2026年内蒙古自治区锡林郭勒盟三县多校九年级中考第三次学情自测数学试题

**基本信息** 聚焦现实应用与思维进阶，通过登山步道、哪吒手办、拱桥模型等真实情境，考查几何直观、运算能力及模型意识，适配九年级三模综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形、二元一次方程组、圆内接四边形|第2题以《九章算术》“粟米问题”渗透文化传承| |填空题|4/12|三角形中位线、动点面积、排队问题|第10题结合取餐场景考查函数关系与不等式| |解答题|6/64|解直角三角形、几何旋转探究、抛物线模型|第15题以哪吒手办生产销售考查方程与利润最大化，第18题构建灌溉车水流抛物线模型解决实际问题|

保密★启用前 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 九年级数学第三次模拟考试 考试时间：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）《九章算术》中有一个“粟米问题”，大意是“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”．设粟米为x斗，稻米为y斗，下列所列二元一次方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．（本题3分）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 5．（本题3分）如图，四边形内接于，为直径，，过点D作于点E，连接交于点F．若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 6．（本题3分）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在正方形中，点在线段上，连接，相交于点，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 8．（本题3分）如图，线段，分别为的弦，，，平分，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9．（本题3分）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 __________________． 10．（本题3分）小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为________（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为________． 11．（本题3分）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______． 12．（本题3分）如图，在中，，点D，E分别在边上，若，，连接交于点F，则的值为______． 三、解答题（共64分） 13．（本题8分）我市为满足广大市民的锻炼需求，拟将郊区的一座山打造为健身公园，山体的横截面示意图如图1，计划修建两段登山步道、和两段平台、．其中，平台、均与水平地面平行，平台长75米，在点处观察点的仰角为（即），步道的坡角为，平台距离地面的竖直高度为900米，步道的坡度．（参考数据：，，，） (1)求步道的长度； (2)为方便市民徒步登山，市规划局预备将步道全部修建成石梯，石梯的修建方式及尺寸（包括踏步高和踏步宽）均如图2所示．每一步石梯的安全标准是踏步高不小于，不大于，且踏步宽不小于，不大于．若计划修建3600个相同尺寸的连续石梯，请你通过计算说明这样修建的石梯是否符合安全标准？ 14．（本题10分）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 15．（本题10分）2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，单独生产类手办2天的总产量与单独生产类手办3天的总产量相同． (1)求生产商每天单独生产，两类手办的个数； (2)两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进，两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 16．（本题10分）（1）计算：； （2）化简求值：，其中． 17．（本题12分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 18．（本题14分）根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．             素材2 路边的绿化带宽4米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．             问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式． 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由． 任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据） ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第三次模拟考试 参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A A C D A D 二、填空题（本大题共有4小题，每题3分，共24分） 9． 10． 17 11．36 12． 三、解答题（本大题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的相对位置） 13．（本小题8分） （1）解：过点D作，延长交于点N，设， ，， ∴， 由题意得在中，， ∴，， 在中，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， （2）如图，过点B作，可得四边形是矩形， ∵，， ∴，即， 由题意得在中，的坡度， ∴， ∴， ∵计划在上修建3600个相同尺寸的连续石梯， ∴如图，， ∴，， ∵每一步石梯的安全标准是踏步高不小于，不大于，且踏步宽不小于，不大于． ∴这样修建的石梯是不符合安全标准． 14．（本小题10分） （1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（本小题10分） （1）解：设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个， 根据题意，得， 解得，（个）. 答：生产商每天单独生产类手办600个，每天单独生产类手办400个. （2）解：设购进类手办个，则购进类手办个， 根据题意，得， 解得， 设获利为元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时值最大，， 则（个） 答：购进类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元． 16．（本小题10分） 解：（1）原式； （2）原式． 当时，原式 17．（本小题12分） （1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； （3）解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． （4）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 18．（本小题14分） 解：（1）∵上边缘抛物线的顶点坐标为， ∴设上边缘抛物线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴； （2）上边缘抛物线的表达式：，将代入得， 解得（舍去），， ∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点， ∴下边缘抛物线的表达式：， 将代入得，解得（舍去），， ∵路边的绿化带宽4米，（米）， ∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； （3）根据题意得，将代入， ∴， ∴有影响， 当时，，解得， ∴ 答：将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $