重难点04 玩转解三角形中周长与面积最值与范围问题（期末真题汇编）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形周长与面积最值范围问题，汇编多地区期末真题，覆盖4大高频考点，突出综合应用与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约20题|正余弦定理、面积公式、三角恒等变换|多问设计（如第1题三问递进），结合锐角三角形条件限制| |填空/选择|约18题|长度比值、中线/角平分线计算|跨考点综合（如周长与面积结合），实际情境应用（如景区四边形设计）|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点04玩转解三角形中周长与面积最值与范围问题 ☆4大高频考点概览 考点01解三角形长度及长度比值取值范围问题 考点02解三角形周长最值与定值问题 考点03解三角形面积最值与定值问题 考点04解三角形面积取值范围问题 目目 考点01 解三角形长度及长度比值取值范围问题 1.(24-25高一下山西吕梁期末)在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,且 bcosC+ccos B =2acos A (1)求角A的大小： (2)若b=2.S4c=35 ,求a (③)若△A C为数角三角形，a=5,果+C的取值能用 ,求 2.(24-25高一下·安徽合肥第六中学期末)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 √3(tanA+tanB) 2c2 a2+c2-b,a=2 ,则V36-c的取值范围是 CosA 1+sinA 3.(24-25高一下·辽宁朝阳凌源期末)记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB=cosB· (0若C=2红 =3,求B的大小： (2)若△ABC的外接圆半径为2，试确定B,C的关系式，并求3c-a的最大值. 4.(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考期末)已知锐角三角形边长分别为4,3，x,则x的取值范围是 () A.(7) B.(1,5) c.(N7,7) D.(7, 1/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高一下江西宜春某校期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2, sinA+sinB b-c sinC b-a,则△4BC内切圆半径r的取值范围为 6.(24-25高一下新疆哈密部分学校期末)（多选）在△ABC中，内角A,B,C,的对边分别是a,b,c, b=4,且acosC+ccosA=2 bcosB,则下列结论正确的是() A.B=π 3 B.△4BC外接圆的面积为16元 C.△ABC 4V3 的面积的最大值为 D.a+C的最大值是8 7.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, 6,c, (b+c)cos A=a(cosB-cosC) (1)求证：A=2B: (2)若△ABC为锐角三角形，D为AB中点，C=2 (i)求sinB的取值范围； (ii)求CD的取值范围. sin A-sin B c-b 8.(24-25高一下广西南宁期末)已知AMBC的内角A,B,C的对边为a,b,C,且sinC a+b (1)求角A: (2)若4AB 的面积为45 ①已知E为BC的中点，且b+C=10,求△ABC中线AE的长： ②求内角A的角平分线AD长的最大值， 9.(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟期末)已知△ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C的对边，且满足 sin2A-sin2 B-sin Bsin C=sin2C. (1)求角A: (2)设点D为边BC中点，且AD=2,求b+C最大值； 10,2425商一下甘对白银多校期末如图，在AABC中，∠B4C= 3,点E,F分别在边AB,AC上， 线段AE和AF的长均不超过9，点P在线段EF上，且AP平分∠EAF,AP=3,则EF长度的取值范围是 2/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 点02 解三角形周长最值与定值问题 11.(2425高一下辽宁丹东·期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2, (（2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC周长的取值范围是 12.(2425高-下辽宁鞍山期末)已知a=((sinx,cos@x).b=(COS@x,.V5 cos@x) 0>0,函数 f()=a-6 2的最小正周期为π. (1)求函数 f(x) 的单调递减区间： A-5 (2)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且满足 22,a=2,求△ABC周长 的取值范围 13.(2425高一下·江苏无锡江阴某校月考)锐角△4BC的三个内角角A,B,C所对的边分别为0，b,C, 满是(6iB+snC-sin'A)am4=V5 BsinBsinC (1)求角A的大小及角B的取值范围： (2)若a=2,求△ABC的周长的取值范围： (3)若A4BC的外接圆的圆心为O,且O丽.0C=-) 2,求AO(AB+AC)的取值范围. 14.(24-25高一下广东广州天河区期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且a=7,b=8. (I)若C为钝角，求△ABC周长的取值范围； 35 sinC= (2)若C为锐角，且 14,求cosB. 15.(2425高一下湖北襄阳期末)如图，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,直线I与 3/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC的边AB,AC分别相交于点D,E,其中△ADE为锐角三角形，AD=2,设∠ADE=O,满足 acos(B-0)+bcos(0)- 2.则△ADE的周长的取值范围为一· 16.(2425高一下·重庆主城区七校联考期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a=3,sin2A-sin2B-sin2C=sin BsinC, (I)求角A的大小： (2)求△ABC周长的最大值： (3)若BC中点为D,求AD的最小值： 17.24-25高一下上海财经大学附属北郊高级中学期末)已知向量m=(s,3sin小i=(osos),设西 数f()=+m元 Q)求函数/四的最小正周期： @四gf侣+到-号，且g<a<元，求na的， 6)在锐角AABC中，角人B.C的对边分别为a.6c,且a=6,(-1,求+c+c的取值范围. 18.(2425高一下·安徽六安期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,己知C=2,且 sin B-sinC b-a sin A b+c (1)求C: (2)若G为△1BC 内一点 G1+G丽+2GC=0,求6C长度的最大值： (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围， 19.(2425高一下·浙江宁波九校期末)已知钝角△ABC中，AB=4. 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)若∠BAC= F4:BC=VI0,求cos∠ABC: (2)若∠ACB= 3,求△ABC的周长的取值范围， 20.(2425高一下湖北武汉部分重点中学期末)在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (2c-a)cos B=bcos A (1)求角B的大小： (2)若△ABC 的面积 8W5且b=6,求△1BC 且 的周长 后点03 解三角形面积最值与定值问题 21.(2425高一下吉林、黑龙江六校联考期末)如图四边形ABCD中，BC=2CD=8,AB=AD=6 D ()若△ABC 的面积 85,且P为能角，求4C的长度 (2)试问2cosB-cosD是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由， (3)求四边形ABCD面积的最大值， 22.(24-25高一下湖北荆门期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且2 ccosB=2a+b. (1)求角C的大小： S-V5 (2)若△ABC的面积°2，求△ABC面积的最小值. 23.(2425高一下·河南郑州期末)数学必修二55页介绍了海伦~秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家 秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了己知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全 等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之， 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成 +a2-b3 公式， 即S 4 其中a,b,c分别为 内角A,B,C的对边.若 △ABC 1 √3 sin B tan B tanC,b=2W2,则△ABC面积的最大值为()· A.3 B.25 C3 D V2 24.(2425高一下江西赣州期末)如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=2,BC⊥CD,∠ABC=0, 120°≤0<180°. D (1)若日=120°，AD=6,求∠ADC的大小： ②若2D-sm号54C,求四说形/8CD面积的最大位 25.(24-25高一下山东临沂)已知AABC是锐角三角形，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 (c-2b)sinC=asin A-bsin B (1)求A: (2)若C=4,求△ABC面积的取值范围 26.(24-25高一下福建泉州期末)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc, (1)求A; (2)若C=4,求△ABC的面积的取值范围： 6/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，若D为ABC外一点，且∠4BD=∠ACB=吾BD1CD,AD=5,求a 1 27.(2425高一下山东济南期未)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知c=bcos4+ (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形. (i)求角A的取值范围； (ⅱ)设a=6,求△ABC面积的取值范围， 28.(2425高一下·河北邯郸期末)为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100n的圆形空地内建造一 个内接四边形区域作为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABCD区域中，将△ACD区域设计成花卉观 赏区，△ABC区域设计成漫时光DIY区，边AB,BC,CD,DA修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中 BC=100m,AC=100√3m B (I)求漫时光DIY区（即△ABC)面积的最小值： (2)为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形ABCD？请给出设计方案 29.(24-25高一下·四川达州普通高中期末)如图，在四边形ABCD中，AB=3,AD=4,BD=2BC, cos∠BCD=- 4 B (I)当A、B、C、D四点共圆时，求BD; (2)求四边形ABCD面积的最大值： (3)求AC的最大值. 7/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.(2425高一下广东惠州期末)（多选）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列命题正 确的是（) A.若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为V3 B.若A=60°，a=1,则△ABC面积的最大值为V5 ,AeRr)） C.若a=25,b=4,要使满足条件的三角形有且只有两个，则A6'3 3-2W2 D.若a+b=c(CosA+cosB),且c=l,则该三角形内切圆面积的最大值为4 点04 解三角形面积取值范围问题 31.(24-25高一下·江西景德镇一中·期末)锐角△ABC中，内角A,B,C的边分别对应a,b,C,已知 ac sinB 二十一三 c a sinAsinc (1)求B; 2活5=5，求5世的取值范用 ，求 32.(24-25高一下江苏南京六校联合体期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 acosC+3asinC=b+c (1)求A: (2)若△ABC为锐角三角形，且b=2,求△ABC面积的取值范围， 3汉.Q425有-上智建宁密期未物图，在形OP0中，半径OP-2·圆心角2P00-子A是周形颈上 的动点，B是半径O上的动点，ABIIOP.则△OAB面积的最大值为() 8/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ○ B 3 5 A.2V2-2 B.√2-1 C.3 D.6 34.(24-25高一下辽宁营口第二高级中学期末)如图，设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C, V3(acosC+-ccos40=2 bsin B,且∠CAB=F 3若点D是△4BC外一点，CD=1,AD=3,则当角D等于多 少度时，四边形ABCD的面积有最大值，并求出最大值， C 35.(2425高一下四川广安期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若aC=8, asin B+csin2A=0,则△ABC面积的最大值为 36.(2425高一下四川成都树德中学期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知 △ABC的外接圆半径R=√2，且 tan B+tanC=V2sin4 cosC. (I)求B和b的值： (2)求△ABC面积的最大值. 37.(2425高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,asin A+C=bsin A, 2 c=2 (1)求角B: (2)求△ABC面积的取值范围. 38.(2425高一下·重庆第八中学校期末)在① 6m4-sinC)=(a-bsim4+smB）,②2hcos4+a=2c， 9/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 -acsin B=a2+c2-b2 ③3 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. (1)求角B的大小： (2)求sinA+sinC取值范围： (3)如图所示，当sinA+sinC取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线 段DC=2,DA=1,求△BCD面积的最大值. 10/10命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点04玩转解三角形中周长与面积最值与范围问题 ☆4大高频考点概览 考点01解三角形长度及长度比值取值范围问题 考点02解三角形周长最值与定值问题 考点03解三角形面积最值与定值问题 考点04解三角形面积取值范围问题 目目 考点01 解三角形长度及长度比值取值范围问题 1.(24-25高一下山西吕梁期末)在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,且 bcosC+ccosB=2acos A (1)求角A的大小； (②)若b=2，S.4Bc=3V5,求a: (3)若△ABC为锐角三角形，a=√5，求b+c的取值范围 【答案】四4=5②a=2万g)b+ce(3,25] 【分析】(1)结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； (2)通过三角形的面积公式求出边长C,再利用余弦定理求解即可； (3)通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角B的函数，再 结合锐角三角形，确定角B的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可 【详解】(1)因为bcosC+ccosB=2 a cosA, 由正弦定理得sin B cosC+sin C cos B=2 sin A cos A,即sinB+C=2 sin A cos A, 因为在aABC中，sin(B+C)=sinA>0,所以cosA= 2 又0<A<元，所以A= 3 （2)因为4=子b=2,5c=35,所以cn4=35,解得e=6 由余弦定理得a=Vb2+c2-2 bccos A= 1 4+36-2×2×6×=2√7 2 (3)因为A=,a=5, b c=3 结合正弦定理，得sin B sinC sin =2,所以b=2sinB,c=2sinC 3 1/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinB+3J 所以b+c=2sinB+2simC=2sinB+2sinB+3) sin+2sin Bcos2cos Bsi =3sin B+3 cos B=2v3 sin B+ 6 0<B< 因为△ABC为锐角三角形，所以 ,所以<B< 0<C= 2π 6 2 3 -B< 2 则B+ 7 63 所以sin 8+621 所以b+c∈(3,25 2.(24-25高一下.安徽合肥第六中学期末)在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 2c2 5an4+an到。+-，a=2,则V56-c的取值范围是 【答案】2,2V5 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A,再利用正弦定理边化 角和三角函数性质可求答案 【详解】：tan(A+B)=anA+tanB tanA+tanB 1-tanAtanB ，.-tanC= 1-tanAtanB tan 4+tan B=tanC(tan 4tan B-1)=sinC.sin Asin B1 cosC（cos Acos B =sinC.sinAsinB-cosAcosB-sin Ccos(+B)sinCcosC sinC cosC cosAcosB cosAcosBcosC cosAcosBcosC cosAcosB 由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB得，a2+c2-b2=2 accosB, 2c2 2c2 =c sinC a2+c2-b2 2accosB acosB sinAcosB “由V5(tanA+tanB)= a2+c-得，v5sinC。 2c2 sinC 1 cosAcosB sinAcosB cosA sinA :ten4=y3,A∈02,4 3 6 b c -=4 又由正弦定理得sinB sinC sinA1,.b=4sinB,c=4sinC, 2 -e=4n8-nc)=[n8-m48]-4n8-m8+8别 2/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 Vsin-sin-co -sinB-cosB =4sinB 2 2 6， C= 5-B :△ABC是锐角三角形，A=亚， 6 6 0<B<π 元<B<2 V3b-c∈2,2V3 故答案为：2,23 3.24-25高一下辽宁朝阳凌源期末)记ABC的内角4，B,C的对边分别为a,c,已知0s4-1+sin4 sinB cosB ()若C= 3, 求B的大小： (2)若ABC的外接圆半径为2，试确定B,C的关系式，并求3c-a的最大值. 【答案】8-名 @C-子8，最大值为号 【分析】(1)根据余弦的和角公式可得-cosC=sinB,即可代入求解， (2)根据诱导公式可得C-灭=B,即可利用正弦定理边角互化，结合二倍角公式以及二次函数的性质即可 2 求解最值 【详解】(D由os4-1+sin4可得cos4cosB-sinsind=sing, sinB cosB 即cosA+B)=sinB,进而得到-cosC=sinB, 当C=2π可得sinB=-cos 2π1 32 故8=名 (2)由-cosC=sinB可知C为钝角，进而B为锐角， =sinB,因此C-交=B, 元-3m-2C, 则A=x-C-B=-C-(C-2F2 由正孩定理女-a=43nC-s血=43nC-m(经-2c】 3/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 =4(3sin C+cos 2C)=4(3sin C+1-2sin2C) 2sinc3sncsinc 故当sinC=2时，此时3c-a取最大值 7 4.(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考·期末)己知锐角三角形边长分别为4,3，x,则x的取值范围是() A.(7 B.(1,5) c.(7,7 D.（万，5) 【答案】D 【分析】根据已知，利用三角形三边关系及余弦边角关系列不等式求边长的范围. 【详解】由三角形三边关系有1<x<7,又三角形为锐角三角形， 若x<4,则x2+9>16,可得x>√万，即√万<x<4, 若x≥4，则32+42>x2,可得x<5,即4≤x<5, 综上，√7<x<5 故选：D 5.(24-25高一下·江西宜春某校·期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2, sinA+sinB_b-C.则ABC内切圆半径r的取值范围为 sinC b-a √5 【答案】 0, 3 【分析】由正弦定理有b= 4 4 sinB,c=- sinc,根据余弦定理有c=b+c°-4，结合cos4及 /3 3 3 SBc=besin4a+b+cr,应用三角恒等变换有r=sinB+买5 2 2 mB+石》号，由三角形内角性质、正弦 函数性质求范围即可 【详解】因为m1+m8_办=，由正弦边角关系得9+b-办￡，即分+C2-。-c, sinc b-a c b-a 由余弦定理，得os4-b+c2-a-c=,又Ae(0,,所以A= 2bc2bc 2 3 b 4 由正弦定理得sin8 sinc sin4sin元V万，所以h=、 会sinB,c= 4 √3 3 sinc, 4/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 由余弦定理，得4=+c2-2bcos-=(b+c2-3c,所以bc-b+c-4 3 3 利用等面积法可得Sc=)besind=a+b+cr, 2 2 =bcsinA 3(b+c)-4 3 2(b+c-2) a+b+c 6 2+b+c 6 65 3 a8B≠4骨故80引昏}则8+爱e低引经}】 所以8+e2政r5 故答案为： V3 6.(24-25高一下·新疆哈密部分学校期末)（多选）在ABC中，内角A,B,C,的对边分别是a,b,c, b=4,且acosC+ccosA=2 bcosB,则下列结论正确的是() A.B= B.ABC外接圆的面积为16π 3 C.ABC的面积的最大值为43 D.a+c的最大值是8 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理，结合三角形内角和公式，可求角B,判断A的真假；利用正弦定理，求三角形外 接圆半径，可判断B的真假；利用三角形的面积公式，结合基本不等式可判断C的真假；利用余弦定理， 结合基本不等式，可判断D的真假 【详解】对A:由acosC+ccosA=2 bcosB,利用正弦定理，可得： sin A.cosC sin C.cosA 2 sin B.cosB =sin(A+C)=2sin B.cosB =sin B =2sin B.cosB. 因为Be0,,所以nB幸0，所以cosB=号→B-子故A正确： 2 b=48 对B:设4BC外接圆半径为R,则sin B sin.πV3→R=4V3 3 3 5/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以ABC外接圆面积为：πR=16元 π，故B错误； 3 对C:由余弦定理：b2=a2+c2-2 accos B→a2+c2-ac=16→16+ac=a2+c2≥2ac,所以ac≤16，当 a=b=4时取等号。 纱cnB≤6x46政C正随 对D:因为a2+c2-c=16,所以(a+c2-3ac=16且acsa+c, 4 所以3ac=a+e-16sa+qf=a+d≤64+es8放D正魔 故选：ACD 7.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期末)己知ABC的内角A,B,C所对的边分别为α，b, c,(b+c)cos A=a(cos B-cosC) (1)求证：A=2B; (2)若ABC为锐角三角形，D为AB中点，c=2. (i)求sinB的取值范围； (ii)求CD的取值范围 【答案】(1)证明过程见解析 (2)(i) 12 22 (i)(（1,5) 【分析】(1)由正弦定理、三角恒等变换即可得证； (2》(①由三角形48C是锐角三角形求得B的范国可得snB的范围：(D首先得CD2=a2+6)-1, 其次根据正弦定理将a,b表示成B的函数，结合B的范围即可得解 【详解】(1)因为(b+c)cosA=a(cosB-cosC）,所以sin Acos B-cos Asin B=sinC cosA+cosC sin A, 所以sinA-B)=sinA+C）=sinB, 而A,Be(0,π→A-Be(-元，π)，sin(A-B)=sinB>0, 从而A-B∈(0，π， 所以A-B=B或A-B+B=A=π（舍去）， 所以A=2B; (2)(i)因为ABC为锐角三角形， 6/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 0<A=2B<号 所以0<B< ,解得<B<正 6 4 0<C=-4-B=x-30<8 所以sinB的取值范围为 12 22 (ii)由已知a2=CD2+1-2 CD.cos.∠BDC,b2=CD+1-2CD.cos∠ADC, 而cos∠BDC+cos∠ADC=0, 从而cD2=a2+b2)-1, 2 2 2 由正弦定理有sin2 sin sin(π-3Bsin3B' 2sin 2B 2sin2B 2sin2B 所以a= sin3B sin 2Bcos B+cos 2Bsin B 2sin B(1-sin2B)+(1-2sin2B)sin B 4sin Bcos B 4cos B 3sin B-4sin3B 3-4sin2B b=2sinB 2sin B 2 sin3B 3sin B-4sin3B 3-4sin2 B 所以a2+b2=16cos2B+4 45-4sin2B】 (3-4sin2B)月 (3-4sin2B, 设1=5-4sin2Be(3,4), 所以4sim2B=5-1,所以02+b2=4,/, 4t 4 z-222=4t+41444 由对勾函数性质可知，ud)=t+4在(3,4上递增， 所以+手-4e月 所以a2+b2e(4,12),所以CD的取值范围是1，V5 8.2425高一下广西南宁期末)已知ABC的内角4，B,C的对边为a,b,c,且sinA-sinB=C-b sinC a+b (1)求角A: (2)若ABC的面积为4√3 ①己知E为BC的中点，且b+c=10,求ABC中线AE的长； 7144 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】04=写 (2)①AE=√21，②2V3 【分析】(1)由正弦定理和余弦定理得到cosA= 2,求出A=交 (2)①由三角形面积求出6c=16,从而得到b=8,c=2或b=2,c=8,根据中线得到正-6+AC, 两边平方，结合向量数量积运算法则求出AE=21:②根据S4+S.0c=Sc求出AD-165 ,由基本 b+c 不等式求出AD长的最大值 【详解】(1)由正弦定理得0-b=C-b,即a2=6+c2-bc c a+b 由余弦定理得c0M=2 因为0<A<,所以A=3 2)0asin4=4w5,bc=16 且b+c=10,解得b=8,c=2或b=2,c=8 由于征=B+AC), 所以E=4(0+2丽-4c+4C）e2+2os60+)=21. AE=√21； ②由S。ADB+SADc=S,HBC, 得)ADcsin30°+)4 ADbsin30=besin60 2 2 解得AD=V3bc-16V5 b+c b+c 由于b+c≥2bc=8,当且仅当b=c=4时，取等号， 故AD≤2√5，当且仅当b=c=4时，取等号，即AD的最大值为2V5 9.(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)己知ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且满足 sin'A-sin2 B-sin B sin C sin'C. I)求角A; (2)设点D为边BC中点，且AD=2,求b+c最大值； 8/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()4= 3 (2)8 【分析】(1)利用正弦定理角化边和余弦定理可得cosA,进而得到A; (2)根据D=AB+AC,结合基本不等式可求得最大值 4 【详解】(1)由正弦定理得：a2-b2-bc=c2,即b2+c2-a2=-bc, .cos4=e(.) 2 (2):D为边BC中点，D=A6+AC), .+2becos+e-3be]-4. =+-16s6-6+a :b+c≤8（当且仅当b=c时取等号），：b+c最大值为8 10.Q425高-下甘肃白银多校期末如图，在48C巾，∠84C-至，点E,F分别在边4B,4C上， 线段AE和AF的长均不超过9，点P在线段EF上，且AP平分∠EAF，AP=3,则EF长度的取值范围是 【答案】 6v5,97 92 【分析】由S4e=S+Sp可得mm=3m+n,从而化简可得到mm=3n-3列+27，+18，令 n-3 t=n-3∈ 利用对勾函数的性质即可求解 【详解】设AE=m,AF=n,EF=x,由题意可得∠EAP=∠FAP=60°，且AP=3, 3 3 因为S.4e=S.4an+S.am,所以2 sin20=2msin60+之msin60, 0<n≤9， 可得mn=3引m+m,m=3加因为0<m≤9,0<n≤9，所以 ≤n≤9， n-3 0<3n≤9 解得 n-3 所以mm=3m,-3n-27+27=3n+9+27,=3n-3)+272+18 n-3n-3 n-3 n-3 9/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 令t=n-3∈ 因为函数y=3+27+18≥2,31×27+18=36，当且仅当1=3时取等号， 27 所以由对勾函数性质可得y=3+22+18在 上单调递减，在(3,6)上单调递增， 所以当[时，y=+41836引，则36 817 81 由余弦定理可得x2=m2+n2-2mnc0s120°=m2+n2+mn 2 即EF长度的取值范围是 5y 故答案为： 目目 考点02 解三角形周长最值与定值问题 11.(24-25高一下·辽宁丹东期末)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2, (2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC周长的取值范围是 【答案】(4,6] 【分析由正西弦定理边角五化结合余弦定理可待A,则a+h+Q2土5snB+snC,然后由和差化想 公式结合三角函数性质可得答案 【详解】因为a=2,所以(a+b)(sinA-sinB=(c-b)sinC, 由正弦定理得a2-b2=c2-bc→bc=b2+c2-a2, 则由余弦定理得c0s1b+2c众-又AG0,,所以A罕一 则a+6+e=2+4sm8+ac)-2+如8-snq 因8+c-否，则c--8,8e02a 3 (0,3由和差化积公式得： 3 因}则8-骨司5引wa-哥引别 从而sinB+sinC∈ 则a+b+c∈4,6] 10/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：（4,6 12.(24-25高-下辽宁鞍山期末)已知a=(sin0x,cos@x)，,方=COS,V5 cos@x),w>0,函数 x=石-5的最小正周期为n (1)求函数f(x的单调递减区间； (②)在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、C,且满足」 的取值范围 【答案】a+ 7π 12 ,k∈Z (2)2+2V5,6 【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简得出f(x)=sin2ox+ 3 ,利用正弦 型函数的周期公式可求出@的值，然后利用正弦型函数的单调性可求得函数∫(x)的减区间； (2)由 3 结合角A的取值范围可得出角A的值，由ABC为锐角三角形求出角B的取值范围，利 用正弦定理结合三角恒等变换化简得出b+c=4sinB+ 再利用正弦型函数的基本性质可求得ABC周 6 长的取值范围 【详解】(1)因为a=(sin@x,coS@x),b=cos0x,V3cos0x,o>0, a.b=(sinox,cosox).(cosox,v3cosox) sinxco+cosin2x+co2)sin2x 2 2 cos2ox+V3 2 =sin2ox+）+V5 3 2 故f刘=a6-5 因为f到的最小正周期为几，所以T=须=，所以a=1,故f到=m2x+) 20 2m+≤2x+32km+折，KEZ,解得km+元飞x≤伍+，KEZ 2 3 12 12 11/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以（纠的单调递减区间为红+行红 7 12 kez. ②由知引=m4-9 36 33,得4 <A+<5，所以A+=2π 3 0<B< 2 0<B<π 又ABC为锐角三角形，所以 ，即 ,解得工<B< 0<π-A-B< 2-B< 2 2 0< 3 2 由正弦定理Q=b sin 4 sin Bsin。可得b+c=】 2 (sin B+sin C) sin A 2 2 sin B+sin (2i-B 3 sin B+3 ( 2-cos B+Isin B=23sin B+2cosB sin A =4sinB+刀 6 又8草所u写8+所u当 6 3 2 所以b+c∈2V3,4,故2+2V5<a+b+c≤6， 所以ABC周长的取值范围为2+2√3,6 13.(24-25高一下·江苏无锡江阴某校·月考)锐角△ABC的三个内角角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 满足sinB+sin2C-sin2 4tand=√3 sinBsinC. (I)求角A的大小及角B的取值范围； (2)若a=2,求△ABC的周长的取值范围； (6)若△BC的外接圆的圆心为0，且0B.0C=-,求0-（西+4C)的取值范国。 【答案】0)A=行：B∈区 (6'2月 2(25+2,6]； 【分析】(1)利用正弦定理、余弦定理化简己知条件，求得A,再根据锐角三角形的知识列不等式，由此 求得B的取值范围 π (2)应用正弦定理结合三角恒等变换化简得出b+c=4sinB+ 结合角的范围求出值域即可得出周长范 6 12/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 围； (3)根据正弦定理求得外接圆的半径，设∠AOC=0,将AO.(AB+AC)表示为O的形式，结合三角函数值 域的知识求得AO·(AB+AC)的取值范围 【详解】(1)锐角△ABC的三个内角角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 因为sinB+sin2C-sin2 4 tand=√3 sinBsinC, 由正弦定理可得（b2+c2-a2）tanA=V3bc, 所以b2+c2-a2 2bc 2tanA 故csa4=n=5。因为A为锐角，所以4-号， 2 0<B<π 因为ABC为锐角三角形，则 <A+B<π 2 解得<B<号，所以，角B的取值范围是（怎》 6 62 2 b (2)因为a=2,由正弦定理得V5 sinB sinC, 2 所以b+c=4 sinB+4 4 4 3 4 sinB+cosB 2 因为B∈T元） 62 所以2V3<4sin s4,所以25+2<a+b+c≤6， B 6 所以周长的取值范围为(2V5+2,6 (3)设ABC的外接圆半径为R,所以OA=OB=OC=R, OB.oc=R×R×cos2A=),所以04-o-|0C=R=1 13/44 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设∠40C=9,则0=28e(（g,则∠408=经-0， A4B+AC)=0A.(0B-04+0C-04)=04.0B+04.0C-204 =1×1×c0sLA0B+1x1×c0sLA0C-2=c0sLA0B+cosZA0C-2=cos cos0-3 n0-2=cos0+}-2 因为0行小所以0+）所以-1som0+引-号所以-35c0+ -2<- (3 所以40（西+C-0(西+C):[小，所以0(a丽+0的取能范为(] B 14.(24-25高一下广东广州天河区·期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=7,b=8. (I)若C为钝角，求ABC周长的取值范围； ②若C为锐角，且sinC-3V5,求cosB 14 【答案】(1)15+√13,30) ②-7 1 【分析】(1)由余弦定理和-1<cosC<0,得到√13<c<15,从而求出周长的取值范围： (2)由同角三角函数关系得到cosC=13 红，由余弦定理求出c=3,进而求出cosB 【详解】(1)由余弦定理可知c2=a2+b2-2 abcosC=49+64-2×7×8cosC=113-112cosC, 因为角C为钝角，故-1<cosC<0, 所以113<c2<225→V113<c<15, 故15+V113<a+b+c<30, 所以ABC周长的取值范围是(15+√13,30). (2)因为角C为锐角，且满足如C=35,故cosC--sinC= 14 14 14/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC=49+64-104=9,所以c=3, 所以cosB=a2+c2-b2-49+9-641 2ac 2×7×371 15.(24-25高一下·湖北襄阳期末)如图，ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,直线1与ABC 的边AB,AC分别相交于点D,E,其中ADE为锐角三角形，AD=2,设∠ADE=0,满足 acos(B-0)+bcos(+0)=3c. 2c.则ADE的周长的取值范围为一· 2 【答案】(3+5,2+2√5 【分析】先由和差角的正余弦公式结合正弦定理求出日=工，再由AE⊥DE时，ADE的周长有最小值，当 6 AD⊥AE时，ADE的周长有最大值 【详解】因为acos(B-0)+bcos(4+0)=5。 2 , 可得acoo0+sin8sin0)+b(co4cos0-sin4sin0)=5 C, 2 可得sin4(cos8cos0+sinBsin0)+sinBcos4cos6-sin4sing)=5 inC, 2 所以c0(no8+4 n到=9snC,可得cos0snl4+-g 2sinc, 又因为4+8+C=,，可得sinC=si加(4+B),所以cos0=5 2 因为9∈(0，)，所以0=亚 6 画图可知，当AE⊥DE时，ADE的周长有最小值3+√5， 当AD⊥AE时，ADE的周长有最大值2+2V3, 由ADE为锐角三角形，所以ADE周长的取值范围是3+V5,2+2V3】 故答案为：(3+V5,2+25) 16.(24-25高一下·重庆主城区七校联考期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a=3,sin'A-sin2B-sin2C sin B sin C, (I)求角A的大小： (2)求ABC周长的最大值； 15/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)若BC中点为D,求AD的最小值. 【答案1w等 (2)3+25 3) 2 【分析】(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出c0sA,即可得A的大小： (2)利用正弦定理，表示出ABC的周长，利用三角函数求出最大值即可 (3)由(1)得b2+c2=9-bc,利用基本不等式求得bc)mx≤3，再根据D为BC的中点， 得而=丽+C,平方并利用向量数量积的运算律得0=2+公-c)=9-2加，即可求得答 案 【详解】(1)因为sin2A-sin2B-sin'C=sin BsinC, 由正弦定理，得a2-b2-c2=bc,即b2+c2-a2=-bc cosA-bitc-abe 1 2be =2bc=-2' 因为4∈(0，，所以4=2知 3 2由0得4=登，且0=3 a3=25 由正弦定理得：sin B sinC sinA sin2 2π 3 .b=2v3 sin B,c =23 sin C bte=25ns+25smc-2sm8snmg-2日m8+5cos9 3 =2√5sin 8+到 0<8<8+325sm8+）s20 云当8=名时，b+e的最大值为25， .ABC周长的最大值是3+23 (3)因为a=3,b2+c2-a2=-bc,所以b2+c2=9-bc≥2bc 所以bc≤3，当且仅当b=c=√3时，等号成立 16/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 即(bc)ma≤3 因为D为8C的中点，所以40-4B+4C), 所以而-（丽+C+2丽C) 0-e+6+2）-+-a-9-29-2x 4 所而：9 故4D的最小值为5 17.(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学期末)已知向量m=cosx,V3sinx,i=(cosx,cosx),设函 数到=}m, (I)求函数∫(x)的最小正周期： ②诺f合+}子且<a<,求如的值， 6 (3)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且a=5,(分)-1，求分+c+e的取值范围。 【答案】(1)n; 25-2, 6 3)(7,9] 【分析】(I)应用向量数量积的坐标运算、二倍角正余弦公式及辅助角公式得f(x)=s(2x+马)，进而求 61 最小正周期： (2)由题设3c。 32ia,结合已知及平方关系求sina: 21 -cosa=- (3)由题设得4=行、6+e2+bc=3+2c,再由已知及正弦定理得c=2sin2B-爱+1求日标式的范围 【详解】D由题设八=-+wsx+5xox-5 sin+cos 2xsin(x) 1 所以最小正周期T= 2π： 2》由ID及已知f侣+)-sna+?-na+ 2 2 cosa=-2 3 由Sr<a<元，且sima+cos0=1,2cosa=-2/ 6 3 2sina, 所以0-sn=(号na,可得子n2u- 42 1 +sin a+sin2a, 93 17/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以36sna+24sima-1=0,且sina>0,可得sna=5-2(负值舍)： 6 m(4+爱=l,0<4<x,可得4-骨 6 所以a2=b2+c2-2 becos A=b2+c2-bc=3,则b2+c2+bc=3+2bc, 由 b sin B sinC sin A =2,可得b=2sim8,c=2sinC, bc=4sin Bsin C=4sin Bsin(2-B)=23sin Bcos B+2sin'B=3sin2B-cos2B+1=2sin(2B-)+1 3 6 0<B< 由 2 2-B< 可得名8受则后<8-名g, 66 0 6 3 2 所以bc∈(2,3]，故b2+c2+bc=3+2bc∈(7,9] 18.(2425高一下·安微六安期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=2,且 sin B-sinC b-a sin A b+c (I)求C; (2)若G为ABC内一点且GA+GB+2GC=0,求GC长度的最大值； (3)若ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围. 【答案】0c- 2) 2 (3)(2V3+2,6] 【分析】(1)根据正弦定理角换边得-c=b-4 再利用余弦定理即可； a b+c (2》根据向量运算得CD=(CA+CB),再两边同平方结合基本不等式即可； 2 (3)根据正弦定理和三角恒等变换得a+b=4cosB-刀 再求出乃<B<即可得到其范围 3 6 【详解】(1)因为sinB-sinC_b-a 所以根据正弦定理得 b-c b-a sinA b+c a b+c 即ab-a2=b2-c2,得ab=d2+b-c2,所以cosC=a+b-c-1, 2ab 2 又C∈(0，π)，所以C= 3 (2)如图，设D是AB的中点，因为GA+GB+2GC=0, 所以GA+GB=2GD=-2GC, 18/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以G是CD的中点. 因为CD=(C+CB), 由余弦定理得4=a2+b2-ab≥ab,当且仅当a=b=2时取等号，所以ab≤4，所以 c可-女++列=4+2as3,得c0s5, 4 所以GC=)cD≤5，即Gc长度的最大值为 2 2 2 B 24V3 3)因为c-行c=2,所以mc百3， 由正弦定理知a+b=csin4+csin B_43 sin sin C sin C 3 4V35 3 32 cosB+sin B =4cosB- 2 （3 0<B<r 21 又ABC为锐角三角形，所以 得2<B<T 0<2π-B< 6 3 21 所以-后8r后所u9ma-）1 6 2 所以25c4eas8-54, 所以2V5+2<a+b+c≤6， 即ABC的周长的取值范围为(2√3+2,6]. 19.(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知钝角△ABC中，AB=4. 0若∠BAC=至BC=而，求os∠4BC: 19/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②若∠4CB-子求△iBC的周长的取值花司 【答案】0 (2)8,4+4V3 【分析】(1)根据余弦定理求出b,再根据钝角三角形，进而确定cos∠ABC; (2)表示周长，化成关于A的函数，借助三角函数的取值范围求得答案 【详解】(1)设ABC的A,B,C所对的边为a,b,c, 则依题意，4：，c=4,a=0, 由余弦定理得a2=6+c2-2次cos,即(io可=b+-2.b4cos至 即b'-4√2b+6=0,解得b=3√2或√2， 当6=32，b最大，B最大，此时c0sB=a2+c2-b-0>0, 2ac10 所以B为锐角，不合题意； 当b=V2,c最大，C最大，此时cosC-a+-c-5<0, 2ab 5 所以C为钝角，符合题意， 所以cosB=a+c2-23v10 2ac10 (2)C=分，c=4,设外接圆半径为， 则C=2R,则2R8N5 3 则月长a+b+c=4+2 Rsin d+2 Rsin B=4+85sn」 -sin B 3 3sinA+）」 3 3 =4+45sm4+4cosA=4485n4+若 因为饶角△8c,所以4e3)】 所以4+[） 所以4+副台} 20/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以4+8n4+884+45, 所以△4BC的周长取值范围为(8,4+4V5 20.(24-25高一下湖北武汉部分重点中学期末)在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (2c-a)cos B=bcos A. (I)求角B的大小： (2)若ABC的面积为8√3且b=6,求ABC的周长. 【答案】08=号 (2)2V33+6 【分析】(1)利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将(2c-a)cosB=bcosA变形化简，再结合角的范 围即可求出角B; (2)由三角形的面积公式求出C,再由余弦定理求出a+c,即可求出ABC的周长 【详解】(1)因为(2c-a)cosB=bcosA, 由正弦定理可得(2sinC-sinA)cosB=sin BcosA. 2sin C cos B=sin Acos B+sin B cos A=sin(A+B), 因为A+B+C=π，所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC. 所以2 sin CcosB=sinC. 因为C∈0，m),sinC>0,所以cosB=) 因为Be0,),所以B= 3 1 (2)因为S,4c=2 acsin B=85,所以ac=32, 由余弦定理得a2+c2-b2=2 ac.cos B, 由b=6,可得(a+c)2=b2+3ac=132, 所以a+c=2V33,所以ABC的周长为2√33+6. 目目 考点03 解三角形面积最值与定值问题 21.(24-25高一下·吉林、黑龙江六校联考期末)如图四边形ABCD中，BC=2CD=8,AB=AD=6 21/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D (I)若ABC的面积为8√5，且B为锐角，求AC的长度. (2)试间2cosB-c0sD是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由， (3)求四边形ABCD面积的最大值， 【答案】(1)6； (2)是，2c0sB-c0sD=1: (3)242; 【分析】（1D利用三角形面积公式列方程得s血nB=5,再由平方关系及余弦定理求边长即可， 3 (2)应用余弦定理得cosD=52-AC ，cosB=100-AC2 ,进而计算2c0sB-c0sD,即可得结论； 48 96 (3)由题设可得四边形面积S=12(sinD+2sinB),令m=sinD+2sinB>0,结合(2)结论并应用平方关 系、和角余弦公式得m2+1=5-4cos(B+D),根据余弦函数性质求m最大值，即可得 【详解】（①）由题设)AB-BCsin B=85,又BC=8,4B=6,可得snB=5 3 又B为锐角，则cosB= 号故4C=AB+8C2-2AB8Cc058:56+64-64:6: 2 2》由题设cosD=DGD4C,cosB-AB+BC-AC 2AD.CD 2AB·BC 又BC=2CD=8AB=AD=6,则cosD=52-AC,。 48 ，cosB=100-AC2 96 所以2o:8-o0=200w1C2C-1,为定他。 96 1 (3AD-CDsin D+BBCsin B-12(sin D+2sin B), m sin D +2 sin B>0,m2 sin2 D+4sin2 B+4sin Bsin D, 2 cos B cos D =1,1=cos2 D+4cos2 B-4cos Bcos D, 所以m2+1=5-4cos(B+D), 当cos(B+D)=-1,即B+D=元时，最大m2+1=9,此时mx=22, 22/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以四边形ABCD面积的最大值S=12×2√2=24√2 22.(2425高一下湖北荆门期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 ccosB=2a+b (1)求角C的大小： O清8C的面积5=5。，求BC面积的最小值 【答案】()C=2 (2)35 【分析】(1)由正弦定理和正弦和角公式得到cosC=- 2,求出C=2π， 3: (2)由三角形面积公式得到c=小，再由余弦定理和基本不等式得到子0汾≥3a,ab≥12，求出三角形面 4 积的最小值 【详解】(1)ABC中，2 ccosB=2a+b,由正弦定理得 2sinCcosB 2sinA+sinB 2sin (B+C)+sinB, 2sinCcosB 2sinBcosC +2cosBsinC sinB 故2 sinBcosC+sinB=0,又Be(0,π)，则sinB≠0， 即cosC=- 2’ 又Ce(0,,可得C=2 f2》5 abinC=5o z3、三5 21 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2+ab≥3ab, 即a2b2≥3ab,ab≥12，即当且仅当a=b=2√5时，等号成立， 故ABC面积的最小值为5×12=3N5 23.(24-25高一下·河南郑州期末)数学必修二55页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦 九韶在其著作《数书九章》中，提出了己知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等 价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自 乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式， 即S=、 c'a +a2-b2 其中a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边.若 4 2 23/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 1 1 3 sin Btan B+anC,b=2W2,则ABC面积的最大值为(). A.3 B.2V5 C.5 D.√2 【答案】B 【分析】应用正余弦边角关系将已知条件化为c=√5a,代入已知三角形面积公式求其最大值 1,1 1 _cos B,cosC 【详解】由5 sin BtanBtanC则5 sin Bsin B+sinC, 根据正余弦边角关系，有 1=a2+c2-b2a2+b2-c2 3 ,整理得c=V3a, 2abc 2abc 所以三角形面积S 4) -(a2-8)2+48, 当a=2√2，c=2√6时，最大面积S=2√5 故选：B 24.(24-25高一下·江西赣州期末)如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=2,BC⊥CD,∠ABC=0, 120°≤0<180° (I)若0=120°，AD=6,求∠ADC的大小； (2若2 CD.sin9=V5AC,求四边形ABCD面积的最大值 【答案】(1)30° (2)4+2V5 【分析】(I)先在ABC用余弦定理求AC长度，再根据等腰三角形性质求∠BCA,进而得∠ACD,然后 在△ACD用正弦定理求sin∠ADC,结合几何情况确定∠ADC大小 (2)把四边形面积拆成ABC与△ACD面积之和，根据O范围求面积最大值 【详解】(1)由已知∠ABC=120°，AB=BC=2,得∠BAC=30°， 所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·c0s0=4+4-8cos120°=12，得AC=2V5 在△ACD中，因为BC⊥CD,∠BCA=30°，所以∠ACD=60°， 又AD=6,由正弦定理得 AD= AC sin∠ACD sin∠ADC' 24/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 得sin∠4DC=4Csin∠4CD_2W3sin60°1 AD 6 21 因为AD=6>AC=2V3,所以∠ACD>∠ADC,所以0°<∠ADC<60°， 所以LADC=30 2)由已知得∠BCM2180°-0=90-9：所以Z4CD=90°-∠BC4 2 2 在ABC中AC2=BA+BC2-2BA,BC.cose0=2+22-2×2x2cos0=81-cos9)=16sin29 0 所以AC=4sin日 2 .0 又因为2 CDsin日=V3AC,得CD=2V3, 所以四边形ABCD面积 5=及e+5m方x2x2an0+分25x49xs号-2n0+45sm号 所以S=4sin(0-60)+2V3, 因为120°≤0<180°，所以60°≤0-60°<120°， 当0-60°=90°时，即0=150°时，Smx=4+2V3 25.(24-25高一下·山东临沂)已知ABC是锐角三角形，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (c-2b)sin C=asin A-bsin B (I)求A; (2)若c=4,求ABC面积的取值范围. 【答案】()A= 4 (2)(4,8) 【分析】(1)利用正余弦定理进行边角互化即可： (2)利用三角形的面积公式求出S。4c=√2b,然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出b的取值范围即 可 【详解】(1)(c-V2 b)sinC=asin A-bsin B, 故c-V2bc=a2-b2,，即b2+c2-a2=V2bc, 故cosA=b+c2-a2V2 2bc 2 25/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2故4 且0<A< 4 (2)由正弦定理b c得， sin B sin C b=csin B 4sin 3x-C 4 sin C sin C sinC 因为ABC是锐角三角形， 故0<3弧-C<石0<C<,即<C< 2 2 4 所以amC>1,故22<b=2V2+1<4W2, (tan C 所以Sc=)besin4=V2b∈4,8， 2 故ABC面积的取值范围为(4,8) 26.(24-25高一下.福建泉州期末)已知锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc. B (1)求A; (2)若c=4,求ABC的面积的取值范围； (3)如图，若D为ABC外一点，且∠ABD=∠ACB=元，BD⊥CD,AD=V5,求a, 4 【答案】01-=月 2(2W5,85 (3)a=6 【分析】(1D变形得到公+c2-d=bc,由余弦定理求出cos4=了，得到答案： (2)解法一：由正弦定理和三角恒等变换得到6=25 +2,并由锐角三角形得到C∈ ππ 62 求出 tan C bE(2,8,由三角形面积公式得到S。4c=V3b,求出面积的取值范围： 解法二：由余弦定理cosB>0,且c0sC>0,得到不等式，并将a2=b-4b+16代入两不等式，解得 2<b<8,由三角形面积公式得到S。4c=V3b,求出面积的取值范围； 26/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解法三：考查∠ABC,∠ACB的极端位置情况，当∠ABC=工时，b=8,当∠ACB=兀时，b=2,从而得到 2 2<b<8,由三角形面积公式得到S。4Bc=V3b,求出面积的取值范围； (3)解法一：求出∠CBD=,设CD:x,表达出其他各边长，在ABC中，由正弦定理得4B-2y6①， 3 在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos下②，将①式代入②式得到方程，求出x=3, 故a=6; 解法：录出∠C0-名，设CD=1,表达出其他各边长，果出∠18C-径DC1=合在4C中 6 由正孩定可得4C,在△4CE,用合的式子表达出E,CG,求出DE-25,在0E中，由匀我 定理和AD=√15可得方程，求出x=3,故a=6. 【详解】(1)因为b2+c2=a2+bc,所以b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得cosA= b2+c2-a2 bc 1 2bc--2hc=2' 因为4E(0,所以4=号 (2)解法一：在A8C中，由正弦定理得b。=C sinB sinC' 又c=4,A= 3 csin (2-C 2π 4sin cos C-cos b=csin B 所以 3 3 2V5 sin C sin C sin C tanC +2’ 因为ABC是锐角三角形，所以C∈？，？ (62 /3 所以tan Ce 所以b∈2,8)， 因为S。ABC= 2 besin A=.b×4sin”=V5b, 2 所以ABC的面积的取值范围是(2W5,8V5): 解法二：因为ABC是锐角三角形， 所以csB=+a->0,且cosC-+6-C>0, 2ca 2ab 所以c2+a2-b2>0,且a2+b2-c2>0, 又因为a2=b2+c2-bc,c=4,所以a2=b2-4b+16, 27/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以16+b2-4b+16-b2>0,且b2-4b+16+b2-16>0,解得2<b<8, 因为S。ABc= 1 x4sin= 2 3 所以ABC的面积的取值范围是2V5,8V5): 解法三：因为ABC是锐角三角形，所以∠ABC,∠ACB均为锐角， 根据图形变化，考查∠ABC,∠ACB的极端位置情况， 当∠ABC=交时， b=c=8 cos 3 当∠ACB=T时，b=c~cosT=2, 3 可得当且仅当2<b<8时，ABC是锐角三角形； 因为S△ABC= bcsinA= 2×hx4×sn=V5b, 3 所以ABC的面积的取值范围是(2V5,8V5)； 3)解法因为4-号ABD=∠4CB-景所以∠C8D=-(任+吾引名 因为BD⊥CD,设CD=x,则BC=a=2x,BD=√5x, AB BC BCsin 车ABC中，由正弦定理可得sin sin,即AB=一 426x0. Sin T 3 3 3 在△ABD中，由余弦定理可得AD=AB2+BD2-2AB-BDcos②， 4 2x6rx-15, 将①式代入②式得8x2+3x2-2×26xx 2 化简得x2=9,解得x=3,故a=6. 解法二：过点A作AE⊥DE交DC的延长线于点E, D C 因为4-景∠48D=4C8-至所以∠c0=-(任经+}君 因为BD⊥CD,设CD=x,则BC=a=2x,BD=V3x, 28/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又因为∠ABC=π Γ+π=5π，∠DCA=-π= 4+312 -3412' AC BC 5π BCsin 所以在48C中，由正弦定理可得sn亚sin,即4C= 12 } 3 sin 所以DE=CE-CD=25x 3, 因为AD=√5，在ADE中，由勾股定理可得15= 化简得x2=9,解得x=3,故a=6. 1 27.(24-25高一下山东济南期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=bcosA+ a. 2 (1)求角B的大小： (2)若ABC为锐角三角形. (i)求角A的取值范围 (i)设a=6,求ABC面积的取值范围. 【答案】()B=T 3 2)(i) ππ 62 (i) 9 2185 【分析】(1)由正弦定理边化角，结合正弦和角公式即可求解； (2)(ⅰ)由锐角三角形的定义列不等式组即可求解： (i)由三角形面积公式、正弦定理得到S=9W3 √5 结合角A的取值范围，即可求解 2tan A 【详解】(1)因为c=bcosA+ a, sin C-sin(+B)-sin AcosB+cos Asin B-sin Bcos+sin4. 所以sin Acos B=。sinA, AE0,,从而sinA>0,所以cosB 又因为8e0,利，所以B=骨 29/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)（1)显然B=工是锐角， 3 0<A<元 需满足 2 ,解得<A< 6 0<B= 3 -A< 故角A的取值范围为 ππ 6'29 (i)因为B=交， ,a=6,所以S=)acsin=3 2 -C, a 由正弦定理有sinA sin C ，所以 4 6sin sin C三 sin 3 所以s-3 -cos A+-sin A c=9V5.2 sin A 2 2tan 4 因为角A的取值范围为 ππ） 62 所以tanA的取值范围为 1一的取值范围为0,5， 3 2 tan A 的位范目为0引子 的取值范国为22， 2'2tan A 28.(24-25高一下·河北邯郸期末)为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个 内接四边形区域作为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABCD区域中，将△ACD区域设计成花卉观赏 区，ABC区域设计成漫时光DIY区，边AB,BC,CD,DA修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中 BC=100m,AC=100√3m B (I)求漫时光DIY区（即ABC)面积的最小值； (②)为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形ABCD？请给出设计方案 30/44 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)2500W5(m2) (2)答案见解析 【分析】(1)利用正弦定理求出∠ABC,∠BAC,分两种情况讨论，分别求出ABC面积，比较大小，即得 答案； (2)结合额(1)分两种情况讨论，结合三角恒等变换分别求出CD+AD的表达式，结合三角函数性质求 出其最大值，比较即可得答案 【详解】(1D由于BC=100m,4C=100V5m,故4C BC =2×100 sin∠4BC sin∠BAC 则sin∠ABC= 1 2,sim∠BMC=7 BC<4C,故∠8c-号或5.∠BC-君 31 6 当∠ABC=时，∠ACB-号，此时SR=×BC×4C=500W5（m)； 2 当∠ABC=时，乙4C8=号，此时S=xBC×4C×sim-25005(m2), 3 2 6 即漫时光DIY区（即ABC)面积的最小值为2500√5(m2); 2由1)知当∠A8C=号时，乙4CB=号，∠ADC=受，此时4B=20m, 设∠D1c=aae0引则cD=20sna,4D=20sma 由于a引故a+晋得)则20na+ 最大值为20，此时a-后 则此时步道长为AB+BC+CD+DA=500(m); 当∠4Bc=子时，乙4CB-名∠40c-骨此时48=10m, ∠Dc=aae,则c0=20sma,4D-20sm(g小 故cD40-20sma+20s- mma4m停-小-mima引 31/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则200W5sina+2最大值为2005，此时a=? 6 则此时步道长为AB+BC+CD+DA=200+200W3(m); 由于200+200V3>500, 故为使总的观赏步道尽可能长，则应使得∠ABC=2 3 厨设计方案为：四边形ABCD中乙ABC,使得A8C为等腰三角形 D点在ABC另一侧的圆弧上，△ADC为等边三角形 29.(2425高一下·四川达州普通高中期末)如图，在四边形ABCD中，AB=3,AD=4,BD=2BC, 1 cos∠BCD=- B (I)当A、B、C、D四点共圆时，求BD; (2)求四边形ABCD面积的最大值； (3)求AC的最大值 【答案】(1)9 2)24V391+75V15 64 号 【分析】(1)由已知条件得出∠BAD=π-∠BCD,可求出cOs∠BAD的值，然后在△ABD利用余弦定理可 求得BD的长； (2)设LBAD=0,其中0<0<π，由余弦定理得出BD2=25-24cos0,利用正弦定理求出sin∠BCD,结 合两角和的正弦公式可得出si∠BDC,再利用三角形的面积公式结合辅助角公式、三角函数的有界性可求 得四边形ABCD面积的最大值； 3 (3)设BC=2x,则BD=4x,设∠ABD=B，利用正弦定理得出sinB=sin6、xcosB=4cos9,结合 余弦定理得出可得出AC2关于的三角函数，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得AC的最大 值 【详解】(I)当A、B、C、D四点共圆时，∠BAD=π-∠BCD,xsin B=sin0, 32/44 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所t以cos∠BAD=cos(元-∠BCD)=-cos∠BCD=4 1 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB.ADcos∠BAD=9+16-2×3×4x号=19， 4 故BD=V9 (2)设∠B4D=0,其中0<0<元， 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADc0s0=9+16-2×3×4cos0=25-24C0s0, 故SaMo-)1B-ADsin0=×3×4sin0=6sin0, 1 2 2 因为eos∠BCD=则∠BCD为t角，且sn∠BCD=i-cos乙BCD- 4 在△BCD中，由正弦定理得。BD BC sin∠BCD sin∠BDC' 故sin∠BDC= BC sin ZBCD=Ix15_i5 BD 248 因为LBCD为钝角，则∠BDC为锐角， 故cos∠BDC=V1-sin2∠BDC 15 8 所以sin /CBD=sin(ZBCD+LBDC)=sin /BCD cos∠BDC+cos∠3CD sin∠BDC 5_35 故S.nCD =BC:BDsin∠CBD-BD3×6642-24cos8: 22 +5.c6sin095co gcos6+7515=39sin0-p)+75Vh5 648 64 其中p为锐角，且an0=35, 16 因为0<0<π，则-0<0-0<π-p,故当0-0=元时， 四边形ABCD的面积取最大值24V391+75V正 64 (3)因为LBCD为钝角，则LCBD为锐角，故cos∠CBD=V1-sin∠CBD 315 16 ABD B,cos ZABC cos(B+/CBD)=cos B cos /CBD-sin B sin /CBD =名wB-酒nB, 16 33/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 设BC=2x,则BD=4x, 在ABC中，由余弦定理可得AC2=AB?+BC2-2AB·BC cos∠ABC =9+4x2-12x osB 11 3W15 in 16 16 即AC2=9+4x2- cosB+9 33 -xsinβ， 4 AD BD 在△ABD中，由正弦定理得 sin Bsine0,代入数据化简得xsin B=sin6, AB BD AB BD 在△ABD中， sin∠ADBsinc,即sine+Bsnp: 代入数据并化简得4xsin0cosB+4xcos0sinB=3sin0, 结合xsin B=sin0可得4xsin0cosB+4cos0sin0=3sin0, 所以4rc0sB=3-4cos0,则xcosB= 4-c0s0, 由BD2=16x2=25-24cos0可得x2=25-24c0s0 16 由：25-2os0、xsin=sn0和xe0s月-}cos0可得 16 xcosB+5 AC2=9+4x2_3 945smB=9+克-6cos0- 95sin0 -cos0+ 44 4 =14595 m0+子co,0=+9sm0+a,其中a为悦角，且1ama店 9 164 16 15 因为0<0<，则a<0+a<+a,放当0+a-号时，4C取最大值， 且AC的最大值为6+ 45+9= -4 30.(2425高一下广东惠州期末)（多选）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,下列命题正 确的是() A.若A=60°，a=2,则ABC面积的最大值为V5 B.若A=60°，a=1,则ABC面积的最大值为√5 C若a=25,0=4,要使满足条件的三角形省1只有两个，则4（怎引 D.若a+b=c(cosA+cosB,且c=1,则该三角形内切圆面积的最大值为3-22 元 4 【答案】AD 【分析】对于AB:利用余弦定理结合基本不等式求bc的最大值，进而可得面积的最大值；对于C:利用余 弦定理分析可得：关于c的方程c2-8cc0sA+4=0有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D: 34/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 利用余弦定理可得C=刀 ,再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果 【详解】对于选项A:由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,即4=b2+c2-bc, 可得bc+4=b2+c2≥2bc,解得bc≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立， 所以4BC面积的最大值为}×4x5=5,故A正确： 2 对于选项B:由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,即1=b2+c2-bc, 可得bC+1=b2+c2≥2bc,解得bc≤1，当且仅当b=c=1时，等号成立， 所以4BC面积的最大值为}xIx5=5,故B错误： X2=4 对于选项C:由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,即12=16+c2-8 ccosA, 整理可得c2-8 ccos A+4=0, 由题意可知：关于c的方程c2-8 ccosA+4=0有2个不相等的正根， [4>0 则8cosA>0 ,解得cosA>2 △=64c0s2A-16>0 且4(0，，可得4e0写) 故C错误； 对于选项D,因为a+b=c(cosA+cosB),即a+b=ccosA+ccosB, 则a+h-+c-a+口+c2-B,整理可得(a+b1(a+b-c)=0, 2b 2a 注意到a+b≠0，则a2+b-c2=0,即a2+62=c2,可知C=) 且c=1,则该三角形内切圆半径，=2S4Bc=ab ab ab a+b-va2+b2 a+b-c a+b+c a+b+c a+b+va2+b2 2ab 2 又因为a+b-c=a+b2-c=Va2+b2+2ab-c≤V2(a2+b）-c=V2-1, 当且仅当a=b=5时，等号成立，可得0<≤5-， 2 所以该三角形的内切圆面积的最大值是π 2-1_3-22 二π，故D正确 2 4 故选：AD 【点晴】方法点晴：与解三角形有关的交汇问题的关注点 (1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化； (2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式： 35/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解 目目 考点04 解三角形面积取值范围问题 31.(24-25高一下江西景德镇一中期末)锐角ABC中，内角A,B,C的边分别对应a,b,c,已知 a+c=- sin2B +√2 c a sinAsinC (1)求B; (2)若b=√2，求S。MBc的取值范围 【答案】0号 2+1 【分析】(1)根据题意，化简得到a2+c2-b2=√2ac,结合余弦定理，即可求解： (2)由正弦定理得到a=2sin4,c=2sinC,化简ac=2sin2C-牙十5，根据A8C为锐角三角形，求 得<C<号，结合三角函数的性质，求得0©(25,2+、，利用三角形的面积公式，即可求解 4 【详解】(1)解：因为9+S-sinB+2,由正弦定理得“+S_B+、 b+2, c a sinAsinC c a ac 整理得a2+c2-2-V2ac,所以cosB=a+c2-B-2ac-2 2ac 2ac 2 因为BE(0,),所以B=亚 4 (2)解：设ABC的外接圆的半径为R, 国为b=2,且B=牙，可得2R② =2 sin B 2 2 由正弦定理可得a=2 R sin A=2sinA,c=2 R sin C=2sinC, 又因为8=子可得4=还-C, 4 2cosC+ 所以ac=4sin4sinC=4smr子-CsC=4x(cos 2-sin C)sin C =22sin CcosC+2sin'C=2sin2C+2x1-cos2C 2 -Zsin2c-/Zcos2c+-2sin2c+ 36/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 <C<I 因为ABC为锐角三角形，可得 4 2 ,解得<C< <3π-C< 4 0 4 2 所以2c-任)， 2 32.(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期末)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 acosC+√3 a sinC=b+c (1)求A: (②)若ABC为锐角三角形，且b=2,求ABC面积的取值范围 【答案】04=骨 92w 【分析】(1)由正弦定理结合sinB=sin(A+C)得到V5sinA=cosA+1,利用辅助角公式得到sin(A-马=} 6-2 结合角A的范国得到4： (2)法一：由1)中4-骨，结合三角形面积公式得到Sc- c,由正弦定理求出1<c<4,得到面积 2 的取值范围； a2+4>c2① 法二：由余弦定理得到4+c2-2c=a2,结合三角形为锐角三角形得 a2+c2>4②，从而求出1<c<4, 求出面积的取值范围 【详解】(I)由正弦定理可得：sin AcosC+√3 sin AsinC=sinB+sinC, 因为sinB=sinA+C)=sin AcosC+cos Asin C, sin Acos C+3 sin Asin C=sin A cos C+cos Asin C+sin C, 所以V3 sin Asin C=cos Asin C+sinC, 因为Ce(0,π)，所以sinC>0,所以√3sinA=cosA+1, 所以sin(A-马=， 62’ 37/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 因为A-元∈（元，57 6 66 所以4-元-元，即4= 66 3: 2)法一：b=2及I)知ABC的面积5c=c如A=5。 2 由正弦定理得c=bsinC-2sin120°-B)。5 +1 sin B sin B tan B 由于ABC为锐角三角形，故0°<B<90°，0°<C<90°. 由(1)知B+C=120°， 所以30°<B<90°， 因为y=tanx在x∈ 0,2 上单调递增， 故tanB>5 3 5∈(0,3， tan B 故1<c<4, 从而5<Sc<25 因此4BC面积的取值范围是(5,2)： 2 法二：因为4=骨6=2， 由余波定理得osA+d,即4+c。-,枚4+e心-2c=a, 2be 4c 2 a2+b2>c2 ABC为锐角三角形，则 a2+c2>b2,即 2+4>c20 a2+c2>4②' 由①得4+c2-2c+4>c2,解得c<4, 由②得4+c2-2c+c2>4,解得c>1或c<0(舍去)， 综上1<c<4, 所以ecm49e925 2 3.Q4,25商一上桶建宁德期末如图，在扇形0PQ中，半径0P:2,圆心角∠P00-香A是扇形驱上 的动点，B是半径OQ上的动点，AB/0P.则△OAB面积的最大值为() 38/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B A.2√2-2 B.√2-1 C.3 D. 5 6 【答案】B 【分析】设LAOP=0,利用正弦定理可表示出OB,代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简 得到S.o4B=V2sin20+ +4厂1，由正弦型函数最值求法可求得结果 【详解】设LA0P=0,则0<8<4 :ABIIOP,∠POQ=T 4'∠AB0=3n 4，∠0AB=0,∠A0B=T-0, 4 =04-sin /O4B-2sin-2sin0 在△OAB中，由正弦定理得： sin∠ABO 2 5n-501.08sm∠a08=22sm0sm[任-0-2isn0号 2 =2sin0cos0-2sn0=sin20-1+cos20=5sm20+9}-1, :当20+=，即日=时，SoB取得最大值2-1 42 8 故选：B 34.(2425高一下辽宁营口第二高级中学期末)如图，设ABC的内角A、B、C的对边分别为ab、C, √5(acosC+ccos)A=2 bsin B,且∠CAB=T若点D是ABC外一点，CD=1,AD=3,则当角D等于多 3 少度时，四边形ABCD的面积有最大值，并求出最大值 【答案】g:3+5y5 39/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【分析】利用正弦定理边角互化结合∠B的取值范围可求得∠B= =3,可到断出ABC为等边三角形，利用 余弦定理求得AC2=10-6cos0，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD的面积关于O的表达式，利用 三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD面积的最大值及其对应的O的值，即可得解. 【详解】解：，V3(acosC+ccos4)=2 bsin B, 由正弦定理可得V3(sin AcosC+cos Asin C)=2sin2B, 所以，2sinB=V3sin(A+C)=V3sinπ-B)=V3sinB, 2C0子B0号)可得s8>0,如8=5 3 所以，ABC为等边三角形，设∠D=0,则0<0<π， 由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD.CD cos0=10-6cos0, 5e4csn-50-6es01=5y535 34 22c0s0, SAco=4D-CDsin0-3sin0, 3 2 2 所以.国边形8c0的面积为5=5em+Sem0+5cm0=3sn0-引35y5 2 22 0<<,行<0子所以，当0-号受时，即当∠D-0-石时，西边形48CD的面积取最 3 32 6 大值3+5v5 2 35.(24-25高一下·四川广安·期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=8, asin B+csin2A=0,则ABC面积的最大值为 【答案】2 【分结合倍角公、图弦型，理春sAP于c业众C品 2bc 2 coB=。+c公_tc之2之Bc-5,可得B的范周.即可根据S方csn8求得结果 1 2ac 4ac 4ac 2 【详解】由题，asin B+csin2A=asin B+2 csin A cos A=0, 由正弦定理得，ab+2acc0s4=0,故cosA=- 2c' 由余弦定理得c0sA-+c-a.-b,故公=口C 2bc 2c 2, 放m0世.产之2号当低是，傲等号，放8引m8引 2ac 4ac 40/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故SBc=acsin B∈(0,2]，故S.4c最大值为2， 2 故答案为：2 36.(24-25高一下·四川成都树德中学期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知 ABC的外接圆半径R=反，且anB+anC=V5sinA cosC (1)求B和b的值： (2)求ABC面积的最大值. 【答案】B=子，62， (2)1+√2 【分析】(I)利用同角三角函数间的关系切化弦得sinB+sinC-V2sinA,再由正弦的和角公式化简可求 cos B cosC cosC 得B,再利用正弦定理可求得b: (2)由余弦定理得4=a2+c2-√2ac,利用基本不等式得ac≤2(2+V2),由三角形的面积公式可求得答案 【详解】(1)解：因为anB+anC=V5sin4,所以sinB+si血C-2sin4, cosC cos B cosC cosC sin BcosC+cos BsinC=√2 sin Acos B,即sin(B+C)=√2 sin Acos B, 因为A+B+C=π，所以sinA=√2 sin Acos B, 又sinA+0,所以cosB=5,所以B= 2 4 又ABC的外接圆半径R=N2,所以由正弦定理b。=2R得b=2xV2x5-2: sin B 2 (2)解：由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B得4=a2+c2-√2ac, 由整本不等式将4+c-5ac≥2ac-5ac（当且仅当a=c时取等号)，所以oc≤2-万=22+V同当 且仅当a=c时取等号)， 所以S,Bc= acsin B=2 4ac≤V2×22+2=1+√2（当且仅当a=c时取等号） 4 故ABC面积的最大值为1+√2. 37.(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学.期末)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, asin4+C=bsin A,c=2. 2 (I)求角B: (2)求ABC面积的取值范围. 41/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】①B-骨 cf 【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简，计算作答 (2)利用正弦定理将α表示为角的函数，再利用三角形面积公式结合三角恒等变换求解作答 【详解】(D在锐角4BC中，由正弦定理及asin4+C=bsin得：sin Asin(马 2 2)=sin Bsin 4. B B 22即 B 1 元 而sinA>0,则cos=sin B=2sn只cos今，又0<B<5,cos)>0,因此sn全 2 2 26 所以B=T 2在锐角48c中，由1如8=号有4+C=否，令4骨+0，测C-号-0，名<9君 6 6 由正弦定理得a=csin4 ABC的面积S=acsin B=】 12sin(+) sinC 2 sin(0) 2sin 3 cos0+sin0) 2 2一= 5(5+tan0=6 -5, 3。 B cos0-Isin0 √3-tan0V3-tan0 2 由-π<0<及得-5 6 6 g人am6<522B-tm0349,于是得&<2 33 3 所以48C面积的取值范围是( 2,2V5 38.(24-25高一下.重庆第八中学校期末)在①c(sin A-sinC）=(a-b)(sinA+sinB),②2 bcos A+a=2c,③ 2V3 acsin B=a2+c2-b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 3 B (I)求角B的大小： (②)求sinA+sinC取值范围； (3)如图所示，当sinA+sinC取得最大值时，若在ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线 段DC=2,DA=1,求△BCD面积的最大值. 42/44 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答装】08-号回 2,33)3+1 【分析】(1)若选①，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； 若选②，利用余弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； 若选③，利用余弦定理计算可得； (2)由(1)得，A+C=120°，则C=120°-A,利用三角恒等公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得； (3)由(2)求出A=60°，令∠ACD=0,∠ADC=a,AB=AC=BC=a,利用正弦定理、余弦定理得 到sin&=asin0,acos0=2-cosa,再根据面积公式及三角恒等变换公式计算可得； 【详解】(1)解：若选①：因为c(sin A-sinC)=(a-b)(sinA+sinB),由正弦定理得 c(a-c)=(a+b)(a-b), 所以c(a-c)=(a+b)(a-b). 整理得a2+c2-=ac,所以cosB=a+c2-b=ac-1 2ac 2ac 2 又0<B<π，所以B= 3 若选②：因为2bc0sA+a=2c由余弦定理得2b.6+C2- -+a=2c,化简得，a2+c2-b2=ac, 2bc 所以cosB=4+C-b=C=):又0<B<π，所以B=T 2ac 若选@：因为2csm8=0+G-分，南余放定理得2 -acsin B=2accos B, 3 3 化简得anB=V5,又0<B<π，所以B=, 3 (2)解：由(1)得，A+C=120°，得0°<A<120°， 所以sinA+snC=sinA+sn120°-A0=2sinA+5co -cos 4=3sin(4+30), 2 由30°<4+30°<150°，所以号<sin(A+30°≤1，所以sin4+sinC的取值范围是 ,5 (3)解：当sinA+sinC取得最大值时，A+30°=90°，解得A=60°； a 1 令∠ACD=0,∠ADC=a,AB=AC=BC=Q,则由正弦定理可得： sina sing'sina =asin: 又由余弦定理得：a2=22+12-2×2×1×cos0, .a2 cos20=a2-a2 sin20=cos2a-4cosa+4,.a cos0 2-cosa. 43/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.mxax2singcos0+asin-(2-cosa)t 1 sina 2 2 =5+sma-引5+1，当g=延时等号成立： 6 :△BCD面积的最大值为V3+1. 44/44