陕西省安市藤信高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

高一数学参考答案 1.B15是样本量. 2.AA选项中的几何体为四棱锥，B,C,D选项中的几何体均不是棱锥 3.C社区这200名居民每周的锻炼时长平均数估计为1200X)10800X4=7.6小时. 2000 4.C“1⊥m”是“α⊥”的既不充分也不必要条件 5.DA-A应+励-+号成-+号C-A)=a+号Ad 6.B过B,C分别作AC,AB的平行线，使之交于点E,则 ∠DBE=135°，BE=AC=√2，CE=2,DE2=BD2+BE2- 2BD·BEcos,∠DBE=10.由CE∥AB,AB⊥平面BDE,可 得CE⊥平面BDE,则CE⊥DE,则CD=√CE+DE= 14. 7.A如图，由题可知，∠BAC=127°，AB=15海里，AC= 6海里，则cos∠BAC=cos(180°-53)=-cos53°.因为sin53° =0.8,所以cos53°=0.6，则cos∠BAC=-0.6,所以BC2= AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=369,则BC=3√41海里.设救援船的航行速度为v海 里/小时，则1.5v≥3√41，得v≥2√4红. 8.D记P为所求交线上一点，由题意得√AA+A1P=√2I,解得A1P=2√3.记所求交线 分别与B,C,C,D1交于点M,N,则A1M=A1N=23,∠B1A1M=∠DA1N=否，所以 ∠MA1N=否，所求交线长为君X23- 3 9.BC一个棱锥至少有4个面是三角形，A不正确.以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所 得的旋转体为圆柱，B正确.四棱柱共有8个顶点，C正确.直四棱柱的四个侧面均为矩形，D 不正确. 10.ACD 因为：-1与片-1-1+i,所以=1一11=2，在复平面内对应的点 位于第一象限， 11.BC连接AC,记AC∩BD=O,连接OC1.OC=OA=OC1.若AC1 ⊥平面BDC1,则AC1⊥OC1,则AC+OC=OA2,AC1=0,不符合 题意，A错误，B正确. 菱形ABCD的棱长为a,设AC1的中点为E,连接BE,DE.在 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 △ABC1,△ADC1中，分别有BE⊥AC1,DE⊥AC1.若平面ABC1⊥平面ADC1,则BE⊥ DE,BE=DE-号BD-号，AC,-2AE=2VABB吧-Ea.因为AC∈0w3a,所 以存在点C1,使得平面ABC1⊥平面ADC1,C正确，D错误 12.10 可知人工智能部门被抽取的人数为65×0=30，软件开发部门被抽取的 为65×0=20，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是30一 20=10. 13.2√5由题意可得AB=2,AC=2√2，∠BAC=90°，则BC=√AB2+AC=2√3. 14.8因为a=|b1=|a十b=4,所以向量a与b的夹角为120°.设OA=a,OB=b,0C= c,则O,A,B,C四点共圆.当OC为该圆的直径时，c最大，最大值为8. 15.解：(1)因为a/仍，所以-2X(-2)-x=0,解得x=4.…3分 (2)因为a⊥b,所以a·b=-2-2x=0,解得x=-1. 6分 (3)a…b=-2-2x,a=√5，b|=√4十x2.…9分 a·b 2√5 因为cos(a,b》=a6,所以二2二2x。2 一，解得x= 2, …11分 √5X√4+x2 所以161=√-2)2+(2)-8 …13分 16.解：(1)因为容器的上、下底面半径分别为4cm和10cm,高为6cm,所以容器的上、下底面 面积分别为16πcm和100πcm2, …3分 则容器的容积为3(16π十100π十40元)×6=312元cm3.…7分 (2)设水面半径为rem,水面高度为五cm,则。_6。产，得，一4=6-无.…10分 因为r=h,所以r=h=5.…11分 倒人容器中的水的体积为3(25π十100m十50x)X5=875r。 3 m3.…15分 17.证明：(1)取PD的中点M,连接EM,CM.…2分 因为E是PA的中点，所以EM/AD,EM=2AD. …3分 又底面ABCD是矩形，F是BC的中点，所以CFAD,CF=2AD, …4分 则CF/EM,CF=EM,… …5分 所以四边形EFCM为平行四边形，则EFCM.… …6分 因为CMC平面PCD,EF中平面PCD,所以EF平面PCD.…7分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 (2)过P作PN⊥AD,垂足为N,连接CN.…9分 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以 PN⊥平面ABCD. 又BDC平面ABCD,所以PN⊥BD.…10分 由PA⊥PD,PA=PD=CD,可得N为AD的中点，且AD= √2CD,…11分 厂则=，则BDCN. 13分 因为PN∩CN=N,所以BD⊥平面PCN.…14分 又PCC平面PCN,所以BD⊥PC.…15分 l8.解：(I)因为atan A=btan B,所以sin Atan A=sin Btan B, 则sin2Ac0sB-sin2 Bcos A=0,…1分 则(1-cos2A)cosB-(1-cos2B)cosA=(cosB-cosA)(1十cos Acos B)=0.·2分 因为-1<cosA<1,-1<cosB<1,所以-1<cos Acos B<1,…3分 则1十cos Ac0sB>0,则c0sB一c0sA=0,即A=B,…4分 从而△ABC为等腰三角形.…5分 (2)(1)因为△ABC的面积为2，所以号binC=2 6分 又u=6-雪所以写snG=1,博5nC-2,则G=1 7分 由余弦定理知c2=a+-2 bC=2a2(1-6msC)-91-casC. …9分 当cosC=时，c2-号， 3，得… 10分 当cosC=-号时，c2=6,得c=6. 11分 （1)由(1)可得a2sinC=1,则c2=2a2(1-cosC)=21-cosC2 4sr号 sin C C 2sin 2cos 2 0 2tan 2' …13分 c<, 因为△ABC为锐角三角形，且A=B,所以 15分 解得0<C<受，则0<号<音，则0<am1, …16分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 则0<c2<2,故c的取值范围为(0，√2).…17分 19.(1)证明：由三棱柱的性质可知A1B1=B1C1=4. 因为D是棱A1C1的中点，所以B1D⊥A1C1.…1分 因为AB⊥BC,所以A1B1⊥B1C1,所以A1C1=42,则B1D=22.…2分 连接AD,AB1. 因为AA1=A1B1=4,∠AA1B1=60°，所以AB1=4.… …3分 因为AA1=4,A1D=2√2，∠AA1C1=45°，所以AD=2 √2， 所以AB=B1D2+AD2,所以AD⊥B1D.… …4分 因为ADC平面AA1C1C,A1C1C平面AA1C1C,且AD∩A1C1=D,所以B1D⊥平面 AA1C1C.… 5分 (2)解：过点D作DH⊥A1C,垂足为H,…6分 连接B1H,则∠B1HD为所求作的二面角的平面角.…7分 理由如下：由(1)知B1D⊥平面AA1C1C,则B1D⊥A1C.又DH∩B1D=D, 所以A1C⊥平面B1DH.… …8分 因为B1HC平面B1DH,所以A1C⊥B1H,则∠B1HD为二面角B1-A1C-C1的平面角. …9分 (3)解：连接AC1.因为AA1=4,A1C1=4W2,∠AA1C1=45°，所以△AA1C1的面积S1= 号×4X4恒×号-8，则三棱维BAA,C:的体积V-号s,·BD-号×8×22 16W2 3 …10分 因为AA=A,B:=4,∠AA,B=60,所以△AA,B的面积S,=号X4X 2 =43, 设点G到平面AM,BB的距离为d,则三楼维CAAB,的体积=3S,·d= 3 …11分 因为V=,所以1 3,解得d=4V6 …12分 4√6 因为CE/平面AA1B,B,所以点E到平面AABB的距离为3， …13分 假设存在满足条件的点E,连接B1E. 设B,E与平面A,B,B所成的角为0，则am0-25,所以s血g= 2 3· …14分 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 设C1E=x,则∠B1C1E=180°-60°=120°，B1E=√42十x2-2·4x·c0s∠B1C1E= W/x2十4x十16.…15分 4√6 因为sin0=B1E所以 3,解得x=23-2 …16分 /x2+4x+16 故存在满足条件的点E,且C1E=2√3一2. …17分 ▣回 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】高一数学 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 浓 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章9.1。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.某地消防局从辖区内的50家餐饮店中抽调了15家，对其进行消防安全检查.在这个问题中，15是 A.样本 B.样本量 C.个体 D.总体 阳 2.下列几何体中为棱锥的是 拟 封 A B D 3.某社区共有1200名老年居民和800名中青年居民，通过分层随机抽样的方法，得到老年居 贸 民、中青年居民每周的锻炼时长的平均数分别为10小时和4小时，则社区这2000名居民每 周的锻炼时长平均数估计为 A.7小时 B.7.2小时 C.7.6小时 D,8小时 4.已知a,B是两个不同的平面，直线lCa,直线mCβ，则“l⊥m”是“a⊥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 线 5.若A,B,C,D是同-平面内四个不同的点，且BC=3CD,则AD= A菇+G B+号ad 钓 C.-B+5AG D-号a+号Ad 6.如图，二面角a-l-3的大小为135°，A∈l,B∈l,C∈a,D∈B, AC⊥L,BD⊥L,且AB=BD=2,AC=√2，则CD= A.2√3 B.√14 C.4 D.3√2 【高一数学第1页（共4页）】 7.位于某海域A处的观测站获悉，在其正东方向相距15海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等 待救援.观测站立即将消息告知位于观测站西偏南53°，且与观测站相距6海里的C处的救 援船，救援船收到消息立即前往救援.若援船要在1.5小时之内赶至渔船遇险处，则救援船 的航行速度不低于（参考数据：取sin53°=0.8） A.2√41海里/小时 B.6√5海里/小时 C.3√41海里/小时 D.9√5海里/小时 8.已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为3，以A为球心，√21为半径的球的球面与平面 A1B,CD1在四边形A1B,CD1内的交线长 A. B.π c 号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是 A.存在一个棱锥有且只有3个面是三角形 B.以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱 C.四棱柱共有8个顶点 D.有一个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 10.已知复数z满足z=,则 A.z的虚部为1 B.z=-1+i C.|z|=√2 D.之在复平面内对应的点位于第一象限 1.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠C=子，以BD为折痕把△BCD折起，使点C到达点 C1的位置，则下列结论正确的是 A.存在点C1,使得AC1⊥平面BDC1 B.不存在点C1,使得AC1⊥平面BDC C.存在点C1,使得平面ABC1⊥平面ADC1 D.不存在点C1,使得平面ABC1⊥平面ADC1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180,240， 360.现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度， 则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是 13.如图，△A'B'C'是用斜二测画法绘制的水平放置的△ABC的直观 图，A'C∥y轴，A'B'∥x轴，且A'B'=2,A'C'=√2，则边B'C所对 应的边BC=▲ 14.已知向量a,b,c满足|a=|b|=|a十b1=4,且向量a一c与b-c的夹 角为60°，则|c的最大值是△ 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分) 已知向量a=(1,一2)，b=(一2，x) (1)若ab,求x的值； (2)若a⊥b,求x的值； (3)若cos(a,b)=- 25 ,求1b1. 16.(15分) 已知某圆台形容器的上、下底面半径分别为4cm和10cm,高为6cm,容器壁厚度忽略不计. (1)求该容器的容积； (2)往该容器内倒人一定量的水，将容器下底面朝下水平放置，若水面半径与水的高度相等， 求倒人容器中的水的体积. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA =PD=CD,E,F分别为PA,BC的中点. (1)证明：EF平面PCD, (2)证明：BD⊥PC. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a tan A=btan B. (1)判断△ABC的形状并说明理由. (2)已知△ABC的面积为2 (1)若a= 3,求c的值； (Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，求c的取值范围. 欧 19.(17分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1=4,AB⊥BC,∠AA1B1=∠BB1C1= 60°，∠AA1C1=45°，D是棱A1C1的中点 (1)证明：B1D⊥平面AA1C1C. 封 (2)在答题卡中作出二面角B1~A,C-C,的平面角，并写出作法与理由 2√5 (3)在棱CC上是否存在一点E,使得B,E与平面AA1B1B所成角的正切值为号？若存 在，求出C,E的长度；若不存在，请说明理由， B 线 【高一数学第4页（共4页）】