2025年四川省德阳市罗江区中考数学一诊试卷

2025年四川省德阳市罗江区中考数学一诊试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数4的相反数是(    ) A. B. C. D. 4 2.我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为(    ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是     A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是(    ) A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是 6.为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.已知反比例函数的图象上有点，，，且，则关于，，大小关系正确的是(    ) A. B. C. D. 8.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔O在屏幕竖直放置上成像，设，，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到的距离为(    ) A. 18cm B. 20cm C. D. 15cm 9.如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形，连接AC，CE，AE，若的面积为6，则正六边形ABCDEF的面积为(    ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10.如图，AB是的直径，BC为弦，D是弧BC的中点，连接AD交BC于E，若，，则(    ) A. 1 B. C. D. 2 11.若整数a使得关于x的不等式组至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数a之和为(    ) A. B. C. 2 D. 4 12.如图，抛物线与x轴交于C、D两点点C在点D的左侧，顶点在线段AB上运动，轴，，，有下面五个结论： ①； ②； ③当时，一定有y随x的增大而增大； ④若点C的坐标为，则点D的坐标为； ⑤若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为 其中正确的是(    ) A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①④⑤ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是          . 14.因式分解：______. 15.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是          . 16.在学校组织的实践活动中，小明同学用一个圆心角为，半径为2的扇形纸板制作了一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为      . 17.如图，是等边三角形，O是的外心，外接圆半径为，分别以A，B，C为圆心，AO，BO，CO为半径作弧交的三边于点H，I，D，E，F，G，则阴影部分的面积为      . 18.如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是______. 三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算：； 解不等式组： 20.本小题13分 中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献分别记为A，B，C，D，某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图. 根据以上信息解答下列问题： 随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图； 若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数； 该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率. 21.本小题13分 如图，在中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交CE的延长线于点 求证：； 连接BF，若，求证：四边形ADBF是矩形. 22.本小题13分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接OC，已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是 求点A的坐标及m和k的值. ①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标； ②请结合图象，直接写出不等式的解集. 若直线与四边形ABCO有交点时，直接写出t的取值范围. 23.本小题13分 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． 求甲、乙两种灯笼每对的进价； 经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 24.本小题13分 如图，内接于，AB为的直径，延长AC到点G，连接过点C作，交AB于点F，交于点D，过点D作的切线DE，交GB的延长线于点E，且 求证：； 若，，求BE的长. 25.本小题13分 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点和点A，与y轴交于点 求出抛物线的解析式； 如图2，点P是抛物线上一动点，连接AC，当P在AC上方时，设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，设点P的横坐标为m，请用含m的式子表示点F的坐标； 如图3，在的条件下，探索以A，F，B，点G是点E关于x轴的对称点为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，直接写出这个四边形的面积；若变化，说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数． 根据互为相反数的定义即可判定选择项． 【解答】 解：符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，的相反数是； 故选： 2.【答案】A  【解析】【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】 解：用科学记数法可以表示得：； 故选： 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特点解答． 【解答】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选： 4.【答案】C  【解析】解：和不是同类项， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意， 故选： 运用整式的加法、除法、积的乘方、完全平方公式进行计算辨别． 此题考查了整式的加法、除法、积的乘方、完全平方公式等运算能力，关键是能准确理解以上知识，并能进行正确的计算． 5.【答案】C  【解析】解：一组数据8，5，x，8，10的平均数是8， ， 解得， 这组数据为：5，8，8，9，10， 极差为，A正确； 众数是8，B正确； 中位数是8，故C错误； 方差为：，故D正确． 故选： 先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可． 本题主要考查极差、众数、中位数以及方差的定义，解题的关键是掌握算术平均数、众数、中位数及极差的定义并灵活运用． 6.【答案】A  【解析】解：如图，过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 过点E作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 7.【答案】D  【解析】解：由解析式可知反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内y随着x的增大而增大， ， ， 故选： 由反比例函数的解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内y随着x的增大而增大，结合即可得解． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：由题意可得：， ∽， 如图，过点O作于C，延长CO交于点， ， ，， ，即， ，即小孔O到的距离为20cm， 故选： 由题意可得，则∽，过点O作于C，延长CO交于点，由相似三角形的性质计算即可得解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：连接OA，OB，OC，OE， 由题意可得： ， ， ，是等边三角形， ，， ≌， 的面积的面积， 同理：的面积的面积，的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 故选： 连接OA，OB，OC，OE，由正六边形的性质得到A，B，C，D，E，F把圆六等分，推出，得到，是等边三角形，由SSS证明≌，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案． 本题考查正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明≌ 10.【答案】A  【解析】解：连接OD，BD，CD，OC交BC于点F， 是弧BC的中点， ，， ， ， 又， 为等边三角形， ，，， 故， 故选： 连接OD，BD，CD，OC交BC于点F，由题意得出，，证明出为等边三角形，解直角三角形得出OF、CF、EF的长，即可得出答案． 本题考查了圆周角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 11.【答案】C  【解析】解：根据题意可知，， 解得：， ， 解得：， 关于y的分式方程方程有整数解， 或或， 解得：或或或或或， ， ， ， 或或或， 满足条件的整数a之和为 故选： 由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出a的值，求和即可得解． 本题考查了一元一次不等式组的整数，分式方程的解，掌握相应的运算法则是关键． 12.【答案】D  【解析】解：①抛物线的对称轴， 顶点在线段AB上运动，轴，，， ， ， ； 故选项①正确； ②当顶点为时，抛物线的解析式为：， 当时，， 当顶点为时，， ； 故选项②正确； ③抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与1之间， 当对称轴在y轴右边，时，不是y随x的增大而增大， 故选项③错误； ④抛物线的对称轴是直线，点C在点D的左侧， 且， ， 抛物线为， 当时，， 解得， 点C的坐标为，， 若点C坐标为，则， ， 点D坐标为， 故④正确． ⑤若抛物线经过原点，则， 抛物线顶点在线段AB上运动，轴，，， ， 抛物线顶点的纵坐标为，且横坐标在与1之间， ， 对称轴是：， 抛物线顶点坐标为或， 故选项⑤错误； 本题正确的结论有：①②④； 故选： ①根据对称轴公式和顶点在AB上可判定； ②根据边缘顶点可确定抛物线的解析式，可得c的值，从而得出②结论正确； ③当对称轴在y轴右边时，时，一部分y随x的增大而减小，选项③结论错误； ④由“抛物线的对称轴是直线，顶点的纵坐标为，点C在点D左侧可得出c与b的关系式，从而得出C，D坐标，从而判断④正确； ⑤由题意知：抛物线顶点的纵坐标为，且横坐标在与1之间；若抛物线经过原点，得出，，确定抛物线的顶点坐标为或，可判断． 本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是二次函数性质的运用． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】 解：由题意得，， 解得 故答案为： 14.【答案】  【解析】解： 故答案为： 首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得 故答案为 利用判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 16.【答案】  【解析】解：扇形弧长为：， 则圆锥的底面周长为， 圆锥的底面圆半径为：， 故答案为： 根据弧长公式求出扇形弧长，再根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆半径． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是其侧面展开图扇形的弧长是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：连接OA、OB、OC，则， 是等边三角形， ，， ， 平分， 延长CO交AB于点P，则， ， ， ，， ， ， ， 故答案为： 连接OA、OB、OC，则，由等边三角形的性质得，，则，延长CO交AB于点P，则，所以，则，，所以，即可由，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查三角形外心的定义、等边三角形的性质、正多边形的中心角的定义、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示． 根据折叠可知：， 在中，，，， ， 的最小值 故答案为： 19.【答案】；     【解析】原式 ； 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 不等式组的解集为： 先计算乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再计算加减即可得解； 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 20.【答案】； 补全条形统计图如图所示； 人 估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人． 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B的结果有2种， 恰好选中A和B的概率为  【解析】解：随机抽取的学生人数为人 故答案为： D类的人数为人 补全条形统计图如图所示． 人 估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人． 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B的结果有2种， 恰好选中A和B的概率为 用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得随机抽取的学生人数；求出D类的人数，补全条形统计图即可． 根据用样本估计总体，用900乘以样本中B类和D类的人数所占的百分比之和，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中A和B的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 21.【答案】证明：， ，， 又为AD的中点， ， 在和中， ， ≌， ， 又为BC的中点， ， ； 证明：，， 四边形ADBF是平行四边形， ，D为BC的中点， ， ， 平行四边形ADBF是矩形．  【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； 证出四边形ADBF是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定，证明≌是解题的关键． 22.【答案】解：令，则， ， ， ， 四边形ABCO为平行四边形， ， 轴， 设， 平行四边形ABCO的面积是6， ， ， ，， ， 点C在直线上， ， ， 即，，； ①由知，， 直线AC的解析式为①， 由知，， 反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，点C的坐标或， 一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为； ②由图可得，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为：或； 如图所示，当直线经过点C时，t 取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，    将点代入，得， 解得； 将点代入，得， 解得， 若直线与四边形ABCO有交点时，t的取值范围为  【解析】令，则，所以，得到，利用平行四边形的性质求出，设，再利用平行四边形ABCO的面积是6，列出方程得到，即可求出答案； ①联立直线AC和双曲线的解析式求解，即可求出答案； ②利用图象直接得出答案； 当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值．据此解答． 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集等，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 23.【答案】解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． ①， 答：y与x之间的函数解析式为： ②， 函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ， ， 时，y随x的增大而增大， 当时， 答：乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．  【解析】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度． 设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； ①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 24.【答案】证明：如图：连接OD， 为的直径， 与相切， ， ，  O  D ， ， ， ， ， 解：在中，，， 由勾股定理得：， ，，， ：：：：1， 设，， ， 解得：， ， ， 在中，，，由勾股定理得： ，， 四边形DEBF为平行四边形，   【解析】如图：连接OD，根据圆周角定理、切线的性质以及平行线的性质可得，进而说明，即可证明结论； 由勾股定理可得，即；再根据平行线等分线段定理可得AF：：：：1，设，，根据线段的和差列方程求得k，进而求得，再运用勾股定理可得，最后证明四边形DEBF为平行四边形并根据其性质即可解答． 本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、平行线分线段定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质以及平行线等分线段定理是解答本题的关键． 25.【答案】；   点F坐标为；   以A，F，B，点G是点E关于x轴的对称点为顶点的四边形面积不随着P点的运动而发生变化；面积为16  【解析】抛物线与x轴分别交于点和点A，与y轴交于点将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 设点P的横坐标为m，P在抛物线上， 则， ， 点A为抛物线与x轴交点，， 点A坐标为， 设直线AP解析式为，将点A的坐标代入得： ， 解得：， 直线AP解析式为， 又在直线AP上，将代入，得： ， 与A为不同的点， 故， ， 抛物线对称轴为直线，即点F的横坐标为， 点F在直线AP：上， ， 点F坐标为； 以A，F，B，点G是点E关于x轴的对称点为顶点的四边形面积不随着P点的运动而发生变化；面积为理由如下： 设直线BP解析式为：，将点B的坐标代入得： ， 解得：， 直线BP解析式为， 在直线BP上，将代入， 即， 解得：、B为不同点，， 点E在抛物线对称轴直线上，即点E的横坐标为， 点E在直线BP：上， ， 点E坐标为， 点G是点E关于x轴的对称点， 点G坐标为 ， ， ，， 根据抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点，将B、C两点坐标代入解析式，即可求解； 设点P的横坐标为m，将横坐标m代入抛物线解析式，可用含m的式子表示P纵坐标，根据第一问求出的抛物线解析式，可得到A点坐标．设直线AP解析式为：，将A点坐标代入可求得只含k的直线AP解析式，又因为点P在直线AP上，代入直线AP解析式，可用含m的式子表示点F在抛物线的对称轴上，横坐标可知，纵坐标利用直线AP解析式可求出，由此可以得到用含m的式子表示点F的坐标； 由于，，所以要确定四边形AFBG的面积，只需求出AB，FG的长．求出点G的坐标是关键，点G是点E关于x轴的对称点，所以需要先求出点E坐标．类似于第二问，可以用含m的式子表示点E的坐标，利用两点间的距离公式求出FG，AB，化简即可求解． 本题属于二次函数综合题，主要考查了一元二次函数和一次函数的图象和性质，几何图形面积的求解，熟练地掌握它们的图象和性质，解析式的求解，几何图形求面积的方法是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $