专题02 平面向量及其应用11大考点92题（高效培优期末专项训练）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 以平面向量概念-运算-应用为主线，衔接解三角形，通过11个分层考点构建知识网络，培养数学抽象与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量基础|3个考点|概念判断、线性运算、坐标表示题|从向量定义到线性运算，再到坐标化表示，形成完整概念体系| |数量积应用|4个考点|夹角、模、投影及几何应用题|聚焦数量积公式的多元应用，体现从代数计算到几何直观的转化| |解三角形|4个考点|定理应用、形状判断、根个数及实际应用题|以正余弦定理为核心，衔接向量工具，实现三角与几何的综合应用|

专题02 平面向量及其应用 目录 考点01 平面向量的基本概念 1 考点02 平面向量的线性运算 3 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 6 考点04 平面向量的数量积公式在求向量夹角上的应用 8 考点05 平面向量的数量积公式在求向量模上的应用 17 考点06 平面向量的投影向量 20 考点07 平面向量的数量积公式在平面几何上的应用 23 考点08 解三角形 30 考点09 判定三角形形状 37 考点10 三角形根个数问题 40 考点11 解三角形的实际应用 44 考点01 平面向量的基本概念 1．(24-25高一下·甘肃天水张家川回族自治县实验中学·月考)下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．(25-26高一上·河北唐山第一中学·)下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 3．(24-25高一下·广西河池·期末)下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 4．(24-25高一·安徽淮北合肥一六八中学教育集团淮北五中分校·期末)（多选）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 5．(22-23高一下·湖南邵阳·期末)下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 考点02 平面向量的线性运算 6．(24-25高一下·陕西西安临潼区华清中学等校·期末)（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一下·云南民族大学附属高级中学·期中)如图所示，中，等于（   ）    A． B． C． D． 8．若，则_____． 9．已知向量，，，，则下列向量的运算结果不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．(23-24高三上·安徽淮南兴学教育咨询有限公司·月考)如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．    考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 13．(24-25高一·广东江门第一中学·)已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C．4 D．1 14．(24-25高一·陕西榆林靖边中学·月考)（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 16．(25-26高一·浙江嘉兴平湖当湖高级中学·)已知点，，，． (1)若，，求的值； (2)求的最小值． 17．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量和； (2)设和的夹角为，若，且，求证：； (3)若，，求点的坐标. 考点04 平面向量的数量积公式在求向量夹角上的应用 18．(24-25高一下·北京顺义区·期末)设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．(24-25高一下·陕西西安阎良区·期末)已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 20．已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 21．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．(24-25高一下·河南九师联盟·期中)已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 23．(24-25高一下·江苏南通启东第一中学·期中)在中，，，为中点，设，. (1)当，时，若，求边的长； (2)当，时，与相交于点，设，求实数的值； (3)若，且，求的最大值. 24．(23-24高一下·吉林实验中学·期中)已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 25．已知向量，，若与的夹角是钝角，则（   ） A． B． C．且 D．且 26．(24-25高一下·浙江宁波姜山中学·模拟)（多选）已知向量，则（ ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为-5 C．若，则 D．若，则与的夹角为 27．(24-25高一·广东江门第一中学·)（多选）下列说法中正确的有（   ） A．平面向量，可以作为基底 B．已知正边长为2，则 C．模为0的向量与任意非零向量共线 D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 28．(19-20高一下·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知向量，，，且，. (1)求与； (2)若，，求向量，的夹角的大小. 29．(25-26高一·广东高州中学·月考)下列四个命题中，正确的是（    ） ①若、，则. ②若，则. ③若，，且，则与的夹角为 ④已知向量，不共线，，，，则三点共线 A． B． C． D． 30．已知向量与的夹角，且，． (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值． 31．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·月考)已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量；（用表示） (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 32．(24-25高一下·内蒙古包头第一中学·期中)已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 33．(25-26高一下·福建武夷山第二中学·月考)设，已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线. (1)求的值； (2)若，， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 考点05 平面向量的数量积公式在求向量模上的应用 34．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 35．已知向量的夹角为，则__________. 36．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 37．(24-25高一下·江西抚州·)已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 38．(25-26高一·贵州贵阳南湖实验中学·月考)已知． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； 39．(20-21高一下·广东深圳龙岗区德琳学校·月考)已知与的夹角是 (1)计算； (2)求和的夹角的余弦值． 40．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·月考)已知，求： (1)； (2)． 考点06 平面向量的投影向量 41．(24-25高一下·安徽淮北濉溪县孙疃中学·调研)已知向量，则在上的投影向量为（ ） A．3 B． C． D． 42．(24-25高一·广东江门第一中学·)已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 43．(25-26高一下·江苏南通海安高级中学·期中)若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 44．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 45．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)已知向量，，. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 46．已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________. 47．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 48．已知向量，，. (1)若，求的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标. 49．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中皖北·期中)已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 考点07 平面向量的数量积公式在平面几何上的应用 50．(21-22高一下·吉林东北师范大学附属中学·)已知菱形 ABCD边长为， 则（ ） A． B． C．2 D．4 51．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，，，且，则______ 52．已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 53．在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 54．如图，正方形中，，是的中点，、分别是线段、上的点，若，则的最小值为_____. 55．(24-25高一·广东江门第一中学·)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为________. 56．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 57．（多选）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点，是外接圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B． C． D．当取最大值时，、、三点共线 58．(25-26高一·广东高州中学·月考)（多选）如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为2 D．若，则当B，O，P三点共线时， 59．(24-25高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期末)已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 考点08 解三角形 60．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)在中，内角所对的边分别为，，已知，，，则角等于______． 61．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 62．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 63．(24-25高一下·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 64．(24-25高一·广东江门第一中学·)在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则内角（   ） A． B． C． D． 65．(25-26高一·上海文建中学·期中)已知分别为 三个内角的对边，且满足，则角 的大小为（    ） A． B． C． D． 66．已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（   ） A．1 B． C． D．2 67．(25-26高一下·山东桓台第一中学·)（多选）在中，内角所对的边分别为且，，，则（   ） A． B．的面积为 C．外接圆的半径为 D．为钝角三角形 68．（多选）记的内角，，的对边分别为，，，为内的一点，下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若为所在平面内任意一点，，则点为三角形的重心 C．若，则为锐角三角形 D．若，，且为锐角三角形，则的取值范围是 69．(24-25高三下·青海海东部分学校·)设分别为三个内角的对边，且 (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积. 70．(25-26高一·上海文建中学·期中)在中，已知，，． (1)求的值及外接圆半径 (2)求中最大角的值． 71．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，，求外接圆半径； (3)若，求周长的最大值. 72．如图，四边形中，，，，且有，. (1)求的长和的大小； (2)证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积. 考点09 判定三角形形状 73．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 74．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)在中，若，判断三角形的形状______. 75．(24-25高一下·江苏如东高级中学·期中)在中，已知，则的形状为______ 76．(24-25高一下·河北承德·期末)在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 77．若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 78．(24-25高一下·广东深圳实验学校高中部·)（多选）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论中正确的是（     ） A．，，则的外接圆半径是4 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则为直角三角形 D． 79．(24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 考点10 三角形根个数问题 80．(24-25高一下·四川眉山东坡区高中学校·期末)在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 81．在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 82．(24-25高一下·江苏南京第一中学·)在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是____． 83．(24-25高一下·云南曲靖宣威第一中学·开学考)（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 84．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末)（多选）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 85．(24-25高一下·云南昆明·期中)（多选）在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 考点11 解三角形的实际应用 86．(24-25高一下·四川凉山州·期末)如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 87．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 88．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 89．(24-25高一下·四川成都·期末)如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 90．(24-25高一下·吉林实验中学·)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，便得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围； (3)若，且，求的周长． 91．(24-25高一下·河北保定·期末)某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 92．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，． (1)若，求； (2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量及其应用 目录 考点01 平面向量的基本概念 1 考点02 平面向量的线性运算 3 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 6 考点04 平面向量的数量积公式在求向量夹角上的应用 8 考点05 平面向量的数量积公式在求向量模上的应用 17 考点06 平面向量的投影向量 20 考点07 平面向量的数量积公式在平面几何上的应用 23 考点08 解三角形 30 考点09 判定三角形形状 37 考点10 三角形根个数问题 40 考点11 解三角形的实际应用 44 考点01 平面向量的基本概念 1．(24-25高一下·甘肃天水张家川回族自治县实验中学·月考)下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 2．(25-26高一上·河北唐山第一中学·)下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】A 【详解】平行向量又叫共线向量，故A正确； 单位向量方向可能不同，所以不一定相等，故B错误； 长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误. 3．(24-25高一下·广西河池·期末)下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 4．(24-25高一·安徽淮北合肥一六八中学教育集团淮北五中分校·期末)（多选）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 5．(22-23高一下·湖南邵阳·期末)下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 考点02 平面向量的线性运算 6．(24-25高一下·陕西西安临潼区华清中学等校·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 7．(25-26高一下·云南民族大学附属高级中学·期中)如图所示，中，等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图形可知：. 8．若，则_____． 【答案】 【详解】， ， 整理得：. 9．已知向量，，，，则下列向量的运算结果不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：，和是实数, 是与共线的向量, 是与共线的向量, 与不一定共线,故该等式不一定成立. 选项B：，满足向量数乘运算，恒成立. 选项C：，这是向量数量积的分配律，恒成立. 选项D：，这是向量加法的结合律,恒成立. 10．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 11．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 12．(23-24高三上·安徽淮南兴学教育咨询有限公司·月考)如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．    【答案】 【详解】设，， 则， 设，， 则， 又不共线，故，解得，则． 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 13．(24-25高一·广东江门第一中学·)已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C．4 D．1 【答案】B 【详解】因为，故即. 14．(24-25高一·陕西榆林靖边中学·月考)（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【详解】选项，若与共线，则存在，使，即， 则且，矛盾，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底； 选项，若与共线，则存在，使， 所以，无解，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底. 15．在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为点沿平移后，坐标为， 点沿平移后，坐标为； 点沿平移后坐标为， 因为三次平移后坐标为，故，解得. 16．(25-26高一·浙江嘉兴平湖当湖高级中学·)已知点，，，． (1)若，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， ，则，， 由，可得，解得. （2）因为，，则， 所以， 则， 所以当时，. 17．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量和； (2)设和的夹角为，若，且，求证：； (3)若，，求点的坐标. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） （2）， ， （3）设，由已知可得 ，即 所以点的坐标是 考点04 平面向量的数量积公式在求向量夹角上的应用 18．(24-25高一下·北京顺义区·期末)设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】为两个非零向量，，设两向量的夹角为. 充分性：，，即，解得； 不一定存在正数，使得成立，即充分性不成立. 必要性：存在正数，使得成立，； ，即必要性成立. “”是“存在正数，使得”的必要而不充分条件. 19．(24-25高一下·陕西西安阎良区·期末)已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 【答案】 【详解】由，所以，所以，即. 20．已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 【答案】B 【详解】根据与垂直，可得， 整理可得即，所以. 21．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 22．(24-25高一下·河南九师联盟·期中)已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或. 【详解】（1）由，，得， 所以. （2）由，则， 因为，所以，解得. （3）由题可得，设与垂直的向量， 则，取，得，则， 所以，与向量共线的单位向量为， 因此，与垂直的单位向量的坐标或. 23．(24-25高一下·江苏南通启东第一中学·期中)在中，，，为中点，设，. (1)当，时，若，求边的长； (2)当，时，与相交于点，设，求实数的值； (3)若，且，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当，时，，， 因为为中点，所以， 所以， ， 因为，且，， 所以 ， 即，解得，即； （2）当，时，由（1）知，， 所以， 因为，，三点共线，所以，解得； （3）因为， ， 由知： ， 化简整理得：， 因为，所以， 解得，即， 当且仅当时取等号，此时，符合题意， 所以的最大值为. 24．(23-24高一下·吉林实验中学·期中)已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】 因为向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是. 25．已知向量，，若与的夹角是钝角，则（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】因为与的夹角是钝角，所以且与不共线， 又，， 所以，解得且. 26．(24-25高一下·浙江宁波姜山中学·模拟)（多选）已知向量，则（ ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为-5 C．若，则 D．若，则与的夹角为 【答案】BC 【详解】因为向量，， 对于A中，若与垂直，可得，解得，所以A不正确； 对于B中，若，可得，解得，即， 则，所以B正确； 对于C中，若，可得，则， 所以，所以C正确； 对于D中，若，可得，则， 此时，所以D错误. 27．(24-25高一·广东江门第一中学·)（多选）下列说法中正确的有（   ） A．平面向量，可以作为基底 B．已知正边长为2，则 C．模为0的向量与任意非零向量共线 D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】AC 【详解】对A，因为不存在实数，使得，即不共线，可以作为基底，A正确； 对B，，B错； 对C，由零向量的定义知C正确； 对D，时，与的夹角是，不是锐角，D错. 28．(19-20高一下·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知向量，，，且，. (1)求与； (2)若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）向量，，，由，得，则； 由，得，解得，所以. （2）由（1）得，， 因此，， ，而，则， 所以向量，的夹角的大小为. 29．(25-26高一·广东高州中学·月考)下列四个命题中，正确的是（    ） ①若、，则. ②若，则. ③若，，且，则与的夹角为 ④已知向量，不共线，，，，则三点共线 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题①： 当时，零向量与任意向量平行，此时、，但与不一定平行，因此①错误； 命题②： 对等式两边平方： ，， 若，则，因此，即，②正确； 命题③：两边同时平方得：， 代入，得，计算得,又， 故，③错误； 命题④：， 即，又二者有公共点，故三点共线，④正确. 30．已知向量与的夹角，且，． (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由已知，得， ； （2）. 设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为． 31．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·月考)已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量；（用表示） (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知，，且，的夹角为， ， ． （2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为， ，， 投影向量为． （3）已知向量与向量的夹角为钝角， ，且与不反向共线； 则， 即，解得； 若两向量反向共线，则存在实数，使得，， 即，将代入，得到， 由，解得， 与不反向共线， ， 综上可得，实数的取值范围是． 32．(24-25高一下·内蒙古包头第一中学·期中)已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以； （2）因为，所以，即， 所以， 所以； （3）， 由题意知且向量与不同向共线， 所以， 当向量与同向共线时，， 即得， 解得（负值舍去）. 所以，且， 解得，且，即实数的取值范围为. 33．(25-26高一下·福建武夷山第二中学·月考)设，已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线. (1)求的值； (2)若，， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由已知得，又， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 考点05 平面向量的数量积公式在求向量模上的应用 34．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】解：由， 所以. 35．已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【详解】由题意可得， 可知. 36．(24-25高一下·内蒙古包头第九十三中学（北重三中）·期中)已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 【答案】 【详解】. 37．(24-25高一下·江西抚州·)已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 38．(25-26高一·贵州贵阳南湖实验中学·月考)已知． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）若，则与的夹角为0或. 所以或. （2）因为 所以. 39．(20-21高一下·广东深圳龙岗区德琳学校·月考)已知与的夹角是 (1)计算； (2)求和的夹角的余弦值． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）因为与的夹角是 所以， （2）因为， 设和的夹角为， 则. 40．(24-25高一下·重庆凤鸣山中学教育集团·月考)已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1)44 (2) 【详解】（1）因为，，所以， 所以. （2）因为，，所以， 所以. 考点06 平面向量的投影向量 41．(24-25高一下·安徽淮北濉溪县孙疃中学·调研)已知向量，则在上的投影向量为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量， 所以在方向上的投影向量是. 42．(24-25高一·广东江门第一中学·)已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 【答案】 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 43．(25-26高一下·江苏南通海安高级中学·期中)若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 解得：，所以， 所以在上的投影向量为. 44．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 45．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)已知向量，，. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，， 因为向量与共线，根据向量共线的坐标表示可得， 解得. （2）解：设向量与的夹角为， 由（1）知， 因为，， 所以，又，，因此， 解得， 当时，，此时夹角为，不合题意， 因此，当向量与的夹角为锐角时，实数的取值范围为. 46．已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【详解】由平面向量，的夹角为，且，， 所以在上的投影向量为. 47．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 48．已知向量，，. (1)若，求的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，又因为，， 所以，解得，所以， 又因为，所以， 所以. （2）因为，且，，所以， 所以，所以， 所以向量在向量上的投影向量. 49．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中皖北·期中)已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）； （2）因为， 所以； （3）在方向上的投影向量为. 考点07 平面向量的数量积公式在平面几何上的应用 50．(21-22高一下·吉林东北师范大学附属中学·)已知菱形 ABCD边长为， 则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】菱形边长为， 所以是等边三角形，所以 与的夹角为， 所以. 51．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，，，且，则______ 【答案】 【详解】依题意有， ， 因为，所以， 整理得，由即可得， 又，所以， 所以. 52．已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量，所以向量所在直线与的平分线重合，又，即与垂直，由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则⊥，又，其中， 所以，，故， 以为坐标原点，建立直角坐标系，， 设，， 当时 的最小值为，故的最小值为. 53．在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】 如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：不妨设 则∴， ∴的最小值为，当且仅当时取得. 54．如图，正方形中，，是的中点，、分别是线段、上的点，若，则的最小值为_____. 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 故，设，，， 其中，故， 所以，，故， ，，， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 55．(24-25高一·广东江门第一中学·)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为________. 【答案】 【详解】以点为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 因为正八边形内角和为，所以， 因为正八边形的边长为2， 所以，到的距离为， 所以，，，， 设，则，则，，则， 所以，当点在线段上时，取最小值. 56．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则，所以. 设，则．所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 57．（多选）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点，是外接圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B． C． D．当取最大值时，、、三点共线 【答案】ABC 【详解】对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确； 对于B，由题意知，所以 ，故B正确； 对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以， 所以，故C正确； 对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点， 即过点O的水平线与圆在右侧的交点，此时在上的投影向量的模最大， 显然不满足、、三点共线，故D错误. 58．(25-26高一·广东高州中学·月考)（多选）如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为2 D．若，则当B，O，P三点共线时， 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设， 所以， 当时，的最小值为2，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确. 59．(24-25高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期末)已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，，、为线段、上的点，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 即， 即， 即， 所以， 当时，，解得； （2）由（1）可得， 因为，， 所以，即，所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 考点08 解三角形 60．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)在中，内角所对的边分别为，，已知，，，则角等于______． 【答案】/ 【详解】因为中，由正弦定理可知：； 因为，，，代入可得：； 解得：；因为，故； 故． 61．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理， 可得. 62．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 【答案】A 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 63．(24-25高一下·新疆克拉玛依独山子第二中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 【答案】A 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 64．(24-25高一·广东江门第一中学·)在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则内角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由射影定理得，而 则，解得，而，因此， 由余弦定理，得， 则，而为三角形内角，所以. 65．(25-26高一·上海文建中学·期中)已知分别为 三个内角的对边，且满足，则角 的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得 ， ， ，即 ， ，， ，， ． 66．已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】因为的面积是，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，解得， 因为，所以， 又是的内角平分线， 所以， 所以，所以，所以. 67．(25-26高一下·山东桓台第一中学·)（多选）在中，内角所对的边分别为且，，，则（   ） A． B．的面积为 C．外接圆的半径为 D．为钝角三角形 【答案】BCD 【详解】选项A：由余弦定理可得：，故 A错误； 选项B：由，可得， 所以三角形的面积为： ，故B正确； 选项C：由正弦定理可得：，故C正确； 选项D：因为，，所以为钝角，是钝角三角形，故 D正确. 68．（多选）记的内角，，的对边分别为，，，为内的一点，下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若为所在平面内任意一点，，则点为三角形的重心 C．若，则为锐角三角形 D．若，，且为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，因，，由及正弦定理可得， 故得．又因为“三角形中大边对大角”，所以，故A正确； 对于B，， 取BC中点为D，则，则P点为BC边中线上更靠近BC边中点D的三等分点，由重心性质可得P为的重心，故B正确； 对于C，当，时，满足，但为钝角三角形，故C错误； 对于D，因为为锐角三角形，且， 则，解得．所以． 由正弦定理，得，所以，D正确. 69．(24-25高三下·青海海东部分学校·)设分别为三个内角的对边，且 (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 根据余弦定理可得，即， 所以代入可得， 化简可得， 由正弦定理可得， 因为是的内角，所以，即， 因为，所以. （2）因为，，， 由余弦定理可得， 代入可得，化简可得，即， 因为，所以， 因此. 70．(25-26高一·上海文建中学·期中)在中，已知，，． (1)求的值及外接圆半径 (2)求中最大角的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）根据余弦定理得， 解得，由正弦定理得， 即． （2）的最大边为，对应的角为最大角， 由余弦定理得， 又，因此． 71．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，，求外接圆半径； (3)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由得，整理得， 因为，故，于是得到，故. （2）因为，，由余弦定理可得，故， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得，则， 故外接圆的半径为. （3）因为，由余弦定理和基本不等式可得 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的周长为，即周长的最大值为. 72．如图，四边形中，，，，且有，. (1)求的长和的大小； (2)证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积. 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析，面积为 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以， 由余弦定理得，而为三角形内角， 故. （2），故， ，，， 故，， 故，所以， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 故，又，所以四边形是等腰梯形， ， ， 所以四边形的面积为 考点09 判定三角形形状 73．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 74．(25-26高一·福建龙岩学院附属中学·期中)在中，若，判断三角形的形状______. 【答案】等腰三角形 【详解】因为，所以， 由余弦定理得，所以，化简得， 所以是等腰三角形. 75．(24-25高一下·江苏如东高级中学·期中)在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 76．(24-25高一下·河北承德·期末)在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 77．若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 78．(24-25高一下·广东深圳实验学校高中部·)（多选）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论中正确的是（     ） A．，，则的外接圆半径是4 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则为直角三角形 D． 【答案】BD 【详解】对于A，设的外接圆半径是R，因为，， 所以由正弦定理得：，解得，故A错误； 对于B，因为，所以由余弦定理得：， 所以C为钝角，所以一定是钝角三角形，故B正确； 对于C，由，由正弦定理得，所以， 因为A，，所以或，故C错误； 对于D，若为锐角三角形或直角三角形，有； 若为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，， 所以，故D正确． 故选：BD. 79．(24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形 【详解】（1）由，可得， 即，即，因为，所以； （2）因为AD是△ABC的角平分线，且，，设， 因为，可得， 即，解得，即． （3）法一：（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或 当时，可得，此时，可得△ABC为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，△ABC为直角三角形． 法二：由，则， 所以， ， 又因为，所以，，综上，△ABC为直角三角形． 考点10 三角形根个数问题 80．(24-25高一下·四川眉山东坡区高中学校·期末)在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 81．在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 【答案】(1)(答案不唯一，满足即可) (2)(答案不唯一，满足即可) (3)(答案不唯一，满足即可) 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得. （1）当时，，即，此时由唯一的解； 当时，可得，此时有唯一的解， 所以时，由唯一的解. （2）由（1）知， 当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角， 即角有两解，即当时，此时有两解. （3）由（1）知， 当时，此时，此时无解，即当时，此时无解. 82．(24-25高一下·江苏南京第一中学·)在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是____． 【答案】 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 83．(24-25高一下·云南曲靖宣威第一中学·开学考)（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 84．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末)（多选）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】AC 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 对于C，因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 85．(24-25高一下·云南昆明·期中)（多选）在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AD 【详解】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径）， 得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确， 对于选项B，如图，，，过作于， 则，所以在射线上不存在， 使，，，即无解，所以B错误， 对于选项C，因为，由余弦定理得， 又，所以，故是钝角三角形，所以C错误， 对于选项D，因为，则，且， 所以，则， 所以，得到，即， 由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确， 故选：AD. 考点11 解三角形的实际应用 86．(24-25高一下·四川凉山州·期末)如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴m. 故答案为：. 87．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 88．(24-25高一·江苏新海高级中学·期中)海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】(1) (2)；能，理由见解析. 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为60海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在小时内赶到救援. 89．(24-25高一下·四川成都·期末)如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 90．(24-25高一下·吉林实验中学·)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，便得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围； (3)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以，即， 又， 所以， 由，得， 所以，则. （2）由正弦定理得， 所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则 则周长的取值范围是. （3）因为是的“费马点”，所以， 又， 则， 所以， 则， 即， 则，解得， 由余弦定理得，解得， 所以的周长. 91．(24-25高一下·河北保定·期末)某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时人工湖的面积最小，最小值为 【详解】（1）因为∠CAB=90°，AC=200m，， 所以BC=400m，， 所以，， 所以AN=200m， 则为等腰三角形，， 所以，则， 得，，则MN=100m， 所以护栏的长度为． （2）设计使得时人工湖面积最小．（或设计，或都可） 法1：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即， 解得， 所以人工湖的面积 ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 法2：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即 解得， ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 92．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，． (1)若，求； (2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)验证见解析，1 (3)14 【详解】（1）由，．， 在中，由余弦定理得, 所以. 又，所以是等边三角形， 所以； （2）在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得， ∴ 所以为定值； （3）， 则， 由（2）知：，∴ 代入上式得：， 配方得：， ∵ 又, 所以当时，取到最大值14． 1 学科网（北京）股份有限公司 $