专题08菱形性质与判定期末复习讲义(17大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题08菱形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握菱形的定义，理清菱形与平行四边形的从属关系。 2.熟记菱形边、角、对角线、对称性的全部性质，能对比区分平行四边形、矩形、菱形的差异。 3.熟练掌握菱形多种判定方法，理解不同判定思路的逻辑。 4.牢记菱形周长、面积计算公式，掌握对角线求面积的特殊算法。 1.能运用菱形性质，完成线段、角度、周长、面积的计算。 2.结合已知条件灵活选择判定方法，规范完成几何证明。 3.会添加对角线等常用辅助线，借助直角三角形、等腰三角形知识解题。 4.提升图形辨析、逻辑推理和知识综合运用能力。 1.轻松拿下概念辨析、对称轴判断、基础计算类选择、填空题。 2.判定、证明类中档题书写规范，步骤完整不丢分。 3.攻克菱形与三角形、动点、图形变换结合的综合题型，突破期末重难点。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.证明四边形是菱形 题型06.添条件使四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形中的折叠问题 题型11.菱形中的最值问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形与坐标系综合 题型14.菱形与中位线综合 题型15.菱形存在性问题 题型16.菱形多结论问题 题型17.中点四边形 知识点01:菱形的定义 标准定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 解读：判定菱形的第一依据，前提必须是平行四边形，再满足一组邻边相等即可。 延伸：从普通四边形角度理解：四条边都相等的四边形是菱形。 知识点02:菱形的性质（核心重点） 菱形继承平行四边形全部性质，同时拥有专属特殊性质 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 边判定 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线判定1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线判定2 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 判定口诀 邻边相等平行四边，立马变身小菱形； 四边相等任意四边，稳稳判定是菱形； 平行四边对角线垂，图形一定是菱形。 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 .菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 知识点06:高频易错点（扣分雷区，重点规避） ❌ 误区 1：对角线互相垂直的四边形是菱形 ✅ 正解：必须同时满足互相平分 + 互相垂直，缺一不可，仅垂直无法判定。 ❌ 误区 2：混淆判定前提 一组邻边相等的四边形≠菱形，前提必须是平行四边形。 ❌ 误区 3：面积公式乱用 对角线乘积的一半，只适用于对角线互相垂直的四边形，普通平行四边形、矩形不能使用。 ❌ 误区 4：对称轴概念混淆 菱形对称轴是对角线所在直线，不是对角线线段本身；共 2 条，区别于正方形的 4 条。 ❌ 误区 5：概念混淆：菱形有直角就是正方形，做题注意图形演变关系。 题型01.菱形的性质求角度. 1．如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，再结合等腰三角形的性质以及直角三角形的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用直角三角形性质求出，进而求出，证明，得到，结合判定为等边三角形，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． (1)求证：BD=EC． (2)若∠E=57°，求∠BAO的大小． 【答案】(1)见解析 (2)33° 【分析】（1）由菱形的性质可得AB=CD=BE，AB//CD，可证四边形BECD是平行四边形，可得BD=EC； （2）由平行四边形的性质可得BD//CE，可得∠ABO=∠E=57°，菱形的性质可求∠BAO的大小． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB//CD 又∵BE=AB， ∴BE=CD，BE//CD， ∴四边形BECD是平行四边形 ∴BD=EC （2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD//CE， ∴∠ABO=∠E=57° 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90° ∴∠BAO+∠ABO=90° ∴∠BAO=90°-∠ABO=33° 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 题型02.菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 【答案】5（或填6或7） 【分析】由图可知，当时，取得最小值，当与重合时，取得最大值，先利用菱形的性质：对角线互相平分且垂直，通过勾股定理求出菱形的边长，再利用面积关系求出对应的高，即可求出的长的取值范围，在范围中选择一个整数即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， 在菱形中，，，， ∴， ∵， ∴， 当时，即时，取得最小值， ∴， 当与重合时，取得最大值，， ∴，故长的整数值为5或6或7． 5．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再得出，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，， ∴点运动到的中点时，的长为． 6．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接，若，则菱形的周长是（    ） A．12 B．24 C．40 D．48 【答案】C 【分析】根据等角对等边，得到，根据菱形的性质，得到，结合线段的数量关系，列出方程即可. 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长是. 7．如图，四边形为菱形，对角线，且，垂足为点E，求的长． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，再由勾股定理求出，然后由菱形的面积公式，即可解决问题． 【详解】解： 如图， 设交于点O， ∵四边形是菱形，， ， ， ∵垂直于，垂足为点， ，即， ． 题型03.菱形的性质求面积 8．如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设与交于点O，根据菱形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，设与交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为，， ∴，， ∴，则， ∴，则； （2）解：由（1）得． 9．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，求菱形的面积． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，利用勾股定理求出的长，再根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可得． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于， ，，， ，， ， ， ． 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，再由平行线的性质结合角平分线的性质得到，等角对等边可得，即可得证； （2）由菱形的性质可得，，，再根据勾股定理可得的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， 菱形的面积是． 题型04.菱形的性质证明 11．如图，菱形中，于点M，于点N．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 12．如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，得到，，然后推出，即可证明是等边三角形； （2）如图，过点D作于点G，利用勾股定理求出，得到，利用勾股定理求出，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接 ∵菱形中， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点D作于点G ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 由（2）得，是等边三角形， ∴ ∴的周长． 13．如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得，可证明，即可求证； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质可得到，在和中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 题型05.证明四边形是菱形 14．如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 15．如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． （2）设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 16．如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质可得，，，进而可证明，则，，结合，命题得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程，求出的值后，计算面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型06.添条件使四边形是菱形 17．已知四边形的对角线垂直平分对角线于点，要使四边形为菱形，则可添加的条件是__________（添加一个条件即可，不添加其他的点和线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据菱形的判定即可得出答案． 【详解】解：添加，理由如下： ∵四边形的对角线垂直平分对角线于点， ， ， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 18．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线与交于点， ∴ ，， 对选项A：∵ ， ∴ ，即，可得平行四边形是矩形，不能判定它是菱形； 对选项B：∵ 一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴ 可判定是菱形； 对选项C：∵ 中， ∴ ，又， ∴ ， ∴ ，可判定是菱形； 对选项D：∵ ，， ∴ 由可得，由勾股定理逆定理得，即，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形； 综上，不能判定一定为菱形的是选项A． 19．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：A、∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，是平行四边形． ∴． ∵， ∴是菱形，不符合题意． B、∵， ∴． ∵， ∴只能说明是的角平分线，无法推出的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符合题意． C、，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定是菱形，不符合题意． D、由三角形外角性质，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴是菱形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分 “能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 20．如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则__________． 【答案】/25度 【分析】由题意和作法可知：，可得四边形是菱形，再根据菱形及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图：连接， 由题意和作法可知：， 四边形是菱形，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，证得四边形是菱形是解决本题的关键． 21．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)15° 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BO=DO，∠OBF=∠ODE，证明△BOF≌△DOE（ASA），得到BF=DE，证得四边形EBFD为平行四边形，又因为EF⊥BD，得到四边形EBFD为菱形； （2）根据菱形的性质得到，所以，利用平行线的性质得到，求解即可得到∠ABE的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，BO=DO， ∴∠OBF=∠ODE， ∵EF⊥BD， ∴∠BOF=∠DOE=90°， 在△BOF和△DOE中， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴BF=DE， ∵BFDE， ∴四边形EBFD为平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD为菱形； （2）∵四边形EBFD为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长. 23．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 24．如图，中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)请添加一个条件，使得，并加以证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）可添加，然后利用平行四边形的性质即可证明结论； （2）先证明是菱形，进而可得，得到，求出，作于点M，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：可添加：， 证明：∵， ∴， 在中， ∴； （2）解：∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点M，如图， 则，， 在直角三角形中，， ∴． 25．如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理可知，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可知 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 26．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 27．如图，中，，平分，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，如果四边形的周长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线可知四条边相等，即可证明是菱形； （2）设，根据勾股定理可构造等量关系，从而可得，即可得面积． 【详解】（1）证明：平分， ，且点是的中点． 点分别是的中点， 在中，， 在中，． 又，点，分别是的中点， ， ， 四边形是菱形． （2）解：菱形的周长为20， ， 设，则，即． ①， 于点， 在中，， ②， 把②代入①，可得， 菱形的面积为． 28．如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形；理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． （2）由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 题型10.菱形中的折叠问题 29．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，，分别为，上的点，将菱形沿折叠使点落在点处，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质及折叠的性质证出，得出，则可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ，， 将菱形沿折叠使点落在点处， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30．在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，利用勾股定理可得，再设，则，根据折叠的性质可得，然后证出，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵点为上一点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，符合题意， ∴， 故选：D． 31．在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接， (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①的长为3或；②当点G与点H重合时，的最小值为 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由菱形的性质和等腰三角形的性质可得，可证，可得结论； （2）①由“”可证，可得，，分两种情况讨论，由等边三角形的性质和勾股定理可求解； ②由垂线段最短，可得当点G与点H重合时，的最小值为． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将沿翻折使B的对应点落在中点上， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：①如图2，连接，在上截取，连接，连接，并延长，交于点N，过点C作直线于H， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， 当时，， ∴， ∴； 当时，过点M作于Q，过点G作于P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上所述：的长为3或， ②由（2）①可知：点G在上运动，且，与的距离为， ∴当点G与点H重合时，的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型11.菱形中的最值问题 32．如图，菱形的周长为8，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，能够利用轴对称的性质确定的最小值是解题的关键． 根据菱形的性质可知和关于对称，连接，，交于，连接，由于两点之间线段最短，此时值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴和关于对称， 则， 连接，，交于，连接，由于两点之间线段最短，此时值最小， ∵菱形的周长为8， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴，， 则，即． 33．如图，和是菱形外的两个等边三角形，连接，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，以及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．作于M，作于点N，连接，当点E，M，N，F共线时，取得最大值，即此时的值最大．设菱形的边长为2，求出，，证明四边形是平行四边形，求出，进而可求出的最大值． 【详解】解：作于M，作于点N，连接， ∵， ∴当点E，M，N，F共线时，取得最大值，即此时的值最大． 设菱形的边长为2， ∵和是菱形外的两个等边三角形， ∴，，， ∵， ∴，， 同理可求：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最大值为∶ ． 故答案为：． 34．如图，在菱形中，，点分别是上的动点（不与端点重合），且，连接交于点，则四边形的面积的最大值为_______． . 【答案】 【分析】由“”可证，可得，求得，连接，过G作于N，过作于，则，由，可证明当重合时，有最大值，此时四边形的面积最大，接着证明垂直平分，得到，求出，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴和 都是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，过G作于N，过作于， 则，其中，的长度都是不变的， 那么当最大时，四边形的面积最大， ∵ ∴当重合时，有最大值， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型12.菱形中的动点问题 35．如图， 菱形中， ，，E、F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ______．        【答案】 【分析】过点B作，且，证明，当A，E，T三点共线时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理，菱形的性质解答即可． 【详解】解：∵菱形中， ，， ∴，， 过点B作，且截取， 则， 连接， ∴， ∵， ∴，    ∴， ∵， ∴， 故当A，E，T三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 故最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 36．如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于____． 【答案】15.6 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，将求的最小值问题转化为求的最小值问题是解题的关键． 先根据题目条件，证明四边形是菱形，然后利用，推出， 再利用垂线段最短求的最小值，综合可得的最小值． 【详解】解：， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 于点O， 平行四边形是菱形， ， 连接PD，如图所示： ， ， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短，此时， 当点P与点O重合时，有最小值，最小值为． 故答案为：15.6． 37．如图，在中，，点E为边上一动点，连接，将沿折叠，点D的对应点为F． (1)如图1，若的延长线恰好经过点B．求证：； (2)若， ①如图2，当，、所在直线分别与直线、直线相交于H、G．作于点P，若，求的长． ②如图3，当点E在射线上时，若的面积为，连接．则的最大值 ． 【答案】(1)见解析 (2)的长为6或16； 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据折叠的性质可进行求证； （2）①由题意易得四边形为菱形，则有，，然后可得，，进而可分当点E在点P的左侧时，过点E作，当点E在点P的右边时，过点C作，最后分类进行求解即可； ②过B作交延长线于H，由题意易得，，设，则，记，然后根据勾股定理可得，进而化简，根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴； （2）①解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在点P的左侧时，过点E作，如图3，则：，， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， 同（1）可得：， 设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得，， 解得， ∴； 当点E在点P的右边时，过点C作，如图4， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， 综上，的长为6或16． ②过B作交延长线于H， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 记， ∴ 去分母得 ∴， 化简得，即 ∴ ∴的最大值为． 题型13.菱形与坐标系综合 38．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标_________． 【答案】 【分析】根据坐标可求出，再根据菱形的性质，可得，将点坐标沿水平方向向左平移5个单位即为点的坐标． 【详解】解：，， ， 四边形为菱形， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 39．如图，、是菱形的顶点，点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点的速度是点的速度的2倍，则点和点第2026次相遇时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，坐标系的特点，勾股定理得到，结合点的运用，找到第一次相遇时，点M在点D处，坐标为；第二次相遇，点M在线段的处，即点的位置；第三次相遇，在点处；第四次相遇，此时坐标为；点的坐标每3次相遇循环一次，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的周长， 已知点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，点的速度是点的速度的2倍， ∴设点的速度为，则点的速度为，设时间为， 第一次相遇时，两点路程和为， ∴，则， ∴，此时点M在点D处，坐标为； 第二次相遇，两点路程和为，则，此时点M在线段的处，即点的位置，如图所示， 第三次相遇，两点路程和为，则，即，即从运动到的处，如图所示的点处， 第四次相遇，两点路程和为，则，此时点M在点D处，此时坐标为； ， ∴点的坐标每3次相遇循环一次， ∵， ∴第2026次相遇时点的坐标与第1次相同，为． 40．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动． (1)求点B的坐标． (2)求对角线所在直线的解析式． (3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S； (4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)y (3) (4)存在，或 【分析】（1）由点A坐标可得，，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解； （2）利用待定系数法求直线解析式即可； （3）分两种情形：如图中，时，如图中，时，分别求解即可； （4）根据题意可得，过点N作轴交于点Q，求出，结合面积得到即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线 的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：连接，如图中，当时， ∵对角线交y轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图中，当时， ∵， ∴， 又， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，； （4）存在点N，如图4所示： 当时，点P在上运动， ∴， ∵， ∴， 过点N作轴交于点Q， 设直线的解析式为，把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， ∴， ∴ 解得：， ∴N点的坐标为或． 题型14.菱形与中位线综合. 41．如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图所示，取的中点G，连接，根据菱形的性质可知，利用勾股定理得到，结合中位线的性质可得，且，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接， ∵菱形的对角线与相交于点， ， ， ∵点是的中点，点G是的中点， ∴是的中位线， ∴，且，，， 又， ，， ． 42．如图，菱形的对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】因为、分别是、中点，所以可利用三角形中位线定理，得出与的位置和数量关系．因为平行于，所以可通过角角边证明与全等，进而得到，由此可推出的长度．因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以可结合勾股定理，利用和的长度求出的长度． 【详解】如图，连接，交于点O， ∵、分别是、中点， ∴，且． 又∵菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． 43．如图，平行四边形中，对角线、相交于点、F、G分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】证明，由三线合一定理可判断①；由三角形中位线定理得到，且，由平行四边形的性质得到，据此可判断②；利用可证明，即可判断③；若四边形是菱形，则可证明是等边三角形，进而推出，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴，故①正确； ∵，G是中点， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴，且， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴，故③正确； 若四边形是菱形 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到，故四边形不一定是菱形，故④错误． ∴正确的有①②③，共3个． 44．如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析． 【分析】由三角形中位线定理可得，即可证四边形是菱形． 【详解】解：∵，是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 题型15.菱形存在性问题 45．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 46．如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 47．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，线段的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点D在线段上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的函数解析式． (3)P是直线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）解二元一次方程组得到，，进而得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线求解，即可求出点的坐标； （2）设点的坐标为，结合求出点的坐标，再设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）根据直线的解析式推出，再结合菱形的判定与性质分情况讨论当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时，结合勾股定理，菱形性质，坐标与图形求解，即可解题． 【详解】（1）解：解方程组，得， ， ， 即． 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为． 联立，解得， 点的坐标为． （2）解：设点的坐标为， ， ，解得． 点在线段上， ， ． 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为． （3）解：存在． 直线的解析式为， 记直线与轴交于点， ． 如图，当四边形为菱形时，， ， 有， 设点的坐标为， 有， 解得， 得点的坐标为； 当四边形为菱形时，，由， 同理可得点的坐标为； 易知直线与轴的交点的坐标为， ， 当四边形为菱形时，点的坐标为； 易知当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时， 由菱形对角线互相垂直平分可得， 点与点关于对称，且， ， 点的坐标为． 综上所述，以，，，为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 题型16.菱形多结论问题 48．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接．有如下结论：①；②四边形为矩形；③若，，则的长为；④若，点为中点，点在上，当最小时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】由特殊平行四边形的性质，逐一分析．由菱形的性质，①正确；结合题干，，，可判定四边形为矩形；证明，再使用勾股定理可以求出的长；连接，运用轴对称性质可得，、、三点共线时，最小，运用重心的性质可以得到与的关系． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，故①正确； ∴，， ∵，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故②正确； ∴，且，即， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， 在直角中，，故③正确； 由菱形的性质可知，点A和点C关于对称， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取到最小值， 如图，连接，则与的交点即为点P， ∵点O为中点，点N为中点， ∴和都是的中线， ∴点是的重心， 由重心的性质可得，，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题和重心的性质，熟练掌握特殊平行四边形的性质并构造全等三角形是解题关键． 49．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证明，得出，故①正确；证明，得出，故③正确；证四边形是平行四边形，得出，故②正确；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；故④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；故④正确； 正确结论的个数是4个． 50．如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：，；四边形是菱形；若，，则；若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是平行四边形得，，由此可对结论进行判断；根据，得是的垂直平分线，进而得，，证明和全等得，继而得，由此可对结论进行判断；依题意得，证明得，再证明和全等得，进而得，则，，在中，由勾股定理得，由此可对结论进行判断；过点作于点，根据菱形性质得，证明是等边三角形得，，在中，由勾股定理得，则，在中，根据得，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，根据是的垂直平分线得，则，由此可得的最小值为，据此可对结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故结论正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论正确； ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，故结论不正确； 过点作于点，连接，如图所示， ∴和都是直角三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得， ∴的最小值为， ∴的最小值为，故结论正确， 综上所述：正确的结论是． 题型17.中点四边形 51．如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】30 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 连接，根据矩形的性质及中点的定义得出 的长度及互相垂直的关系，利用对角线互相垂直的四边形面积公式进行计算. 【详解】解：连接 ∵ 四边形为矩形， ∴， ∵分别为边的中点 ∴   ∴ 故答案为：30. 52．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则线段的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，交于点O，根据E、F、G、H分别是四边形边的中点，利用三角形中位线定理，证明四边形是菱形，根据四边形面积，可求得，进而求得，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图：连接，交于点O， ∵E、F、G、H分别是四边形边的中点， ∴，，，，，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵四边形面积为24，， ∴， 解得． 53．如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律，找出规律、的表示方法是解题的关键．记四边形， 的面积为，易知四边形为菱形，四边形为矩形，，，，……，推出依此可得，最后令即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵顺次连接矩形各边的中点，得到四边形， ∴四边形 是矩形， ∴，. 同理，，， ∴， ∴， ∵顺次连接四边形，各边的中点，得到四边形， ∴，， ∴， 依此可得， ∴四边形的面积是． 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08菱形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握菱形的定义，理清菱形与平行四边形的从属关系。 2.熟记菱形边、角、对角线、对称性的全部性质，能对比区分平行四边形、矩形、菱形的差异。 3.熟练掌握菱形多种判定方法，理解不同判定思路的逻辑。 4.牢记菱形周长、面积计算公式，掌握对角线求面积的特殊算法。 1.能运用菱形性质，完成线段、角度、周长、面积的计算。 2.结合已知条件灵活选择判定方法，规范完成几何证明。 3.会添加对角线等常用辅助线，借助直角三角形、等腰三角形知识解题。 4.提升图形辨析、逻辑推理和知识综合运用能力。 1.轻松拿下概念辨析、对称轴判断、基础计算类选择、填空题。 2.判定、证明类中档题书写规范，步骤完整不丢分。 3.攻克菱形与三角形、动点、图形变换结合的综合题型，突破期末重难点。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.证明四边形是菱形 题型06.添条件使四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形中的折叠问题 题型11.菱形中的最值问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形与坐标系综合 题型14.菱形与中位线综合 题型15.菱形存在性问题 题型16.菱形多结论问题 题型17.中点四边形 知识点01:菱形的定义 标准定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 解读：判定菱形的第一依据，前提必须是平行四边形，再满足一组邻边相等即可。 延伸：从普通四边形角度理解：四条边都相等的四边形是菱形。 知识点02:菱形的性质（核心重点） 菱形继承平行四边形全部性质，同时拥有专属特殊性质 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 边判定 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线判定1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线判定2 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 判定口诀 邻边相等平行四边，立马变身小菱形； 四边相等任意四边，稳稳判定是菱形； 平行四边对角线垂，图形一定是菱形。 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 .菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 知识点06:高频易错点（扣分雷区，重点规避） ❌ 误区 1：对角线互相垂直的四边形是菱形 ✅ 正解：必须同时满足互相平分 + 互相垂直，缺一不可，仅垂直无法判定。 ❌ 误区 2：混淆判定前提 一组邻边相等的四边形≠菱形，前提必须是平行四边形。 ❌ 误区 3：面积公式乱用 对角线乘积的一半，只适用于对角线互相垂直的四边形，普通平行四边形、矩形不能使用。 ❌ 误区 4：对称轴概念混淆 菱形对称轴是对角线所在直线，不是对角线线段本身；共 2 条，区别于正方形的 4 条。 ❌ 误区 5：概念混淆：菱形有直角就是正方形，做题注意图形演变关系。 题型01.菱形的性质求角度. 1．如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 2．如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 3．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． (1)求证：BD=EC． (2)若∠E=57°，求∠BAO的大小． 题型02.菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 5．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ）    A． B．2 C． D． 6．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接，若，则菱形的周长是（    ） A．12 B．24 C．40 D．48 7．如图，四边形为菱形，对角线，且，垂足为点E，求的长． 题型03.菱形的性质求面积 8．如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积． 9．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，求菱形的面积． 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型04.菱形的性质证明 11．如图，菱形中，于点M，于点N．求证：． 12．如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 13．如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 题型05.证明四边形是菱形 14．如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 15．如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 16．如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型06.添条件使四边形是菱形 17．已知四边形的对角线垂直平分对角线于点，要使四边形为菱形，则可添加的条件是__________（添加一个条件即可，不添加其他的点和线）． 18．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 20．如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则__________． 21．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长. 23．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 24．如图，中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)请添加一个条件，使得，并加以证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 25．如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长度． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 26．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 27．如图，中，，平分，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，如果四边形的周长为，求四边形的面积． 28．如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 题型10.菱形中的折叠问题 29．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，，分别为，上的点，将菱形沿折叠使点落在点处，则的长为______． 30．在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 31．在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接， (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 题型11.菱形中的最值问题 32．如图，菱形的周长为8，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为______． 33．如图，和是菱形外的两个等边三角形，连接，则的最大值为__________． 34．如图，在菱形中，，点分别是上的动点（不与端点重合），且，连接交于点，则四边形的面积的最大值为_______． . 题型12.菱形中的动点问题 35．如图， 菱形中， ，，E、F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ______．        36．如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于____． 37．如图，在中，，点E为边上一动点，连接，将沿折叠，点D的对应点为F． (1)如图1，若的延长线恰好经过点B．求证：； (2)若， ①如图2，当，、所在直线分别与直线、直线相交于H、G．作于点P，若，求的长． ②如图3，当点E在射线上时，若的面积为，连接．则的最大值 ． 题型13.菱形与坐标系综合 38．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标_________． 39．如图，、是菱形的顶点，点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点的速度是点的速度的2倍，则点和点第2026次相遇时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 40．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动． (1)求点B的坐标． (2)求对角线所在直线的解析式． (3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S； (4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型14.菱形与中位线综合. 41．如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 42．如图，菱形的对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 43．如图，平行四边形中，对角线、相交于点、F、G分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 44．如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形． 题型15.菱形存在性问题 45．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 46．如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 47．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，线段的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点D在线段上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的函数解析式． (3)P是直线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型16.菱形多结论问题 48．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接．有如下结论：①；②四边形为矩形；③若，，则的长为；④若，点为中点，点在上，当最小时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 49．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 50．如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：，；四边形是菱形；若，，则；若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． B． C． D． 题型17.中点四边形 51．如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 52．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则线段的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 53．如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $