江苏省盐城市响水实验中学2024-2025学年九年级下学期调研数学试卷（3月份）

2024-2025学年江苏省盐城市响水实验中学九年级（下）调研数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知在中，，，，那么AB的长等于(    ) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，若与的相似比为1：2， 且点A的坐标是，则它的对应点的坐标是(    ) A. B. C. 或 D. 3.在中，，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使∽，根据下列作图痕迹判断，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，点G是的重心，四边形AEGD与面积的比值是(    ) A. B. C. D. 6.如图，，AD：：3，，则AE的长是(    ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 7.如图，先对折正方形ABCD，得到AB的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到AB的垂直平分线上.折叠后点D与点C重合，记为点O，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.如图1，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，当时，阴影部分的面积；如图2，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接OB，交A于AM于点C，当时，阴影部分的面积，则的值为(    ) A. 2 B. C. 10 D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______ 10.设，则______. 11.某坡面的坡度为1：，则坡角是______度. 12.如果，则锐角的余角是______度． 13.如图，正六边形螺帽的边长为2cm，则这个螺帽的面积是______ 14.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，，，点P是BC上的动点，则的最小值是______. 15.在如图所示的矩形ABCD中，两个阴影部分的面积分别是和，则矩形ABCD的面积为______ 16.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.则S与x的函数关系式为______；花圃面积最大是______平方米. 17.如图，在矩形ABCD中，，E是BC边上一点，且，连接若，则CE的长为______. 18.下列关于二次函数的四个结论：①当时，抛物线的顶点为；②该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为；④点、在该函数图象上，若，，则；其中正确的是______. 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 19.计算： 20.如图，在中，于点D，若，， 求DC边的长； 求的值． 四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题8分 如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标． 22.本小题8分 已知抛物线，解答下列问题： 用配方法将该函数解析式化为的形式； 请指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴. 填空：开口方向：______，顶点坐标：______，对称轴：______. 23.本小题8分 如图，已知点E，F在线段BD上，，，，求证： 24.本小题8分 计算： 25.本小题8分 在中， 如图①所示，，DE把分成面积相等的两部分，即，求线段AD的长. 如图②所示，，DE，FG把分成面积相等的三部分，即，求线段AD的长. 如图③所示，…，DE，FG，HK把分成面积相等的n部分，即…，请直接写出线段AD的长. 26.本小题8分 自选题：若P为所在平面上一点，且，则点P叫做的费马点. 若点P为锐角的费马点，且，，，则PB的值为______； 如图，在锐角外侧作等边连接求证：过的费马点P，且 27.本小题8分 某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用万元与年产量万件的平方成正比，且生产100万件时，费用是1000万元：该产品的销售单价元/件年销售量万件之间的函数图象是如图所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元毛利润=销售额-生产费用 请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式； 求w与x之间的函数关系式：并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？ 由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？ 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：，， ， 故选： 根据锐角三角函数的意义即可得出答案． 本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的前提． 2.【答案】C  【解析】解：与的相似比为1：2，且点A的坐标是， 它的对应点的坐标是：或 故选： 直接利用与的相似比为1：2，结合位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而得出答案． 本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负． 3.【答案】C  【解析】解：当CD是AB的垂线时，∽， ， ， ， ∽ 根据作图痕迹可知， A选项中，CD是的角平分线，不符合题意； B选项中，，不符合题意； C选项中，CD是AB的垂线，符合题意； D选项中，CD不与AB垂直，，不符合题意． 故选： 根据∽，可得，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可． 本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：选项C的三角形与已知三角形两边成比例夹角相等，这两个三角形相似． 故选： 根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似判断即可． 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方． 根据重心的定义得出D是AC的中点，E是AB的中点，DG：：3，进而得出，得出∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，进而根据，即可得出答案． 【解答】 解：如图，连接DE， 点G是的重心， 是AC的中点，E是AB的中点， ，， ∽， ， ， ， ， 点G是的重心， ：：3， ， ， 四边形AEGD与面积的比值 故选： 6.【答案】C  【解析】解：， ：：：3， ， 故选： 由平行线分线段成比例，得到AE：：：3，即可求出AE的长． 本题考查平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例推出AE：： 7.【答案】C  【解析】解：如图， 四边形ABCD是正方形， ，， 由翻折可知：，，，，，， 设，， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得， ， 故选： 根据四边形ABCD是正方形，可得，，由翻折可得，，，，，，，设，，根据勾股定理列出方程求出OE的长，再根据正切定义即可解决问题． 本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是利用勾股定理求出OE的长． 8.【答案】C  【解析】解：①， ∽， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ， ， ②设，， 由图可知：，，，， ， ， ， 即， 解得， 故选： 由题意得∽，再根据面积比等于相似比的平方求出，由得，结合求出；设，，则，，，，根据求出，即可得出结论． 本题考查了反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：经过大量重复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， 点落入黑色部分的概率为， 边长为4cm的正方形面积为， 设黑色部分面积为S，则， 解得 故答案为： 经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得点落入黑色部分的概率为，再计算出正方形的面积，进而可以估计黑色部分的总面积． 此题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握概率公式，知道点落入黑色部分的概率为 10.【答案】  【解析】解：， ， ， 可设，则， 故答案为 先由，可得，根据比例的基本性质得出，因而可以设，则代入求出的值． 本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．如果已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 11.【答案】60  【解析】解：设坡角是，则：， 则 故答案为： 坡面的坡度就是坡角的正切值，已知角的正切值，即可求得角度． 本题主要考查了坡度的定义，属于基础题，解答本题的关键是理解坡度与坡角之间的关系． 12.【答案】30  【解析】解：， 锐角的余角 先根据特殊角的三角函数值求，再根据互余两角的关系求解． 熟记特殊角的三角函数值． 13.【答案】  【解析】解：如图所示，设O为正六边形的中心，于点G， 由题意可得：； ， 是等边三角形，， ， ， ， 故答案为： 根据题意画出图形，由正六边形的特点求出的度数及OG的长，再由的面积即可求解． 本题考查了正多边形的计算问题，解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，过点B作射线BH，使得，过点P作，垂足为点E，则， 在中，， ， ， 过点O作 ，垂足为点F，则， ，垂线段最短， ，  的最小值为线段OF的长， 矩形ABCD的对角线交于点O，，， ， ， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ，， ， 在中，， 解得： 故答案为： 过点O作 ，由此可证得，根据垂线段最短可得的最小值为线段为OF的长，再利用特殊角的三角函数值及矩形性质进行计算即可求得答案． 本题考查了胡不归问题，矩形的性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 15.【答案】30  【解析】解：过点O  作，延长EO交BC于点F， ， ，， ∽， ， ， 设，则，设，则，， ， ， 故答案为： 过点O 作，延长EO交BC于点F，证明∽，得到，设，则，设，则，，由得到，则，即可得到答案． 此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，正确进行计算是解题关键． 16.【答案】  36  【解析】解：米， 米， ； ， ， 当时，S有最大值为36平方米． 故答案为：， 根据AB为xm，BC就为，利用长方形的面积公式，可求出关系式，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长． 本题考查了二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． 17.【答案】29  【解析】解：如图，过点E作于点F， 在中，，， 根据勾股定理，得 ， 在中，， ， 设， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得或舍去， 的长 故答案为： 过点E作于点F，根据勾股定理可得AE的长，设，利用锐角三角函数定义列出方程求出x，即可得CE的长． 本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题关键． 18.【答案】①②④  【解析】解：①将代入二次函数解析式得，， 抛物线的顶点为，故①正确； ②， 该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点，故②正确； ③， 二次函数的最小值为：， 该函数的最小值的最大值为，故③错误； ④点、在该函数图象上，若，， 当时，y随x的增大而增大，此时； 当时，，整理得，故④正确； 故答案为：①②④． ①将代入二次函数解析式，并化为顶点式即可；②根据可以判断；③先求出二次函数的最小值，再利用二次函数的性质求出其最大值；④需要分情况讨论，再进行判断． 本题主要考查了二次函数的性质，是一道比较基础的题目，利用二次函数的性质解答是解题的关键 19.【答案】解：原式  【解析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】解：， 是直角三角形． 在中， ，， ，， 在中，   【解析】利用的正切在直角三角形的边角间关系求出CD； 利用勾股定理求出AB，再求的余弦值． 本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 21.【答案】解：如图所示，新图形为四边形， 新图形各点坐标分别为，，，  【解析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使各边都扩大2倍，再根据O为原点，写出新图形各点的坐标即可． 此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 22.【答案】向上，，直线  【解析】解：； ，，， 该函数图象的开口向上；顶点坐标是；对称轴是直线； 故答案为：向上，，直线 先提2，然后利用配方法将二次函数化为的形式； 根据二次函数的二次项系数判断该函数图象的开口方向，由二次函数的顶点式找出其顶点坐标、对称轴． 本题主要考查的是二次函数的一般形式的关系式与顶点式关系式的转化方法，及二次函数的性质． 23.【答案】解：， ， 又，， ， ，， ， ∽， ，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.【答案】  【解析】解： 先根据有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、算术平方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可． 本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 25.【答案】解：， ， ， ∽， ， ， ， ， ∽， 由知，  【解析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，可推出AD：，从而求出AD的长度； 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，可推出AD：，从而求出AD的长度； 观察可得，AD长度的求解规律为，即 本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质，掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质是解题的关键． 26.【答案】  【解析】解：， ， ， 又， ∽， ， ， ； 证明：在上取点P，使连接AP，再在上截取，连接 ， ， 为正三角形， ，， 为正三角形， ，， ， ， ≌， ，， ， 为的费马点． 过的费马点P，且 由题意可得∽，所以，即； 在上取点P，使，连接AP，再在上截取，连接由此可以证明为正三角形，再利用正三角形的性质得到，，，而为正三角形，由此也可以得到，，现在根据已知的条件可以证明≌，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论． 此题考查了等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰等边三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数． 27.【答案】；；   ，年产量为75万件时，毛利润最大，最大毛利润为1125万元；   今年最多可获得1080万元的毛利润．  【解析】解：该产品的生产费用万元与年产量万件的平方成正比， 设函数解析式为：， 在函数图象上代入得：， 故y与x之间的函数关系式为：， 由图可知：函数经过、， 设， 则， 解得：， 故z与x之间的关系式为：； 由题意得： ， ， 当时，W有最大值1125， 年产量为75万件时，毛利润最大，最大毛利润为1125万元； 令，得， 解得：或舍， 当时，， ， 当，W随x的增大而增大， 当时，W有最大值1080万元， 今年最多可获得1080万元的毛利润． 根据已知可函数解析式为：，然后把代入进行计算，再利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； 根据毛利润=销售额-生产费用进行计算，即可解答； 利用的结论进行计算，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$