2026年四川省罗江中学等校 一模联考数学试题

**基本信息** 2025-2026九年级中考模拟数学试卷，以卫星导航产值、AI学习时间等真实情境为载体，覆盖代数几何核心知识，通过新定义“对偶关系”、花圃设计等题考查抽象能力与模型意识，适配一模备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数运算、科学记数法、平移、函数新定义|卫星导航产值考查科学记数法（应用意识），“对偶关系”新定义题发展创新意识| |填空题|5/20|因式分解、解直角三角形、方位角计算|工程建筑三角形结构（解直角三角形）体现几何直观，方位角计算关联空间观念| |解答题|9/90|统计与概率（AI学习）、函数综合、二次函数等|AI学习时间调查（数据意识），花圃设计方案（模型观念），施工测量问题（推理能力），贴合中考命题趋势|

2025—2026学年下九年级数学中考模拟 参考答案 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1.D 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.C 9.B 10.C 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 11.-4 12. 13. 14. -24 15. 三、解答题（共 90 分） 16.（8 分） 原式 17.化简： 取（），代入得 18.（8 分） （1）证明：是中点； 又，故 （2） 19.（10 分） （1）补全直方图：A 组 8，B 组 12，C 组 15，D 组 10，E 组 5 （2）中位数落在组 （3）不少于 60min：人 （4）概率： 20.（10 分） 解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， 在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图： ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB＝CD， ∵CE⊥BD， ∴BE＝DE， 在y中，令y＝4得x， ∴D（，4）， ∴BE＝DE， 在y中，令x得y＝8， ∴C（，8）， ∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上， ∴8＝24， 解得k＝16， ∴k的值为16． 21.（10 分） （1）证明：如图，连接OP， ∵PA与⊙O相切， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SSS）， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴OB⊥PB； （2）解：如图，连接BC， ∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠COB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠OCB＝60°， 由（1）可知：∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴∠AOP＝∠OCB，OA2， ∴OP∥BC， ∴S△PCB＝S△OCB， ∴S阴影部分＝S扇形OCB． 22.（10 分） 解：（1）设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m， 根据题意得x（60﹣2x）＝450， 解得x1＝x2＝15， 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2， 根据题意得， ∴， ∵， ∴当t＝33时，S有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 23.（12 分） 解：（1）连接OF， 设半圆O的半径OF＝OE＝OC＝OD＝r， ∵FG是半圆O的切线， ∴OF⊥FG， 在Rt△OFG中，∠OGF＝37°，OF＝r，OG＝r+3 ∴OF＝OG•sin37°，即r＝sin37°（r+3）， 解得r≈4.5． 故半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度即为半径的长度为4.5m． （2）连接OE，过点E作EH⊥AB于点H． 由题意可得：OE⊥CD， ∵∠ABO＝90°，∠BHE＝90°（EH⊥AB），∠EOB＝90°， ∴四边形BHEO是矩形． ∴BH＝EO，EH＝OB＝BC+CO． 在Rt△AEH中，∠AEH＝37°． ∴AH＝EH•tan37°＝（BC+CO）tan37°≈（8+4.5）×0.75＝9.375（米）． ∴AB＝AH+BH≈9.375+4.5＝13.875≈13.9（米）． 答：高压线塔AB的高度约为13.9米． 24.（14 分） 解：（1）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C， 当y＝0时，得： 解得：x1＝﹣5，x2＝1； 当x＝0时，得：， ∴A（1，0），B（﹣5，0），； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为， ∵PQ∥AC， 设直线PQ的解析式为， ∵P在第三象限的抛物线上， 设，（﹣5＜t＜0）， ∴， ∴， ∴， 设PQ的中点为M，则， 由B（﹣5，0），，设直线BC的解析式为， 将B（﹣5，0）代入得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为， ∵BC平分线段PQ， ∴M在直线BC上， ∴， 解得：t1＝﹣2，t2＝0（不合题意，舍去）， 当t＝﹣2时，， ∴； （3）如图，过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S， ∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°， ∴∠EGT＝90°﹣∠FGS＝∠GFS， ∴△ETG∽△GSF， ∴， 即ET•FS＝GS•TG， ∵点D与原点O关于点对称， ∴D（0，﹣5）， 设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5， 联立得：， 整理得：， 即； 联立得：， 整理得：， 即， 设xE＝e，xF＝f，xG＝g， ∴ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4， ∴f＝﹣g， ，， ∵ET•FS＝GS•TG， ∴， 将f＝﹣g代入得：e+g＝﹣5， ∴2k2﹣4＝﹣5， 解得：， ∴直线DE解析式为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026 学年下九年级中考模拟 数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．） 1. 计算(-2) × (-3)=（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 2. 《2025 年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达 5758 亿元．将“5758 亿 ”用科学记数法表示为( ) A. 5.758 x1010 B. 5.758 x1011 C. 0.5758 x1012 D. 57.58 x1010 3. 如图，将△ ABC沿着射线BC 平移到△ DEF ．若BC = 6, EC = 4 ，则平移距离为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是( ) 第1页/共4页1 学科网（北京）股份有限公司 A. B ( . ) C. D. 5. 下列计算正确的是( ) A. x2 + x3 = x5 B. x2 . x3 = x6 C. (2xy )2 = 2x2 y2 D. x8 ÷ x4 = x4 6. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2 倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min ．设小红的骑行速度为xkm / h ，则可列方程为( ) 7. 在平面直角坐标系xOy 中，将点 A(3,1)绕原点O 逆时针旋转90° ，得到点 B，则点B的坐标为( ) A. (3, -1) B. (-1,3) C. (1, -3) D. (-3,1) 8. 在△ ABC中， ∠C = 90°, tanA AC ，则 BC 的长为( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 5 9. 若函数y1 的图象上存在点P ，函数 y2 的图象上存在点Q ，且 P、Q 关于y 轴对称，则称函数y1 和y2 具有“对偶关系 ”，此时点P 或点Q 的纵坐标称为“对偶值 ”．下列结论： ①函数y1 = 2x + 3 与函数 y2 = -x + 1不具有“对偶关系”；②函数y1 = 2x + 3 与函数 y2 = -x + 1的“对偶值 ”为-1；③若 1 是函数y1 = kx + 3 与函数y 的“对偶值”，则 k = 2 ：④若函数y1 = -2x + b(-2 ≤ x ≤ -1)与函数y具有“对偶关系”，则 3≤ b ≤ .其中正确的是( ) A.①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 10.如图1，在中，，点为边的中点，作，射线交边于点N，设， ，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为（  ）A．4 B． C． D． 第13题图 第14题图 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．） 12. 分解因式:am + a = 13. 工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E 是斜梁AC 的中点，立柱AD, EF 垂直于横梁BC ．若AC = 4.8m ， ∠C = 30° ，则 EF 的长为 。 14. 如图，在港口 P 的南偏东60°方向有一座小岛 Q ，一艘船从港口 P 出发沿正东方向行驶 24 海里后到达 A 处，在A 处测得小岛 Q 恰在其西南方向，那么小岛 Q 与港口P 相距 海里．（结果保留根号） 15.如图，在扇形中，，点A是中点，，点P是弧上一点，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分．） 16.（8分） 17.（8分）先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为的值代入求值. 18.（8 分） 如图，C 是线段 AB 的中点，∠A = ∠ECB, CD ∥ BE ． （1）求证： △DAC≌△ECB ； （2）连接DE ，若 AB = 16 ，求 DE 的长． 19. （10 分） 随着人工智能的快速发展，初中生使用AI 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI 大模型辅助学习的时间（用 x表示，单位：min ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：抽取的学生一周使用AI 大模型辅助学习时间频率分布表： 根据提供的信息回答问题：（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；（2）调查所得数据的中位数落在 组（填组别）；（3）该校九年级共有 750 名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI 大模型辅助学习的时间不少于60min 的学生人数．（4）在此次调查中，从 E 组学生中，随机抽取2 名学生进行访谈，已知其中有 2 名男生和 3 名女生，请用树状图或列表法求抽到的2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率。 20.（10 分）如图，一次函数y = 2x + 4 的图象与 x 轴，y 轴分别交于A，B 两点， 与反比例函数 (k ≠ 0，x >0) 的图象交于点 C，过点 B 作 x 轴的平行线与 反比例函数(k ≠ 0，x >0) 的图象交于点 D，连接 CD ． （1）求 A ，B 两点的坐标； （2）若 △BCD 是以BD 为底边的等腰三角形，求k 的值． 21.（10 分） 如图，PA 与⊙ 0相切于点A ，AC 为⊙ 0的直径，点B 在⊙0上，连接PB, PC ，且 PA = PB ． （1）连接 OB ，求证： OB 丄 PB ；（2）若∠APB = 60° ，PA = 2 ，求图中阴影部分的面积． 22. （10 分）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计 ”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m 的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一：如图 1，围成一个面积为450m2 的矩形花圃．方案二：如图 2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m 的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 23.（12分）如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔AB和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面BO上的G点，构造模型如图2．通过测量得到BC＝8米，DG＝3米，并测得光线与水平面夹角为37°． （1）求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度； （2）求出高压线塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 24.（14 分） 抛物线y x2 + 2x 交x 轴于 A ，B 两点（A 在B 的右边），交y 轴于点C ． （1）直接写出点 A 、B 、 C 的坐标； （2）如图（1），连接AC ，BC ，过第三象限的抛物线上的点 P作直线PQ ∥ AC ，交 y 轴于点Q ．若 BC 平分线段PQ ，求点 P 的坐标； （3）如图（2），点 D 与原点O 关于点 C 对称，过原点的直线EF 交抛物线于E ，F 两点（点 E 在x 轴下方），线段DE 交抛物线于另一点 G ，连接FG ．若∠EGF = 90° ，求直线DE 的解析式． 第4页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $