专题04认识三角形、探索三角形全等的条件 专项训练（19大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

**基本信息** 系统覆盖三角形概念、性质及全等判定，以分层题型构建从基础到综合的逻辑训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形基础|11题型|概念识别、性质应用、网格计算|从定义到性质（内角和、三边关系等），渗透数形结合思想| |全等三角形|8题型|判定方法（SSS/SAS/ASA等）、尺规作图|判定定理与性质应用结合，强化逻辑推理能力| |分层精练|15题|选择/填空/解答题|梯度设计覆盖易中难，对接中考命题趋势|

专题04认识三角形、探索三角形全等的条件 专项训练 题型梳理归纳 题型1.三角形基本概念与识别 题型2.数三角形个数 题型3. 三角形内角和定理及证明 题型4.直角三角形锐角性质 题型5.三角形三边关系判定 题型6.三角形三边关系实际应用 题型7.等腰三角形定义与计算 题型8.三角形的高及相关计算 题型9.三角形角平分线的应用 题型10.三角形重心概念与性质 题型11. 网格中求三角形面积 题型12.全等三角形的概念与性质 题型13.图形的稳定性与不稳定性 题型14.SSS判定全等及综合应用 题型15.SAS判定全等及综合应用 题型16.ASA、AAS判定全等及综合应用 题型17.尺规作图与全等结合 题型18.灵活选用判定方法证全等 题型19.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型20.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.三角形基本概念与识别 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 3．如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 题型2.数三角形个数 1．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 2．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 3．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 题型3. 三角形内角和定理及证明 1．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 2．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 3．如图1，直线，按如图放置，，、分别与、相交于点、，若． （1）求的度数； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，使点落在上得，若，求的度数． 题型4.直角三角形锐角性质 1．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 2．如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 3．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．于H，交于F．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 题型5.三角形三边关系判定 1．在下列事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B．一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C．太原市1月15日的最高温度为 D．用长为，，三根木棒做成一个三角形 2．在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 3．下列哪组线段能构成三角形？ (1)； (2)； (3)． 题型6.三角形三边关系实际应用 1．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 2．等腰三角形的两边a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 3．阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： (1)若，求x、y的值； (2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出______，______，______． 题型7.等腰三角形定义与计算 1．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 3．已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 题型8.三角形的高及相关计算 1．如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 2．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 3．如图，在中，，，，，，求和的长． 题型9.三角形角平分线的应用 1．下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 2．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 3．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 题型10.三角形重心概念与性质 1．如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 2．如图，G为的重心，连结并延长交于点D，若，则______． 3．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，△MON的面积是1，求△ABC的面积． 题型11. 网格中求三角形面积 1．如图是的网格中，其中每个小方格都是边长为1的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的20个格点中，随机选取网格中的一个格点作为点C，恰能使的面积为3的概率是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 3．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①直线； ②的高，垂足为点G； (2)的面积为______． 题型12.全等三角形的概念与性质 1．下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 2．如图，且，，，则______． 3．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 题型13.图形的稳定性与不稳定性 1．列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 2．如下图所示的活动挂件所蕴含的数学道理是_______ 3．9月3日，灌南县中小学纷纷组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．观看完阅兵仪式，同学们倍感震撼、自豪，纷纷表示要铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来． 生活中的数学：某校计划为七年级学生开学初军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明． 题型14.SSS判定全等及综合应用 1．如图，用尺规作的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为______．    3．如图，已知． (1)用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； (2)连接，求证：． 题型15.SAS判定全等及综合应用 1．如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 3．如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④． (1)任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明． (2)在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度． 题型16.ASA、AAS判定全等及综合应用 1．下列说法正确的是（    ） A．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．三角形的三条高线交于一点 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．如图，点在一水池的两侧，相交于点E．若，则水池宽______． 3．如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．若已知，，求的长． 题型17.尺规作图与全等结合 1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 2．如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 3．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 题型18.灵活选用判定方法证全等 1．下列说法中，正确的是（　　） A．两个面积相等的三角形全等 B．两个等边三角形全等 C．两边及第三边上的高对应相等的三角形全等 D．两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等 2．如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 3．如图，在中，，，垂足为点D． （1）试说明点D为的中点； （2）如果，将线段绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结、，试说明//； （3）如果的度数为n，将线段绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段，//，求直线与直线的夹角的度数（用含n的代数式表示）． 题型19.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 3．如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 分层精练 一、单选题 1．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 3．如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B．C． D． 5．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 二、填空题 6．已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 7．如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是_____． 8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 9．如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 10．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 三、解答题 11．（1）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c是的三边长，化简： 12．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 13．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 15．如图1，在中，，点D为边的中点，交于点E．点F为线段上一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，． ①如图2，连接交于H，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点M，当时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识三角形、探索三角形全等的条件 专项训练 题型梳理归纳 题型1.三角形基本概念与识别 题型2.数三角形个数 题型3. 三角形内角和定理及证明 题型4.直角三角形锐角性质 题型5.三角形三边关系判定 题型6.三角形三边关系实际应用 题型7.等腰三角形定义与计算 题型8.三角形的高及相关计算 题型9.三角形角平分线的应用 题型10.三角形重心概念与性质 题型11. 网格中求三角形面积 题型12.全等三角形的概念与性质 题型13.图形的稳定性与不稳定性 题型14.SSS判定全等及综合应用 题型15.SAS判定全等及综合应用 题型16.ASA、AAS判定全等及综合应用 题型17.尺规作图与全等结合 题型18.灵活选用判定方法证全等 题型19.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型20.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.三角形基本概念与识别 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 3．如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【答案】(1)图形见解析，，，，，，，，，， (2)，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． （1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可； （2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可． 【详解】（1）解：所画三角形如图所示， 三角形有：，，，，，，，，， （2）解：属于等腰三角形的是，，， 故答案为：，，． 题型2.数三角形个数 1．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 2．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 3．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 题型3. 三角形内角和定理及证明 1．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【答案】A 【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解． 【详解】解：如图， ∵∠APE＝∠CQE， ∴AB∥CD， ∴∠BPQ＋∠DQP＝180°， ∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP， ∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP， ∴∠MPQ＋∠NQP＝90°， ∴∠POQ＝90°， 即PM⊥QN， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键． 2．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 3．如图1，直线，按如图放置，，、分别与、相交于点、，若． （1）求的度数； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，使点落在上得，若，求的度数． 【答案】（1）50°；（2）118° 【分析】（1）连接DE，由，根据平行线的性质证得，在中，利用三角形内角和定理进一步证得，最后不难求得的度数； （2）利用（1）的结论，由三角形内角和定理求出，再根据旋转的性质得出，不难求出的度数． 【详解】解：（1）如图1，连接 ∵， ∴ 即 ∵ ∴ ∴ （2）如图2， 由（1）知 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是由旋转得到 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及旋转的性质，正确理解平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补及三角形内角和定理是解本题的关键． 题型4.直角三角形锐角性质 1．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线的性质以及三角形的面积和形状判断，解题的关键是熟练掌握这些性质并进行分析． 根据三角形的高、角平分线、中线的性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】是高， ， ，所以A说法正确； 是角平分线， ，所以B说法正确； 中， ， 锐角； 在和，和都小于， 因此一定是锐角三角形，所以C说法错误； 是中线， ， 和以和为底时，高相同， ，所以D说法正确． 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C． 3．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．于H，交于F．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．根据三角形的角平分线、中线和高的概念、三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：A、∵G为的中点， ∴是的中线，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段是的角平分线，故本选项说法错误，符合题意； D、∵G为的中点， ∴与的面积相等，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 题型5.三角形三边关系判定 1．在下列事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B．一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C．太原市1月15日的最高温度为 D．用长为，，三根木棒做成一个三角形 【答案】D 【分析】结合生活实际，以及三角形三边关系判断各事件类型，即可比较得到可能性最小的事件． 【详解】解：∵ A选项中，水沸腾温度为是随机事件，可能性大于1， B选项中，专业射击运动员无风条件下一次命中10环是随机事件，可能性大于1， C选项中，太原市1月15日最高温度为是随机事件，可能性大于1， D选项中，根据，则这三根木棒不能组成三角形，该事件是不可能事件，发生可能性为0， ∴ 发生可能性最小的是D． 2．在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，进而根据为整数即可求解． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ 即 ， ∴， 为整数， ． 3．下列哪组线段能构成三角形？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)能 (2)不能 (3)能 【分析】本题考查了构成三角形的条件．判断线段能否构成三角形，需满足任意两边之和大于第三边． 【详解】（1）解：，∴能构成三角形． （2）解：，∴不能构成三角形． （3）解：，∴能构成三角形． 题型6.三角形三边关系实际应用 1．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 【答案】B 【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长； ②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形； 综上，则该三角形的周长是． 2．等腰三角形的两边a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：，且，， ， 解得， 该三角形是等腰三角形， 三边长为或， ，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， 等腰三角形的周长为． 3．阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： (1)若，求x、y的值； (2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出______，______，______． 【答案】(1)， (2)，，或3 【分析】（1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果； （2）根据阅读材料的方法进行运算，求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的值即可； 【详解】（1）解： ∴， 解得：，； （2）解： ∴， 解得， ∴，即 又∵c是中最短边的边长，且c为整数 ∴或3． 题型7.等腰三角形定义与计算 1．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 2．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 3．已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 题型8.三角形的高及相关计算 1．如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 2．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，，，，求和的长． 【答案】； 【分析】根据直角三角形的面积计算的面积再由面积计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 题型9.三角形角平分线的应用 1．下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义． 逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性． 【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段都能围成三角形，此选项不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意； C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交于一点，此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，此选项符合题意． 故选：D． 2．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，三角形高的含义，根据三角形的高的位置分别画图，再结合图形解答即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 3．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 题型10.三角形重心概念与性质 1．如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 2．如图，G为的重心，连结并延长交于点D，若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的重心．熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式计算即可得解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 3．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，△MON的面积是1，求△ABC的面积． 【答案】12 【分析】由三角形的重心定理得出AO=2ON，CO=2MO，BN=CN，得出△CON的面积=2△MON的面积=2，得出△AOC的面积=2△CON的面积=4，求出△ACN的面积=△OCN的面积+△AOC的面积=2+4=6，即可得出答案． 【详解】解：∵O是△ABC的重心， ∴AO=2ON，CO=2MO，BN=CN ∵△MON的面积是1， ∴△CON的面积=2△MON的面积=2 ∴△AOC的面积=2△CON的面积=4. ∴△ACN的面积=△OCN的面积+△AOC的面积=2+4=6， ∴△ABC的面积=2△ACN的面积=2×6=12． 【点睛】本题考查了三角形的重心定理以及三角形面积，熟练掌握三角形的重心定理是解题的关键． 题型11. 网格中求三角形面积 1．如图是的网格中，其中每个小方格都是边长为1的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的20个格点中，随机选取网格中的一个格点作为点C，恰能使的面积为3的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了格点作图，网格中求三角形面积，概率公式计算概率．利用网格图的特征及三角形面积公式的应用画出对应的即可，然后求出概率即可． 【详解】解：如图所示， 图①中，， 图②中，， 图③中，． 给定的20个格点中，只有3个格点满足条件， ∴能使的面积为3的概率是， 故选：B 2．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】本题考查了方格中图形面积的计算，掌握用总面积减去空白部分面积求目标图形面积是解题的关键． 先算出整个方格纸的面积，再直接计算正方形周围空白部分的面积，用总面积减去空白面积，就能得到正方形的面积． 【详解】解：方格纸总面积是 ： 观察图形，正方形周围有个直角三角形，每个三角形的两条直角边分别是和， 单个三角形面积，个三角形的总面积是： 正方形面积方格纸总面积空白面积是：． 故答案为：． 3．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①直线； ②的高，垂足为点G； (2)的面积为______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据网格的特点和平行线的定义作图即可； ②找到格点，连接交于点G，则； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，； ②如图所示，高即为所求； （2） 解：由题意得． 题型12.全等三角形的概念与性质 1．下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的； B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； 故选：B． 2．如图，且，，，则______． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质可得，推出，结合与的长度求出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：， ， ，即， ，， ， ． 3．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 题型13.图形的稳定性与不稳定性 1．列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A．没有应用到三角形的稳定性，故该选项符合题意， B．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， C．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， D．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意． 2．如下图所示的活动挂件所蕴含的数学道理是_______ 【答案】 四边形的不稳定性 【分析】根据四边形具有不稳定性可直接进行求解． 【详解】解：∵活动挂件是由多个四边形组成， ∴活动挂件所蕴含的数学道理是四边形的不稳定性． 3．9月3日，灌南县中小学纷纷组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．观看完阅兵仪式，同学们倍感震撼、自豪，纷纷表示要铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来． 生活中的数学：某校计划为七年级学生开学初军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明． 【答案】(1)稳定 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的稳定性，全等三角形的判定和性质． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； （2）解：是和的中点， ， 又， ， ． 题型14.SSS判定全等及综合应用 1．如图，用尺规作的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图步骤，得到相等线段关系． 【详解】解：由尺规作图得： 在和中： ， ， ， 故用尺规作的依据是． 2．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【详解】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，已知． (1)用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定，关键是熟练应用知识点解题； （1）以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （2）由可得，，，结合即可论证得出结论. 【详解】（1）解：如图， （2）证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 题型15.SAS判定全等及综合应用 1．如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C ． 2．如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 3．如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④． (1)任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明． (2)在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度． 【答案】(1)①③④⇒②(答案不唯一)，证明过程见解析 (2) 【分析】(1)根据题意选三证一，过程及结论准确合理即可(答案不唯一)； (2)根据三角形全等的性质得出，进而得出，，再由的面积是面积的一半，得出三角形对应边长的比的平方等于对应面积的比，得出，最后，由 ，得出 ，即可求出． 【详解】（1）解：①③④⇒②．（答案不唯一） 已知：在和中，B，E，C，F在同一直线上，，，． 求证：． 证明过程如下： ∵，，， ， ∴． ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由(1)知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∴，即． 由(1)可知， 又∵， ∴ ． ∴ ． ∴． 题型16.ASA、AAS判定全等及综合应用 1．下列说法正确的是（    ） A．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．三角形的三条高线交于一点 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【详解】解：∵两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，是三角形全等的判定定理，∴A正确； ∵相等的角不一定是对顶角，例如平行线被截得到的同位角相等，但不是对顶角，∴B错误； ∵三角形的三条高线所在直线交于一点，钝角三角形的三条高线本身不交于同一点，∴C错误； ∵只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项未说明同一平面，∴D错误． 2．如图，点在一水池的两侧，相交于点E．若，则水池宽______． 【答案】8 【分析】证明，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 3．如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．若已知，，求的长． 【答案】的长为2 【分析】依题意得，证明，进而依据“”判定和全等得，，由此得，然后根据可得的长． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 即的长为2． 题型17.尺规作图与全等结合 1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 2．如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 3．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)②； (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【详解】（1）解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 （2）如图所示：为所求 题型18.灵活选用判定方法证全等 1．下列说法中，正确的是（　　） A．两个面积相等的三角形全等 B．两个等边三角形全等 C．两边及第三边上的高对应相等的三角形全等 D．两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等 【答案】D 【详解】解：A、两个面积相等的三角形不一定全等，故A不符合题意； B、两个等边三角形边长的数量关系不确定，则不一定全等，故B不符合题意； C、如图，中，是高，，则图中和中，满足两边及第三边上的高对应相等，但三角形不全等，故C不符合题意； D、如图，在和中，，和是高，且，则在和中，，则由可证明，则，则由可证明， 故两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等，故D符合题意． 2．如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，全等三角形的性质的应用，所以熟悉三角形全等的判定方法并应用，熟悉全等三角形的性质并应用是关键． 先证明与全等，再证明即可得到答案． 【详解】解：， ， 在与 中， ，故①正确， 在与 中， ()，故④正确， ，故③正确． 因为条件不足，无法证明②； 故答案为：①③④． 3．如图，在中，，，垂足为点D． （1）试说明点D为的中点； （2）如果，将线段绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结、，试说明//； （3）如果的度数为n，将线段绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段，//，求直线与直线的夹角的度数（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线与直线的夹角的度数是或． 【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质，利用“等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合”即可解答． （2）根据等边三角形的判定和性质，先推出（SAS），再根据全等三角形性质和平行线的判定可求出解； （3）根据等腰三角形性质可得，结合题意，分3种情况分析：，，；根据题意画出图形，借助全等三角形的判定和性质可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴△ABC是等腰三角形 ∵（已知）， ∴点D为的中点. （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合） （2）解： ∵，（已知）， ∴是等边三角形 （有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形）， ∴（等边三角形的三内角等于60°）. ∵（已知）， ∴ （等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合）， ∴（等式性质）. ∵，（旋转的意义）， ∴是等边三角形 （有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形）， ∴（等边三角形的三边相等）， （等边三角形的三内角等于60°）. ∴（等式性质）， 即， ∴（等量代换）. 在与中， ∴（SAS）. ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴（等量代换）， ∴（等式性质）， 即， ∴（等式性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）. （3）解：∵（已知）， ∴（等边对等角）， ∵（已知）， （三角形的内角和等于180°）， ∴（等式性质）， ∴（等式性质）. ∵（已知）， ∴（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）， （等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合）. 当的度数为n，n有三种可能情况：，，. （i）当时： 延长、交于点G. ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等式性质）， ∴（等量代换）. 在与中， ∴（ASA）， ∴（全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）. ∵（旋转的意义）， ∴（等量代换）， ∴（等边对等角）， ∴（等量代换）. ∵ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴（等式性质）， ∴（等式性质）. ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴直线与直线的夹角的度数是. （ii）当时： 延长交于点G. ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）. 在与中， ∴（ASA）， ∴（全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）. ∵（旋转的意义）， ∴（等量代换）， ∴（等边对等角）， ∴（等量代换）. ∵ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴（等式性质）， ∴（等式性质）. ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴直线与直线的夹角的度数是. （iii）当时： ∵（已知）， ∴，（等式性质）， ∴（等量代换）， ∴（等边对等角）， ∵（旋转的意义）， ∴（等量代换）， ∴， ∴∠ADF=180° ∴不符合题意，舍去. 综合上述，直线与直线的夹角的度数是或. 【点睛】本题主要考查平行线、等腰三角形与全等三角形的有关概念，辅助线的添加、方程思想，以及问题的多样性，解题过程中要注意考虑完整，正确添加辅助线，解题过程如上． 题型19.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】首先利用“边角边”求出△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：如图，在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠2＝∠3， 在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 2．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 3．如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 分层精练 一、单选题 1．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系求出，结合第三根木棒的长为奇数，即可得出结果． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴， ∴， ∵第三根木棒的长为奇数， ∴符合条件的为3，5，7，9，共 4个， 因此满足条件的三角形个数为 4个． 2．下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 3．如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【详解】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 4．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高、角平分线、中线的定义，熟悉理解三角形高、角平分线、中线的定义是解题的关键． 根据三角形高、角平分线、中线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故A说法正确，故A不符合题意； ∵是的角平分线， ∴，故B说法正确，故B不符合题意； ∵与不一定会相等，故C说法不正确，故C符合题意； ∵是的高， ∴，故D说法正确，故D不符合题意； 故选：C． 5．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 二、填空题 6．已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【答案】2或3 【分析】分两种情况：当点D在线段上时，或当点D在线段的延长线上时，分别求出结论即可． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， 解得：； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， ∴； 综上，的长为2或3． 7．如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件和全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加或，利用“”可判定， 故答案为：（或）． 8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【分析】根据题意得出，，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 9．如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，对顶角相等，连接，设与交于点，由为，中点，则，，然后证明，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴底部内径的长度为， 故答案为：． 10．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 三、解答题 11．（1）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c是的三边长，化简： 【答案】（1）22；（2） 【分析】（1）利用完全平方公式得出，．再根据等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用求解即可． （2）根据三角形三边关系得出，，，即可得出，，．进而化简绝对值，进行整式的加减运算即可． 【详解】解：（1）， ， ∴， ∴且， 解得，． 当a为腰长时，三边为4，4，9， ∵，不满足三边关系，舍去． 当b为腰长时，三边为4，9，9， ∵，，满足三边关系，周长为． （2）∵a，b，c是的三边， ∴，，， 即，，． ∴，， ． ∴ ． 12．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取格点G，连接交于点E，则点E即为所求； （2）取格点F，连接，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，． 13．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， 又， ． 14．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 【答案】(1)，，秒时， (2) (3)2或 【分析】（1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为6秒，在线段上运动时间为4秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为2或时，． 15．如图1，在中，，点D为边的中点，交于点E．点F为线段上一点，连接，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，． ①如图2，连接交于H，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点M，当时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，的面积为 【分析】（1）连接，由旋转可得，，再由在中，，可得，可得，即可证明结论； （2）①连接，过点作于点，作于点，过点作于点，由与的面积之比是，可得，由（1）可知，则，由点D为边的中点，可证明点E为边的中点，则，，可得，即可得结论； ②连接，先证明，可得，，可得，再证明，可得，从而得，即可求得的面积，再证明，可得，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：①如图，连接，过点作于点，作于点，过点作于点， ∵与的面积之比是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴点E为边的中点， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②如图，连接， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵点D为边的中点，点E为边的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由①可知，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $