重难点01 玩转球体截面、表面积与体积（期末真题汇编）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦球的6大高频考点，汇编多地区高一下期末试题，覆盖体积、表面积、截面性质等核心内容，注重空间几何与实际情境结合 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/多选/填空|60题|体积计算（正三棱锥外接球）、表面积计算（直三棱柱外接球）、截面性质（球面与侧面交线）、多面体与球内切外接（正四棱台外接球）|结合旋转体（圆柱、圆锥）、古代银杯等情境，设置基础计算与综合应用（如多球相切、轨迹问题），适配期末复习需求|

重难点01 有关球考点全方位汇总 6大高频考点概览 考点01球的体积有关计算 考点02球的表面积有关计算 考点03球的截面的性质及计算 考点04球面距离 考点05直线与球、平面与球的位置关系 考点06多面体与球体内切外接问题 ( 地 城 考点01 球的体积有关计算 ) 1．(24-25高一下·山西太原·期末)已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·云南曲靖会泽县·期末)（多选）如图，已知长方形ABCD中，将其沿着AB旋转一圈得到一个圆柱，A，B为上下底面的圆心.圆柱内有一个半径为1的小球在其内部运动，小球的球心为O ，则下列说法正确的有（    ） A．该圆柱外接球的表面积为32π B．球心O的轨迹为一个长方体 C．沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为8 D．小球运动过程中所走过的空间的体积大于 3．(24-25高一下·甘肃临夏州·期末)直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为__________，体积为__________． 4．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·江苏常州前黄高级中学·期末)已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)（多选）“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 7．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 8．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末)如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水高好充满水杯，则（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一下·广东汕尾·期末)在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 10．(24-25高一下·北京丰台区·期末)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（   ） A． B． C． D． ( 地 城 考点02 球的表面积有关计算 ) 11．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一下·四川泸州三校联盟·期末)已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 14．(24-25高一下·湖北武汉部分学校·期末)若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一下·陕西咸阳乾县薛录高中·期末)如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 16．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 17．(24-25高一下·广东汕头第一中学·期末)如图1，长方体容器置于水平地面上，内灌进一些水，水面高为，，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，容器内的水形成新的几何体，如图2，当时，该几何体的外接球表面积为________． 18．(24-25高一下·四川眉山·期末)已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 19．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，该四棱柱的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 20．(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. ( 地 城 考点0 3 球的截面的性质及计算 ) 21．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（多选）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 22．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期末)已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为1，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______． 23．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 24．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)（多选）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 25．(24-25高一下·江苏常州·期末)若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为______. 26．(24-25高一下·四川成都蓉城联盟·期末)以点O为球心，半径为的球的表面与以点O为顶点，棱长为6的正四面体表面的交线为P，则P的总长度为________． 27．(24-25高一下·河北雄安新区·期末)已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______． 28．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为______． 29．(24-25高一下·宁夏银川一中·期末)已知在球的内接长方体中，，，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为__________． 30．(24-25高一下·福建福州高级中学·期末)直四棱柱的底面正方形边长为，侧棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于______． ( 地 城 考点0 4 球面距离 ) 31．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末)在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 32．(24-25高一下·陕西宝鸡渭滨区·期末)将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（   ） A．4π B．6π C．8π D．12π 33．(24-25高一下·山东威海·期末)已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 34．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 35．(24-25高一下·河北雄安新区雄安十校·期末)已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 36．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 37．(24-25高一下·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期末)如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，且.若该三棱柱的外接球的表面积为，则________. 38．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末)设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________. 39．(24-25高一下·陕西商洛·期末)已知四面体中，，，点O为该四面体外接球的球心，则的值为______． 40．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． ( 地 城 考点0 5 直线与球、平面与球的位置关系 ) 41．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)一个棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm. 42．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 43．(24-25高一下·山东青岛·调研)已知圆台的母线与下底面所成角为，球O与圆台的上、下底面及侧面都相切，若圆台内可再放入与下底面、侧面及球O都相切的小球，则最多可放入的小球的个数为________. （注：若锐角满足，则） 44．(24-25高一下·河北石家庄二中教育集团·期末)在三棱锥中，平面，，，，三棱锥的所有顶点均在球的表面上，若点、分别为与的重心，直线与球的表面相交于、两点，则________ 45．(24-25高一下·四川遂宁·期末)世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为______． 46．(24-25高一下·四川凉山州·期末)已知圆锥的侧面面积为，母线长为，则圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 47．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为（   ） A．2 B． C．3 D． 48．(24-25高一下·山西吕梁·期末)若一个棱长为2的正方体内接于四分之一球形封闭几何体（正方体的两个面分别在两个半圆面上，另外两个顶点在曲面上），则四分之一球形封闭几何体的内切球的半径为__________________. 49．(24-25高一下·四川成都蓉城联盟·期末)棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 50．(24-25高一下·浙江温州·期末)有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为______． ( 地 城 考点0 6 多面体与球体内切外接问题 ) 51．(24-25高一下·河南漯河普通高中·期末)将一个直角边长分别为2，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥、则该圆锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 52．(24-25高一下·四川巴中普通高中·期末)棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 53．(24-25高一下·河北秦皇岛部分学校·期末)在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______. 54．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)若半径为2的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的体积为______． 55．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 56．(24-25高一下·海南海口·期末)已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________． 57．(24-25高一下·甘肃酒泉普通高中·期末)已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 58．(24-25高一下·河南濮阳·期末)已知正四棱台的上、下底面边长分别为4、9，若一个球与该正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，则该球的体积为______． 59．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)一个底面直径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球，则铁球半径最大时，其中一个球的表面积______. 60．(24-25高一下·四川成都五城区统考·期末)如图，在棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的对角线上，其中球的半径为2，则球的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 有关球考点全方位汇总 6大高频考点概览 考点01球的体积有关计算 考点02球的表面积有关计算 考点03球的截面的性质及计算 考点04球面距离 考点05直线与球、平面与球的位置关系 考点06多面体与球体内切外接问题 ( 地 城 考点01 球的体积有关计算 ) 1．(24-25高一下·山西太原·期末)已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 2．(24-25高一下·云南曲靖会泽县·期末)（多选）如图，已知长方形ABCD中，将其沿着AB旋转一圈得到一个圆柱，A，B为上下底面的圆心.圆柱内有一个半径为1的小球在其内部运动，小球的球心为O ，则下列说法正确的有（    ） A．该圆柱外接球的表面积为32π B．球心O的轨迹为一个长方体 C．沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为8 D．小球运动过程中所走过的空间的体积大于 【答案】ACD 【分析】首先确定所得圆柱底面半径、高，再求出外接球半径，即可判断A、C；根据小球在圆柱中运动，直观想象确定球心的轨迹及小球所及空间的最大体积判断B、D. 【详解】由题设，所得是底面半径为2，高为4的圆柱，则其外接球的半径为， 所以外接球的表面积为，A对； 沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为，C对； 由于小球半径为1，则其在圆柱中运动时轨迹是底面半径为1，高为2的圆柱，B错； 小球运动过程中所走过的空间是除去球体与圆柱的底面和侧面相切时球体与圆柱所成空隙部分的其它空间， 该空间最大体积大于，D对， (括号部分说明：表示从一个底面半径、高为2的圆柱体中去掉一个底面半径为1，高为2的圆柱体和一个底面为半圆(半径为1)，高为的柱体). 故选：ACD 3．(24-25高一下·甘肃临夏州·期末)直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为__________，体积为__________． 【答案】 【分析】先求底面三角形的外接圆半径，再根据外接球球心在三棱柱的中截面上，求出外接球半径，进而根据公式求球的表面积和体积. 【详解】如图： 因为，，所以. 设底面外接圆半径为，则. 设底面的外接圆圆心为，过作平面的垂线，在三棱柱的同侧取点，使得，则为三棱柱外接球的球心. 设三棱柱外接球的半径为，则. 所以球的表面积为：； 体积为：. 故答案为：； 【点睛】. 4．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 5．(24-25高一下·江苏常州前黄高级中学·期末)已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体、圆柱、球的表面积相等设出相应的量，然后用相同的量表示出它们的体积，比较即可. 【详解】设正方体的棱长为，等边圆柱底面圆的半径为，球体的半径为， 所以正方体的表面积为， 等边圆柱的表面积为， 球的表面积为， 因为，即， 由，， 所以正方体的体积为， 等边圆柱的体积为， 球的体积为， 因为， 所以， 故选：C. 6．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)（多选）“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 【答案】AB 【分析】对于A选项，直接观察几何体即可判断选项正误； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，然后通过面积公式计算即可判断选项正误； 对于C选项，通过求解正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离，并将该距离与比较即可判断选项正误. 对于D选项，通过比较正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离与正方体的中心和半正多面体三角形侧面的距离是否相等，即可判断选项正误 【详解】对于A选项，该半正多面体共有24条棱，12个顶点，故A项正确； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，所以表面积为，故B项正确； 对于C选项，正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离为2，，故C项错误； 对于D选项，正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离为，正方体的中心和半正多面体三角形侧面的三个顶点构成棱长为1的正四面体，所以该正四面体的高，故半正多面体不存在内切球，故D项错误. 故选：AB 7．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 【答案】 【分析】设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合球的体积公式即可求解． 【详解】如图，设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得， 即， 整理得，所以， 故两球体积之和为 ， 由二次函数性质可知：当且仅当时，有最小值， 即两球体积之和的最小值为． 故答案为：． 8．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末)如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水高好充满水杯，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径. 【详解】如图，，又放入的球的半径为， 由于圆台的体积， 由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则， 由于，则， 则， 那么，则，那么在上方， 即该小球先与上下底面相切．    故选：B. 9．(24-25高一下·广东汕尾·期末)在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 【答案】/ 【分析】根据圆锥和球的体积公式求解. 【详解】旋转形成的几何体的体积是球的体积减去两个圆锥的体积. 球的体积为：. 圆锥的体积为：. 所以所得几何体的体积为：. 故答案为： 10．(24-25高一下·北京丰台区·期末)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，银杯盛酒部分的容积为半球的体积加圆柱的体积，将已知条件代入体积公式求解即可. 【详解】半球的体积为，圆柱的体积为， 因此银杯盛酒部分的容积为. 故选：A. ( 地 城 考点02 球的表面积有关计算 ) 11．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的性质结合条件可得直三棱柱外接球半径，然后根据直三棱柱的底面三角形内切圆半径结合条件可得内切球半径，进而得解. 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 12．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 13．(24-25高一下·四川泸州三校联盟·期末)已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 【答案】 【分析】根据球的表面积求出半径，建立圆柱高和半径的方程，求出圆柱侧面积解析式，利用基本不等式求解最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为、高为，球的半径为， 由题知，解得，由圆柱的轴截面性质知， 所以该圆柱的侧面积为， 当且仅当时等号成立，即该圆柱的侧面积的最大值为. 故答案为：. 14．(24-25高一下·湖北武汉部分学校·期末)若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，直接求出球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，设球的半径为， 又圆柱的底面半径为2，母线长为2，则，所以该球的表面积为， 故选：D. 15．(24-25高一下·陕西咸阳乾县薛录高中·期末)如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 【答案】 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即球体建筑物的表面积为. 故答案为： 16．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 【答案】C 【分析】根据圆锥，圆柱，以及球的表面积和体积公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对A，圆柱的侧面积等于，A正确； 对B，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，B正确； 对C，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为，所以，C错误； 对D，圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 球的表面积为，由于，所以圆柱的表面积最大，D正确. 故选：C． 17．(24-25高一下·广东汕头第一中学·期末)如图1，长方体容器置于水平地面上，内灌进一些水，水面高为，，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，容器内的水形成新的几何体，如图2，当时，该几何体的外接球表面积为________． 【答案】41π 【分析】利用等体积法求出，利用可求出外接球半径，最后求出表面积. 【详解】依题意，图1和图2中容器内的水形成的几何体都为直棱柱，图2底面△HCG为直角三角形， 由于水的体积及BC不变，故图2中的面积等于图1中矩形的面积，即图2中，，因，则， 此时直三棱柱CHG-BEF可补形为以CH、CG、BC为棱的长方体，则所求外接球直径等于此长方体体对角线长， 即， 故所求外接球表面积为． 故答案为：41π. 18．(24-25高一下·四川眉山·期末)已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】利用正弦定理求出的外接圆直径，利用公式可计算得出三棱锥的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为， 取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于， 则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得. 平面，设的外接圆为圆， 可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示： 设的外接圆直径为，，又， 由正弦定理可得， 该三棱锥的外接球直径为，则. 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 19．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，该四棱柱的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据几何体的特征，确定球心的位置位于下底面与上底面的外接圆圆心的中点，进而求得球的半径满足，进而可得表面积. 【详解】 如图，过点作于点，连接， 因为，所以， 由平面几何知识可和， 又，故，所以， 所以. 设直四棱柱的下底面与上底面的外接圆圆心为， 则的中点为球心，且. 设球的半径为，因为，所以， 所以， 所以球的表面积. 故选：A 20．(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【分析】由题意截面的面积为求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球的表面积；过点作球的截面，确定截面圆与垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的半径. 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； ( 地 城 考点0 3 球的截面的性质及计算 ) 21．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（多选）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 【答案】ACD 【分析】根据正四面体的性质进行计算，可判定A；结合球的性质研究得到曲线为正的以中心中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，进而判定BCD. 【详解】设截得已知三棱台的正四面体为，根据正四面体的性质，点到平面的距离平面，垂足为， ，A选项正确； 以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则， 点轨迹为以正中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，每一段的圆心角都是，端点都是正边的三等分点，如图所示. 曲线的长度为，B选项错误； 连接,由圆的性质可得线段的最小值，C选项正确； 所有线段所形成的曲面是以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面的了2小部分，其面积为面积，D选项正确. 故选：ACD 22．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期末)已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为1，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______． 【答案】 【分析】分圆台的上下底面在外接球球心的同侧和两侧进行讨论. 【详解】如下图，为圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心的同侧. 可令点保持不动，点在底面圆周上运动. 因为，，所以，. 所以在点的运动过程中，与的夹角的取值范围为：. 所以，当时取得最小值，当时，取得最大值. 又，所以. 如下图：圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心的两侧. 则，. 所以在点的运动过程中，与的夹角的取值范围为：. 所以，当时取得最小值，当时，取得最大值. 所以. 综上可得：面积的取值范围为. 故答案为： 23．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 【答案】D 【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断. 【详解】对于A：球面上任意两点与球心共线时连成的线段都是球的直径，故A错误； 对于B：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心是正棱锥，故B错误； 对于C：用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形不一定三角形，还可能是圆等其它图形，故C错误； 对于D：因为棱台是用平行与底面的平面截棱锥得到，所以棱台的侧棱延长后交于同一点，故D正确. 故选：D. 24．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)（多选）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 【答案】ACD 【分析】对于A，分析出球面上一点到球内一点的最大距离为即可判断；对于B，分析出当垂直于截面时，截面的面积最小即可判断；对于C，设正方体的棱长为，分析出P到该正方体各面距离的最大值为即可判断；先求出正四面体的高即球心到正四面体一个面的距离，再判断出点与正四面体的每个面的交线是一个圆，并求出截面圆的半径，即可求出点P在该正四面体上的轨迹长度，即可判断. 【详解】 对于A，如图所示球的半径，为直径，中点为P，则有. 根据球的性质可知，球面上一点到球内一点的最大距离为球的半径 加上该点到球心的距离，即，故A正确； 对于B，过P作球O的截面，当垂直于截面时，截面圆的半径最小， 由勾股定理可知， 所以截面面积的最小值为，故B错误； 对于C，如图所示： 若正方体的外接球是球O，设正方体的棱长为， 则有，由可知. 已知球心到正方体各面的距离为，又因为， 所以点P到该正方体各面距离的最大值是， 故C正确； 对于D，如图所示 若正四面体的外接球是球O，取的中点为，连接， 设在底面的射影为，则在上，且， 设正四面体的棱长为， 则正四面体的高 又因为外接球半径， 由可知，，. 所以点与正四面体的每个面的交线是一个圆，截面圆的半径，周长为， 所以点P在该正四面体上的轨迹长度是，故D正确. 故选：ACD 25．(24-25高一下·江苏常州·期末)若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为______. 【答案】/ 【分析】由题可得球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，即可求出. 【详解】正方体中，平面， 所以平面与球的截面是以为圆心的圆，且半径为， 所以球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧， 该交线长为. 故答案为：. 26．(24-25高一下·四川成都蓉城联盟·期末)以点O为球心，半径为的球的表面与以点O为顶点，棱长为6的正四面体表面的交线为P，则P的总长度为________． 【答案】 【分析】先在正四面体中求出高，判断出底面与球相交，交线是一个圆，进而求出底面圆的半径为，即可求出球与底面相交的交线长；然后在侧面在三个侧面等边三角形中，求出到对边中点的距离都是，即可得知每个侧面与球的交线是以为圆心，以为半径，圆心角为的圆弧， 算出三个侧面与球相交的总弧长，即可求出交线P的总长度. 【详解】    如图所示的正四面体，棱长为6，设底面中心为， 在等边中，为边的中点， 可知， 所以在中，求得正四面体的高 ， 所以正四面体的底面与球相交，交线是一个圆，圆心恰为， 设底面圆的半径为，则， 所以球与底面交线的周长为. 在三个侧面等边三角形中， 到对边中点的距离都是，例如， 所以每个侧面与球的交线是以为圆心，以为半径， 圆心角为的圆弧，所以弧长为， 所以三个侧面的总弧长为. 所以交线P的总长度为. 故答案为： 27．(24-25高一下·河北雄安新区·期末)已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______． 【答案】 【分析】取BC的中点，由给定条件可得是梯形ABCD外接圆圆心，再由球的截面性质求出球半径，进而求出长即可得解. 【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，取BC的中点，连接，，如图， 由，，得四边形都为菱形， 则，即是梯形ABCD外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面ABCD，又平面ABCD， 则，而PA为球O的弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接OE，OA， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径，在中，， ，， ，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于OM， 设此时截面圆半径为r，则，所以截面圆面积的最小值为． 故答案为： 28．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为______． 【答案】 【分析】画出底面展开图，由几何关系得到图中边长关系，由正弦定理可得，再由三角形相似得到，最后求出结果即可. 【详解】 设上面球心为，的圆心为，三点在底面投影的正三角形的中心为， 圆锥的顶点为，边中点为，连接，则，， 由几何关系可得三点共线， 由题意可得，， 在几何体中，设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得，即， 由可得，所以， 所以半球面上的最高点到平面DEF的距离为， 故答案为：. 29．(24-25高一下·宁夏银川一中·期末)已知在球的内接长方体中，，，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】先求得长方体外接球的半径，然后根据球的几何性质、勾股定理以及圆的面积公式求得截面面积的最小值. 【详解】如图，    在球的内接长方体中， ，， 设球的半径为，则， 所以球的表面积， 当球的截面，即为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离时最大， 此时截面圆的半径最小，此时截面圆的面积最小， 而,所以， 所以截面圆面积. 故答案为： 30．(24-25高一下·福建福州高级中学·期末)直四棱柱的底面正方形边长为，侧棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于______． 【答案】 【分析】分别求出球面与面、面、面、面的交线长，相加即可得出结果. 【详解】如下图所示： ①因为正方形的边长为，所以，以顶点为球心，为半径的球与面的 交线是以为圆心，半径为，且圆心角为的圆弧，其长度为； ②因为底面，且， 所以，以顶点为球心，为半径的球与面的交线是以点为圆心，半径为 ，圆心角为的圆弧，其长度为； ③设以顶点为球心，为半径的球与棱的交点为点， 因为，，则， 所以，，从而可得， 故以顶点为球心，为半径的球与侧面的交线是以点为圆心，半径为， 且圆心角为的圆弧，其长度为； ④同③可知，以顶点为球心，为半径的球与侧面的交线是以点为圆心，半径为， 且圆心角为的圆弧，其长度为. 因此，球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于. 故答案为：. ( 地 城 考点0 4 球面距离 ) 31．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末)在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】/ 【分析】由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案. 【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 32．(24-25高一下·陕西宝鸡渭滨区·期末)将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（   ） A．4π B．6π C．8π D．12π 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定外接球球心，求出球的半径即可. 【详解】令正方形对角线交点为，在四面体中，， 因此四面体的外接球的球心点为，半径为1， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：A 33．(24-25高一下·山东威海·期末)已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 【答案】/ 【分析】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，由题意先求，利用正弦定理求，利用勾股定理求，进而得，利用余弦定理求，最后利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为， 所以，又，， 由正弦定理有， 过作平面，则，所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 即，化简整理有，解得， 所以， 所以， 故答案为：. 34．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 【答案】B 【分析】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等，在正四棱柱，作四棱锥，作一平行截面，先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等， 在正四棱柱，作四棱锥， 为底面正方形的中心， 作截面平行于帐篷底面，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形，四边形，四边形，如图所示， 设截面与底面的距离为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形的面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：B. 35．(24-25高一下·河北雄安新区雄安十校·期末)已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定外接球球心位置，利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，取线段的中点，连接， 则，，设点在底面的射影为点， 则为正的中心，，则， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为R， 则，由勾股定理得，即，解得， 所以该正三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 36．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A根据线面平行，找到平行平面与已知平面的交线即可；对于B通过球与平面相交的截面圆计算轨迹长度；对于C利用平行线找到平面的截面图形在计算长度；对于D三棱锥外接球问题，计算球的半径，最后计算球的表面积； 【详解】 对于A，取中点，连接， 若平面，过点作平面的平行平面， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，可得平面， 同理平面，进而得到平面平面， 点是底面内一动点，点运动轨迹为线段,长度为6，A错误； 对于B，若，则可看作以为球心，半径为的球与平面相交的圆的四分之一周长即为点运动轨迹， 在正方体中，平面，且， 设球与平面的截面圆半径, 所以点运动轨为以D为圆心，为半径的圆在正方形内的部分， 则点运动轨迹长度为，B正确； 对于C，因为， 过三点的平面截正方体所得截面图形，则截面图形的周长为 ，C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为6，6，3的长方体的外接球， 则外接球半径为，所以表面积，故D正确； 故选：BCD. 37．(24-25高一下·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期末)如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，且.若该三棱柱的外接球的表面积为，则________. 【答案】 【分析】只需求得底面三角形外接圆的半径，该三棱柱的外接球的半径，再结合勾股定理列方程即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 所以三角形是以为直角的直角三角形， 所以底面三角形外接圆的半径为， 设该三棱柱的外接球的半径为，若该三棱柱的外接球的表面积为， 则，解得， 根据对称性可知，，即，解得. 故答案为：. 38．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末)设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________. 【答案】 【分析】设球的半径为，根据长方体的体对角线即为球的直径，求出，再根据球的表面积计算即可. 【详解】设球的半径为， 因为长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上， 所以长方体的体对角线即为球的直径，即， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 39．(24-25高一下·陕西商洛·期末)已知四面体中，，，点O为该四面体外接球的球心，则的值为______． 【答案】 【分析】根据空间向量线性定理将表示出来，然后根据线角关系求出它们的数量积. 【详解】根据题意，， 因为点O为该四面体外接球的球心，所以取点M，N分别为，的中点， 则，， 所以，， 所以． 故答案为：. 40．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图： 依题意，，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 由，得，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，则， 所以球与球的表面积之比. 故选：A ( 地 城 考点0 5 直线与球、平面与球的位置关系 ) 41．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)一个棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm. 【答案】 【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征可得两个球的球心在正方体的一条体对角线上，进而列出方程求解即得. 【详解】铁球与正方体共点的三个面都相切，球心在这个点为端点的正方体体对角线上，设球半径为， 则另一个铁球与这条体对角线的另一端点所在的三个面都相切，该球球心在这条体对角线上， 要球半径最大，两个半径相等的铁球必相切，因此一个球的球心到这条体对角线一个端点距离最小值为 又球心到与球相切的三个面的距离为，因此，解得， 所以铁球半径的最大值为为. 故答案为： 42．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【分析】由旋转体的定义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：A. 43．(24-25高一下·山东青岛·调研)已知圆台的母线与下底面所成角为，球O与圆台的上、下底面及侧面都相切，若圆台内可再放入与下底面、侧面及球O都相切的小球，则最多可放入的小球的个数为________. （注：若锐角满足，则） 【答案】10 【分析】利用圆台的性质，及内切球的半径和线面角为，可计算下面两个小球球心所对的圆心角，这利用周角来计算小球的个数即可. 【详解】 圆台的母线与下底面所成角为，球O与圆台的上、下底面及侧面都相切， 如图可得，设内切球的半径为， 根据轴截面这个等腰梯形，由于可得：， 再在圆台内可再放入与下底面、侧面及球O都相切的小球，如球， 这些球心一定在以为圆心的圆上，设球的半径都为, 因为，根据直角三角形的性质可得， 又因为，根据两球相切的性质可得：， 可得，所以，根据，所以， 由于，利用等腰三角形三线合一，可解得， 根据锐角满足，则， 所以， 从而可得相邻两个球之间的圆心角，根据， 可知最多可放入的小球的个数为10个 故答案为：10 44．(24-25高一下·河北石家庄二中教育集团·期末)在三棱锥中，平面，，，，三棱锥的所有顶点均在球的表面上，若点、分别为与的重心，直线与球的表面相交于、两点，则________ 【答案】 【分析】将三棱锥放入边长为1的正方体中，故三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，且为的中点，作出辅助线，得到，外接球半径为，由勾股定理逆定理得到⊥，求出点到直线的距离，从而求出，从而得到答案. 【详解】如图所示，将三棱锥放入边长为1的正方体中， 故三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，且为的中点， 取的中点，的中点，连接，，则与的交点即为， 连接，，则与的交点即为，连接， 因为，所以，且， 连接，则，且，故， 因为，所以，所以，， 又，由勾股定理得， ，， 故外接球半径为，故， 因为，由勾股定理逆定理得⊥， 则⊥，故点到直线的距离为， 则，故. 故答案为： 45．(24-25高一下·四川遂宁·期末)世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为______． 【答案】 【分析】先利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径. 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，如图： 正外接圆半径， 正四面体的高，令正四面体的外接球半径为， 在中，，解得， 此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示： 图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交曲面于点， 其中即为正四面体外接球半径， 因为点均在以点B为球心的球面上，所以， 设勒洛四面体内切球半径为， 则由图得. 故答案为： 46．(24-25高一下·四川凉山州·期末)已知圆锥的侧面面积为，母线长为，则圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆锥的底面圆半径和高，找到球心的位置，根据半径相等得到方程，求出，进而求出外接球表面积. 【详解】圆锥母线长，设圆锥底面圆半径为，则， 解得，圆锥的高为， 设圆锥的外接球的球心为，则在上，设半径为， 则，， ， 即，解得， 故圆锥的外接球的表面积为. 故选：B 47．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将三棱锥转化为正三棱柱，根据题意结合正三棱柱的性质求外接球的半径. 【详解】将三棱锥转化为正三棱柱， 可知三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球， 设的外接圆圆心为，半径为r， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为O，连接OA，， 则，因为，解得， 所以该三棱锥外接球的半径长为2. 故选：A． 48．(24-25高一下·山西吕梁·期末)若一个棱长为2的正方体内接于四分之一球形封闭几何体（正方体的两个面分别在两个半圆面上，另外两个顶点在曲面上），则四分之一球形封闭几何体的内切球的半径为__________________. 【答案】 【分析】画出图象，结合图象利用勾股定理即可求解. 【详解】设球形封闭几何体的半径为，如图， 正方体的棱长满足，因为，所以， 内切球半径满足，所以. 故答案为：. 49．(24-25高一下·四川成都蓉城联盟·期末)棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据正方体的外接球的直径是体对角线计算计算求解. 【详解】因正方体的对角线长， 所以正方体的外接球的直径， 则. 故选：C． 50．(24-25高一下·浙江温州·期末)有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为______． 【答案】 【分析】作出截面图形，可知小球最大半径满足，由此可得答案. 【详解】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，， 因为，所以，解得. 故答案为：. ( 地 城 考点0 6 多面体与球体内切外接问题 ) 51．(24-25高一下·河南漯河普通高中·期末)将一个直角边长分别为2，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥、则该圆锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得：圆锥外接球半径即为圆锥轴截面外接圆半径，据此用相似比可得答案. 【详解】由题知所得圆锥的底面半径为2，高为4，则母线长为， 该圆锥外接球半径即为圆锥轴截面外接圆半径. 设圆锥外接球的半径为R，则与相似， ， 故选：B 52．(24-25高一下·四川巴中普通高中·期末)棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需求得该球的半径，再结合球的表面积公式即可求解. 【详解】设棱长为6的正四面体的底面外接圆半径为，则，解得， 所以正四面体的高为，体积为， 所以题述中的球的体积为，设该球的半径为，则， 解得，故所求为. 故选：D. 53．(24-25高一下·河北秦皇岛部分学校·期末)在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______. 【答案】 【分析】由直三棱柱的结构特征及已知确定外接球球心，结合几何关系有，应用基本不等式求最小值，进而求外接球表面积的最小值. 【详解】由题意得，设该三棱柱外接球的球心为矩形的中心O，则其半径为， 所以， 当且仅当时等号成立，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为. 故答案为： 54．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)若半径为2的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的体积为______． 【答案】 【分析】易知正三棱柱的高为4，内切球与外接球的球心重合，底面三角形的内切圆半径为2，可求出外接球半径，再利用球的体积公式求解． 【详解】易知该正三棱柱的高为， 不妨记下底面的顶点为A，B，C，易知内切球与外接球的球心重合，记为O， 显然的内切圆半径为2，记内切圆圆心为，则，， 故外接球半径， 故外接球体积， 故答案为：． 55．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需求得三棱锥外接球的半径，再结合球的体积公式即可求解. 【详解】如图所示，取中点，因为， 所以， 而，所以， 所以， 所以点为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为，故所求为. 故选：A. 56．(24-25高一下·海南海口·期末)已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________． 【答案】 【分析】空：取中点，由几何知识可得，则为外接球的球心，从而可求解；空：过作于，然后再利用等体积法即可求解. 【详解】空：取中点，则，所以为外接球的球心， 所以外接球的半径为，由球的表面积公式. （2）当三棱锥的体积最大时，平面垂直于平面，用等体积的方法求该三棱锥内切球的半径， 即过作于，则面， 在中可解，，， 在中，由，由余弦定理可得解得， 在中用勾股定理得， 因为，， 代入公式 即，解得. 故答案为：；. 57．(24-25高一下·甘肃酒泉普通高中·期末)已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设分别取的中点，连接，判断直三棱柱的外接球球心在的中点，借助于求得外接球半径，代入公式即得其体积. 【详解】 如图，，，分别取的中点，连接， 则点分别是的外心，故直三棱柱的外接球球心在的中点， 连接，则，， 故直三棱柱的外接球半径，则其体积为. 故选：B. 58．(24-25高一下·河南濮阳·期末)已知正四棱台的上、下底面边长分别为4、9，若一个球与该正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，则该球的体积为______． 【答案】 【分析】首先通过正四棱台的上、下底面边长求出其侧面梯形的高，由于球与正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，所以球的直径等于正四棱台的高，进而求出球的半径，最后根据球的体积公式计算体积. 【详解】设正四棱台的高为，侧面等腰梯形的斜高为，球的半径为， 其轴截面是一个梯形，又球与正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，轴截面需要与球的大圆相切，即轴截面为圆外接梯形， 又正四棱台的上、下底面边长分别为，利用圆外接梯形性质可知，即， 又四棱台的高、斜高、上下边长差构成直角三角形，由勾股定理得， 即，球的体积为, 故答案为：. 59．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)一个底面直径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球，则铁球半径最大时，其中一个球的表面积______. 【答案】 【分析】由题意结合圆柱轴截面可得符合题意的示意图，结合题目数据可得答案. 【详解】设圆柱轴截面为矩形GDEF，因圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球， 为使球体半径最大，则球体间应尽量相切，且与圆柱相切，据此可得如下示意图. 设球体半径为r，连接AB，则.做，由对称性，. 做，过A做垂线，交于I，BJ于K， 则， 则 ，由题可得， 则，从而球体表面积为：. 故答案为： 60．(24-25高一下·四川成都五城区统考·期末)如图，在棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的对角线上，其中球的半径为2，则球的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】作出对角线及球心，所在的截面，建立对角线与两个球的半径的等量关系式即可求解. 【详解】 设正方体为，球，的半径分别为，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图所示， 正方体的棱长为，， 在直角中，， ，， ，， ， ，解得. 故选：A. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $