的极值点的存在问题，确定单调性，求函数的最小值大于0. 【详解】解：（1）． 由题意得，即; （2）时，，定义域为， 当或时，， 当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为; （Ⅲ）解法一：由，得在时恒成立， 令，则, 令，则, 所以在为增函数，． 故，故在为增函数．， 所以 ，即实数a的取值范围为． 解法二： 令，则， ①当，即时，恒成立， 因为，所以在上单调递增， ，即，所以； ②当，即时，恒成立， 因为，所以在上单调递增， ，即，所以； ③当，即或时， 方程有两个实数根 若，两个根， 当时，，所以在上单调递增， 则，即，所以； 若，的两个根， 因为，且在是连续不断的函数 所以总存在，使得，不满足题意． 综上，实数a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顶兴高级中学2026春季学期高二期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则=（ ） A. 76 B. 68 C. 38 D. 34 4. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 以上答案均不正确 6. 函数在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，且，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 10. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为2 C. 有三个零点 D. 曲线在处的切线斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的两条渐近线的方程为__________． 13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝2，，则_______ ． 14. 已知函数的导函数为，且，则________． 四、解答题：本题共5小题 （13分、15分、15分、17分、17分），共77分. 15. 已知函数在处取得极值为. （1）求，的值； （2）求在点处的切线方程. 16. 设等差数列的前n项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $