精品解析：2026年江苏盐城市康居路初中教育集团九年级中考一模数学试题

盐城市康居路初中教育集团2026届初三年级第一次模拟考试 数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 亲爱的同学们，数学是AI的基石，逻辑是未来的密码．愿你以严谨为刃、以沉着为盾，细心审题、规范作答，在数字与图形的世界里，用独立思考破解难题，用理性智慧书写答卷，不负耕耘！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 6. 如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 盐城是长三角地区首个“千万千瓦级”新能源基地，广袤的黄海滩涂上遍布着巨大的风力发电机．某风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 10. 分解因式∶________． 11. 如图，是的直径，点、在圆周上，若，则的度数是_________． 12. 已知一组数据1，4，6，8，6，则此组数据的中位数是_________． 13. 一个扇形的弧长是，半径为，则该扇形的面积是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为_________． 15. 如图，一个正多边形被撕掉了一块，若边、所在直线互相垂直，则原正多边形的边数为_________． 16. 如图，在平行四边形中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上．当时，求的值为_________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解一元一次不等式组：． 19. 先化简并求值：，其中． 20. 如图，在中，O为对角线的中点，经过点O并与分别相交于点E，F． （1）求证：； （2）当时，连接，试判断四边形是怎样的四边形？并证明你的结论． 21. 为了让学生更加了解盐城湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（，，，），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）本次参加测评人数为_________人，并补全条形统计图； （2）若该校九年级共有1000人，成绩为80分及以上记为优秀，请估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数； （3）现有成绩为等级的两位同学和等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． （1）求直线与双曲线的表达式； （2）点为双曲线的任一点，若，求点坐标； （3）若点，则当时，的取值范围是_________． 23. 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 24. 为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． （1）求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ （2）该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 25. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，则此时刻角的正切值_________； ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天14时不被阳光照射到，身高1.1米的小明将绿萝搬至14时刚好不被阳光照射到的地方，请通过计算判断他在绿萝摆放处站直时头顶是否会碰到摇臂？ 26. 在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．康居学堂数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： （1）如图1所示，抛物线C：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的函数表达式为_________． （2）如图2所示，抛物线C：与直线交于A、D两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点P是直线下方抛物线上的一动点，点P的对应点为点Q，连接交直线于点G． ①请判断点是否在翻折后的图象上； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． （3）如图3所示，将抛物线C：绕点逆时针旋转得到新的抛物线．已知点H的坐标为，如果不垂直于x轴的直线l：与抛物线交于点E、F，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 27. 【定义】在同一平面内，若两个面积相等的三角形有一个公共顶点，且它们在该公共顶点处的内角大小相等，则称这两个三角形为“共生等积三角形”，该公共顶点为这两个三角形的“共生点”．例如：如图1，在和中，若，，则和是以点为“共生点”的“共生等积三角形”． 【探究】运用上述定义探究下列问题： （1）如图2，和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”，且，，，，垂足为D．则： ①_________，_________； ②连接，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图3，若和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”，那么与是否相似？请说明理由． 【应用】借助以上结论或方法解决下列问题； （3）如图4，在中，，若和是以点B为“共生点”的“共生等积三角形”，点M在上，且．请用无刻度的直尺和圆规在图4中作出点N．（保留作图痕迹，不要写作法） （4）如图5，，，B为射线上一点，在的右侧作面积为的平行四边形，且，连接，则的最大值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市康居路初中教育集团2026届初三年级第一次模拟考试 数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 亲爱的同学们，数学是AI的基石，逻辑是未来的密码．愿你以严谨为刃、以沉着为盾，细心审题、规范作答，在数字与图形的世界里，用独立思考破解难题，用理性智慧书写答卷，不负耕耘！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数， ∴. 2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从物体上方看到的依次判断各个选项中几何体的俯视图即可． 【详解】解：A选项中俯视图是三角形，符合题意； B选项中俯视图是长方形，不符合题意； C选项中俯视图是圆，不符合题意； D选项中俯视图是圆，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项合并、同底数幂乘法、幂的乘方、二次根式加法的法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，与不是同类项，不能合并，A错误； 选项B，根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，可得，B错误； 选项C，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得，计算正确，C正确； 选项D，与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 4. 如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点得到三角形的中位线，然后利用中位线定理解题即可． 【详解】解：∵中，点D，E分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴． 5. 我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用方法和注意事项是关键． 用科学记数法表示数的形式为，其中，n为整数，逐一判断即可． 【详解】解：，只有选项C符合． 故选：C． 6. 如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，即可得出使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数是． 【详解】解：当， 则， 故， 即要使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数是． 7. 随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 8. 盐城是长三角地区首个“千万千瓦级”新能源基地，广袤的黄海滩涂上遍布着巨大的风力发电机．某风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质画出图形，找到规律，进而得出第2026秒时，点的对应点的坐标即可． 【详解】解：如图， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ， ∴， 在第一象限的角平分线上， ，，，，，，， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 点的坐标以每8秒为一个周期依次循环， ， 第2026秒时，点A的对应点的坐标与相同，为． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】采用平方法将无理数转化为有理数后比较，根据两个正实数，平方更大的原数更大得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ∵， ∴． 10. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如图，是的直径，点、在圆周上，若，则的度数是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 12. 已知一组数据1，4，6，8，6，则此组数据的中位数是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】先将给定数据按从小到大的顺序排列，再根据中位数的定义，奇数个数据的中位数为排序后最中间的数，即可求解． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：1，4，6，6，8，这组数据共有个，个数为奇数，根据中位数的定义，中位数为排序后第个数， 第个数为，因此此组数据的中位数是． 13. 一个扇形的弧长是，半径为，则该扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，其中为弧长，为半径，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，，， 根据扇形的面积公式可得． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，且， ∴与的位似比是， 点坐标为，点B在第四象限， 点B的坐标是． 15. 如图，一个正多边形被撕掉了一块，若边、所在直线互相垂直，则原正多边形的边数为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据正多边形的每个外角都相等，结合三角形的内角和定理求出，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：延长和交于点，如图， 由题意，得，， ∴ ， ∴正多边形的边数为． 16. 如图，在平行四边形中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上．当时，求的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】，延长交于点H，根据折叠的性质得，再根据平行四边形的性质得，设，则，根据勾股定理求出，可得，然后结合,可得，进而求出，接下来解直角三角形求出，可得，再设，根据勾股定理求出，即可得出，最后求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，延长交于点H， 根据折叠的性质得． ∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴． ∵, ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在中，，即， 解得， ∴ ． ∵， ∴ ， 即， 设，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解一元一次不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的解集，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质分别求出解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 19. 先化简并求值：，其中． 【答案】，-1 【解析】 【分析】先把分式化简后，再把a、b的值代入求出分式的值． 【详解】解：原式． 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练化简分式是解题的关键． 20. 如图，在中，O为对角线的中点，经过点O并与分别相交于点E，F． （1）求证：； （2）当时，连接，试判断四边形是怎样的四边形？并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定； （1）由证明，得对应边相等即可； （2）先由对角线互相平分证出四边形是平行四边形，再由，即可证出四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示：四边形是菱形； 理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 21. 为了让学生更加了解盐城湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（，，，），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）本次参加测评人数为_________人，并补全条形统计图； （2）若该校九年级共有1000人，成绩为80分及以上记为优秀，请估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数； （3）现有成绩为等级的两位同学和等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率是多少？ 【答案】（1）100，补全条形统计图见解析 （2）750人 （3） 【解析】 【分析】（1）因为C等级的人数和对应扇形占比已知，所以用C等级人数除以其占比即可得到总人数；再根据D等级占比求出D等级人数，用总人数减去A、C、D等级人数得到B等级人数，补全条形统计图． （2）因为优秀为A、B等级，所以先计算样本中A、B等级人数和占总人数的比例，再用九年级总人数乘该比例得到估计的优秀人数． （3）先列出所有等可能的抽取结果，再找出恰好抽到1名A等级和1名B等级的结果数，根据概率公式计算对应概率． 【小问1详解】 解：∵C等级有20人，占总人数的20%， ∴总人数为：  人， ∴ D等级人数： 人； B等级人数： 人． 补全条形图：B等级画高度为35的条形，D等级画高度为5的条形即可． 【小问2详解】 解：成绩80分及以上为优秀，即A、B等级为优秀，抽查中优秀人数占比为：  ， 估计九年级1000人中优秀人数为：  人． 答：估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数750人． 【小问3详解】 记2名A等级同学为​，2名B等级同学为​，列表得所有等可能的抽取结果： 共12种等可能的结果，其中恰好1名A等级、1名B等级的结果有8种， ∴恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率为 ． 答：恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率是​． (也可以去掉重复的结果共6种，恰好1名A等级、1名B等级的结果有4种，．方法不唯一．） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． （1）求直线与双曲线的表达式； （2）点为双曲线的任一点，若，求点坐标； （3）若点，则当时，的取值范围是_________． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线得，，解得，，故直线表达式为，将点代入双曲线得，，解得，，故双曲线的表达式为； （2）由（1）得，当时，，故点C的坐标为，又，故，从而，设点的坐标为，则，解得，，故点的坐标为或； （3）因为当时，的图像在的图像下方，所以当时，或． 【小问1详解】 解：将点代入直线得，， 解得，， 直线表达式为， 将点代入双曲线得，， 解得，， 双曲线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，， 点C的坐标为， 又， ， ， 点为双曲线的任一点， 设点的坐标为，则， 化简得，，则， 解得，， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点和点，当时，的图像在的图像下方， 当时，或． 23. 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由得，又，故，又，故，即，因此，故为的切线； （2）设，由，得，，从而，在中，，故，在中，，，，解得，或（舍去），故． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ，即，， ， 为的切线； 【小问2详解】 解：设， ，， ，， ， 在中， ， ， 在中，，， ，解得，或（舍去）， ． 24. 为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． （1）求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ （2）该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）编程机器人价格为850元；无人机价格为1000元 （2）购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 【解析】 【分析】（1）设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元；根据等量关系：用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同，列出分式方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台，由题中不等关系可确定m的取值范围；设购买两种设备的总费用为w元，根据题意可列出函数关系式，从而求得最小花费． 【小问1详解】 解：设编程机器人的单价为x元，则航拍无人机的单价为元； 由题意得：， 解得：， 经检验 是原方程的解，且符合题意， 则； 答：编程机器人价格为850元；航拍无人机价格为1000元； 【小问2详解】 解：设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台， 由题意得：，解得：； 设购买两种设备的总费用为w元，则， 整理得：； ∵，且， ∴当时，w最小，最小值为10800元； 此时购买航拍无人机为（台）； 答：购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 25. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，则此时刻角的正切值_________； ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天14时不被阳光照射到，身高1.1米的小明将绿萝搬至14时刚好不被阳光照射到的地方，请通过计算判断他在绿萝摆放处站直时头顶是否会碰到摇臂？ 【答案】（1）①，② （2）会，计算见解析 【解析】 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形和相似三角形的判定和性质即可得解． 【小问1详解】 解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ； ②如图，过点作于点， ，， 在中，， 即，解得， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 作交于点，交于点，则四边形和是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴他在绿萝摆放处站直时头顶会碰到摇臂． 26. 在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．康居学堂数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： （1）如图1所示，抛物线C：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的函数表达式为_________． （2）如图2所示，抛物线C：与直线交于A、D两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点P是直线下方抛物线上的一动点，点P的对应点为点Q，连接交直线于点G． ①请判断点是否在翻折后的图象上； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． （3）如图3所示，将抛物线C：绕点逆时针旋转得到新的抛物线．已知点H的坐标为，如果不垂直于x轴的直线l：与抛物线交于点E、F，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）①在，② （3）过定点，定点坐标为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先将原抛物线配方成顶点式，再根据“上加下减、左加右减”求解即可； （2）①反向思考，判断点关于直线的对称点是否在翻折前的抛物线上即可；②过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，则，可得∴为等腰直角三角形，则，设，其中，设，则，则，故，那么得到方程，则，即可求解的最大值，即可求解的最大值； （3）抛物线的对称轴为直线，由题意得，旋转点旋转前的对应点为点，设直线旋转前对应的直线为直线，那么点在抛物线的对称轴上，过点作于点，过点作于点，设直线，，联立直线与抛物线得， ，整理得， ，则 ，由题意得， ，则 ，那么得到，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴平移后的函数表达式为 ，即； 【小问2详解】 解：①设直线与轴交点为点，则， 当时，则，解得， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 设， 则轴， ∴ ， 设点关于直线的对称点为点， ∴ ， ∴点在轴上， 由对称可得，， ∴， 当时，， ∴点关于直线的对称点在抛物线上， ∴点在翻折后的图象上； ②联立抛物线与， 则 ， 解得或， ∴， 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，则， 由对称可得，，， 由题意得，轴， ∴ ， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，其中， 设，则， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：直线l过定点，定点为，理由如下： 抛物线，则对称轴为直线， 由题意得，旋转点旋转前的对应点为点，设直线旋转前对应的直线为直线，那么点在抛物线的对称轴上， 过点作于点，过点作于点， 设直线，， 联立直线与抛物线， 得， ， 整理得， ， ∴ ， 而 ， 由题意得， ， ∴ ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 或（舍）， 则 ， ∴直线 ， ∴直线经过定点， 则由旋转可得，直线经过点． 27. 【定义】在同一平面内，若两个面积相等的三角形有一个公共顶点，且它们在该公共顶点处的内角大小相等，则称这两个三角形为“共生等积三角形”，该公共顶点为这两个三角形的“共生点”．例如：如图1，在和中，若，，则和是以点为“共生点”的“共生等积三角形”． 【探究】运用上述定义探究下列问题： （1）如图2，和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”，且，，，，垂足为D．则： ①_________，_________； ②连接，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图3，若和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”，那么与是否相似？请说明理由． 【应用】借助以上结论或方法解决下列问题； （3）如图4，在中，，若和是以点B为“共生点”的“共生等积三角形”，点M在上，且．请用无刻度的直尺和圆规在图4中作出点N．（保留作图痕迹，不要写作法） （4）如图5，，，B为射线上一点，在的右侧作面积为的平行四边形，且，连接，则的最大值为_________． 【答案】（1）①；5；②，理由见解析 （2）相似，理由见解析 （3）见解析 （4）的最大值为 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理求得，利用等积法即可求解； ②由“共生等积三角形”的定义得到，结合，可证得，得到； （2）由“共生等积三角形”的定义得到，推出，可证得； （3）构造等边三角形，作于点N，点N即为所作； （4）构造平行四边形，使，，同理得到，求得，结合，由定弦定角知，点在以点为圆心，且的圆上，当点在射线上时，取得最大值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵和是以点A为“共生点”的“共生等积三角形”， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：相似，理由如下： 作于，作于， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴ ，即， ∵ ， ∴； 【小问3详解】 解：点N即为所作： 由（2）知 ， ∴ ， ∵， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：作于， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 构造平行四边形，使，， 则，， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， 由定弦定角知，点在以点为圆心，且的圆上， ∴作于，交于， ∴ ， ， ∴，， 作于， ∴四边形是矩形， ∴ ，， ， ∴， ∴ ， ∴， 当点在射线上时，取得最大值， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $