专题07 复数的概念及其运算（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以题型分层构建复数知识体系，从概念理解到运算应用，强化数学抽象与逻辑推理，覆盖高频考点与易错点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |虚数单位及性质|4题|i的性质及虚部识别|基础概念引入| |复数的概念|5题|实部、虚部、共轭复数理解|概念生成| |复数相等|4题|方程思想应用|概念应用| |复数的分类|5题|实数、虚数、纯虚数条件判断（易错点）|概念深化| |复数的几何意义|4题|复平面与向量对应|数形结合| |复数的模|7题|模的计算及充要条件（重点）|核心技能| |与模有关的最值和轨迹|5题|圆的几何意义应用（难点）|技能拓展| |复数的运算|7题|四则运算及共轭复数（常考点）|核心技能| |在复数范围内解方程|6题|运算与模的综合应用（重点）|知识综合|

专题07 复数的概念及其运算 题型1 虚数单位及性质 题型5 复数的模（重点） 题型2 复数的概念 题型6 与模有关的最值和轨迹问题（难点） 题型3 复数相等 题型7 复数的运算（常考点） 题型4 复数的分类（易错点） 题型8 在复数范围内解方程（重点） 题型5 复数的几何意义 题型一 虚数单位及性质（共4小题） 1．（25-26高三上·湖北·阶段检测）（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______ 题型二 复数的概念（共5小题） 5．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·海南海口·期中）复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C． D． 7．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 8．（2026·广西桂林·二模）设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 9．（25-26高一下·河北保定·期中）欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 题型三 复数相等（共4小题） 10．（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 11．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________． 13．（24-25高一下·广西百色·期末）已知，则______. 题型四 复数的分类（共5小题） 14．（24-25高一下·重庆·阶段检测）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 16．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 17．（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 18．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 题型五 复数的几何意义（共4小题） 19．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 20．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 22．（2026·安徽·模拟预测）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 23．（25-26高一下·全国·单元测试）在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 题型六 复数的模（共7小题） 24．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，则（     ） A． B．5 C．3 D． 25．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）设是复数，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为3 27．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 28．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 29．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）______． 30．（2025高一·全国·专题练习）若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为______. 题型七 与模有关的最值和轨迹问题（共5小题） 31．（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 32．（25-26高一下·四川达州·期中）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（多选）（25-26高一下·重庆·期中）若复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在复平面内所对应的点位于第四象限 C．若复数z满足，则的取值范围是 D．若复数（），则的最小值是 34．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）已知且，则的最大值是______________． 35．（25-26高一下·广东广州·期中）若满足，则的最大值是_______. 题型八 复数的运算（共7小题） 36．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 37．（2025·山东菏泽·二模）已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 38．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 39．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A．的虚部为 B．点在第二象限 C．点在直线上 D．的最大值为 40．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知复数，则以下说法正确的是（　　） A． B．的共轭复数 C．复数是方程的一个根 D．在复平面内与对应的点在第二象限 41．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数． (1)求； (2)若，求． 42．（25-26高一下·广西河池·期中）已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 题型九 在复数范围内届方程（共6小题） 43．（多选）（25-26高一下·河北石家庄·期中）若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 45．（25-26高一下·上海·期中）已知复数，复数满足方程，求： (1)复数的值； (2)求（是的共轭复数）的值； 46．（25-26高一下·吉林·期中）（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 47．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 48．（25-26高一下·广东肇庆·期中）已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 复数的概念及其运算 题型1 虚数单位及性质 题型5 复数的模（重点） 题型2 复数的概念 题型6 与模有关的最值和轨迹问题（难点） 题型3 复数相等 题型7 复数的运算（常考点） 题型4 复数的分类（易错点） 题型8 在复数范围内解方程（重点） 题型5 复数的几何意义 题型一 虚数单位及性质（共4小题） 1．（25-26高三上·湖北·阶段检测）（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，虚部为－1 故选：A. 3．（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【详解】， 则的虚部是2. 故选：D 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______ 【答案】0 【详解】. 题型二 复数的概念（共5小题） 5．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的虚部为. 6．（25-26高一下·海南海口·期中）复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：的共轭复数 ， 所以的虚部为. 7．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 【答案】C 【详解】对于A，因与都是虚数，不能比较大小，故A错误； 对于B，复数的虚部为，故B错误； 对于C，设，则 若复数为实数，则，则显然有；若，则易得，故复数为实数，故C正确； 对于D，由题意，解得，故D错误. 8．（2026·广西桂林·二模）设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【答案】3 【详解】因为，且实部与虚部相等， 故，解得. 9．（25-26高一下·河北保定·期中）欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，， 故，则，解得，则. 题型三 复数相等（共4小题） 10．（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【详解】由条件可知，，解得. 11．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________． 【答案】 2 【详解】因为， 所以，解得 13．（24-25高一下·广西百色·期末）已知，则______. 【答案】3 【详解】因为， 则，解得. 题型四 复数的分类（共5小题） 14．（24-25高一下·重庆·阶段检测）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 15．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【详解】由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件. 16．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 【答案】C 【详解】对于A，因与都是虚数，不能比较大小，故A错误； 对于B，复数的虚部为，故B错误； 对于C，设，则 若复数为实数，则，则显然有；若，则易得，故复数为实数，故C正确； 对于D，由题意，解得，故D错误. 17．（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 【答案】AB 【详解】对于A，若Z为实数，则虚部为0，，.故A正确； 对于B，若Z为虚数，则虚部不为0，，，故B正确； 对于C，若Z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，，则无满足条件的m，故C错误； 对于D，复数Z的虚部为，不带单位i，故D错误. 18．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由已知得：，解得：； （2）复数在复平面内对应的点的坐标为 ， 则，解得：． 题型五 复数的几何意义（共4小题） 19．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得，， 所以， 其对应的复数为. 20．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】复平面内的点在虚轴上，则实部为，即， 化简得，解得或或. 21．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·期中）设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，， 而，因此，B正确； 对于C，，由，得，C错误； 对于D，由，即， 得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确. 22．（2026·安徽·模拟预测）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】由题意得，，则，则． 23．（25-26高一下·全国·单元测试）在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 【答案】(1)或；(2)；(3) 【详解】（1）由复数对应的点在虚轴上，则，即，则或； （2）由复数对应的点在第二象限，则，即，则； （3）由复数对应的点在的图象上，则，即，则. 题型六 复数的模（共7小题） 24．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，则（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】A 【详解】由题设  . 25．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 26．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）设是复数，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为3 【答案】AD 【详解】在A选项中，设，， 根据复数模的计算公式可得：，， 已知，则， 两边同时平方可得：， 又因为， 所以，A选项正确， 在B选项中，若取，，则， ，则满足， 但，，，B选项错误， 在C选项中，对两边同时平方可得： ，展开可得： ， 化简得：，即， 设，，则， 并不一定有，C选项错误， 在D选项中，说明对应复平面上单位圆， 表示单位圆上的点到点的距离， 原点到的距离为，因此最大距离为，D选项正确. 27．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】设复数，且满足， 则，化简即得， 又“为实数”等价于，“为纯虚数”等价于不为0， 若“为实数”可得，不能推出， 若“为纯虚数”则，且不为0，即得， 则“为实数”是“为纯虚数”的必要不充分条件. 28．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】设复数，且满足， 则，化简即得， 又“为实数”等价于，“为纯虚数”等价于不为0， 若“为实数”可得，不能推出， 若“为纯虚数”则，且不为0，即得， 则“为实数”是“为纯虚数”的必要不充分条件. 29．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）______． 【答案】 【详解】. 30．（2025高一·全国·专题练习）若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由， 可得， 因此，所以， 即，则， 所以. 故答案为： 题型七 与模有关的最值和轨迹问题（共5小题） 31．（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【答案】B 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 32．（25-26高一下·四川达州·期中）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆， 因为，所以. 33．（多选）（25-26高一下·重庆·期中）若复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在复平面内所对应的点位于第四象限 C．若复数z满足，则的取值范围是 D．若复数（），则的最小值是 【答案】ABD 【详解】由，A对， 由的对应点为，位于第四象限，B对， 令，，则，即点到点的距离为1， 所以在以为圆心，1为半径的圆上， 所以表示圆上点到原点的距离，则，C错， 由（），则表示点到点和点的距离之和， 若关于轴的对称点为，又点在轴上， 所以的最短距离为，D对. 34．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）已知且，则的最大值是______________． 【答案】 【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示点到定点的距离； 因为； 所以的最大值为. 35．（25-26高一下·广东广州·期中）若满足，则的最大值是_______. 【答案】 【详解】表示到点的距离为3的点的集合， 由图可知，当动点为延长线与圆C的交点时，取得最大值 ，因为的长度等于，所以的最大值是. 题型八 复数的运算（共7小题） 36．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：，则． 37．（2025·山东菏泽·二模）已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为； 故． 38．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 所以的共轭复数， 所以的虚部为. 39．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A．的虚部为 B．点在第二象限 C．点在直线上 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】， 选项A，的虚部是实数，不是 ，所以A错误. 选项B，对应点的坐标为 ，因为，所以 ， ，点在第二象限，B 正确. 选项C，点的坐标 ，满足，所以点在直线上，C正确. 选项D，， 当时，，D错误. 40．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知复数，则以下说法正确的是（　　） A． B．的共轭复数 C．复数是方程的一个根 D．在复平面内与对应的点在第二象限 【答案】ABD 【详解】由，所以，故A正确； 的共轭复数，故B正确; 由，得，解得， 所以复数不是方程的一个根，故C错误； 在复平面内与对应的点为，在第二象限，故D正确. 41．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， 所以． （2）由，得，     即， 所以  ，解得，，  故． 42．（25-26高一下·广西河池·期中）已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）已知， ，化简可得， 所以，解得，因此，复数； （2）把代入方程中，得到， 整理得， 所以，解得， 所以． 题型九 在复数范围内届方程（共6小题） 43．（多选）（25-26高一下·河北石家庄·期中）若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为复数是方程的一个根， 所以复数是方程的另一个根， 所以，且， 即，． 44．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 45．（25-26高一下·上海·期中）已知复数，复数满足方程，求： (1)复数的值； (2)求（是的共轭复数）的值； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）复数，复数满足方程， 则，即，故， 则； （2）由（1）得，则， 故. 46．（25-26高一下·吉林·期中）（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）由于为纯虚数，故 且，解得， （2）,则， （3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根， 故，即， 则， 因此且，解得， 47．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 48．（25-26高一下·广东肇庆·期中）已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $