解答题专训02 解三角形（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以正余弦定理为核心，构建“方法提炼-题型通法-分层训练”三阶体系，强化解三角形与三角函数综合应用及创新问题突破，培养数学推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|6类核心方法|涵盖正余弦定理、面积公式及最值、不等式、多边形问题解题步骤|从基础定理到应用策略，形成“定理-变形-应用”递进逻辑| |题型通法及变式提升|3题型+6变式|提炼解三角形、与三角函数结合、创新问题的通法，强调边角转化与新定义转化|题型从基础到综合再到创新，对应知识从单一到交叉应用| |重难专题分层过关练|8巩固+2创新|巩固题强化通法应用，创新题融入新定义与实际情境|分层训练匹配一轮复习需求，兼顾基础夯实与能力提升|

解答题专训02 解三角形 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 解三角形 2 题型2 解三角形与三角函数 2 题型3 解三角形与三角函数创新问题 3 重难专题分层过关练 3 巩固过关 4 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. 2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3.三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 4.解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤 （1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围； （2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； （3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值. 5.证明与三角形有关的等（不等）式的一般思路 （1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等（不等）式转化为以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等（不等）式； （2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B⇔sin A＞sin B；③a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明. 6.利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略 （1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解； （2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 题型通法及变式提升 题型1 解三角形 【典例1】（2026·北京东城·二模）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积. 利用正、余弦定理解三角形的解题策略 （1）涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理； （2）涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形； （3）涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题，求三角形面积时用S＝absin C形式的面积公式. 【变式1】（2026·北京朝阳·二模）在中，，． (1)求的值； (2)已知的面积为，求的周长． 【变式2】（2026·北京西城·一模）已知的面积，且． (1)求C的大小； (2)记的周长为．给出的解析式，并求其最大值． 题型2 解三角形与三角函数 【典例2】（2026·北京大兴·一模）已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及在内的单调递增区间； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为，若，，，求a的长． 用正弦定理化边为角，结合内角和与已知角关系得角的范围，将比值化为角的函数。用正余弦关系得到角的方程，求得具体角或范围，再代回目标函数求最值或范围。最终化为三角函数在给定区间内讨论。 【变式1】（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求的最小正周期和值域 ； (2)设中，，，，求的面积 ． 【变式2】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，若的平分线交于，求的长. 题型3 解三角形与三角函数创新问题 【典例3】已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. (1)记的相伴函数为，当时，若，求的值； (2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值； (3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值. 解决解三角形新定义问题的思路 (1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义； (2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中； (3)利用三角函数、解三角形的公式、性质解答问题. 【变式1】如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. (1)在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； (2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 2．（2026·北京·三模）在锐角中，已知 (1)求角； (2)若，，求的面积． 3．（2026·北京海淀·一模）在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 4．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求的面积． 5．（2026·广东东莞·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)设，，求的值. 6．（2026·北京·三模）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，点在边上且，求线段的长． 7．（2026·北京西城·二模）已知函数．在中，，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 8.（2026·山东德州·二模）在凸四边形中，已知，. (1)求的值； (2)求的值. 创新提升 1.（2026·北京通州·期中）是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 2. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， (1)若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训02 解三角形 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 解三角形 2 题型2 解三角形与三角函数 4 题型3 解三角形与三角函数创新问题 6 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 14 解题方法及技巧提炼 1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. 2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3.三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 4.解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤 （1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围； （2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； （3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值. 5.证明与三角形有关的等（不等）式的一般思路 （1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等（不等）式转化为以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等（不等）式； （2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B⇔sin A＞sin B；③a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明. 6.利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略 （1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解； （2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 题型通法及变式提升 题型1 解三角形 【典例1】（2026·北京东城·二模）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积. 【解】（1）已知，，所以， 由得，等式两边同乘（三角形内角正弦值为正，可约去）， 得：，代入，得； （2）由，，得 由正弦定理，得，解得， 由余弦定理，得，整理得， 解得正根（负根舍去）， 三角形面积. 利用正、余弦定理解三角形的解题策略 （1）涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理； （2）涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形； （3）涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题，求三角形面积时用S＝absin C形式的面积公式. 【变式1】（2026·北京朝阳·二模）在中，，． (1)求的值； (2)已知的面积为，求的周长． 【解】（1），， 两式相除得，由正弦定理得， 即，又，故，所以， 又，解得， ，故； （2）的面积为，即， 又，所以， 由（1）知， 由余弦定理得， 解得， 故的周长为. 【变式2】（2026·北京西城·一模）已知的面积，且． (1)求C的大小； (2)记的周长为．给出的解析式，并求其最大值． 【解】（1）由余弦定理和面积公式得：，， 代入可得：，化简得：， 又因为在三角形中，，所以. （2）设为三角形外接圆半径，则由正弦定理可得：，则， 所以，， 则三角形周长为： 其中，所以，代入可得： ， ，其中 所以，则当，即时，取得最大值， 所以. 题型2 解三角形与三角函数 【典例2】（2026·北京大兴·一模）已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及在内的单调递增区间； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为，若，，，求a的长． 【解】（1）由题意得 ，即， 所以最小正周期为，令， 解得，令，可得， 令，可得，又因为，所以， 当时，为， 当，为， 当，为， 综上，在内的单调递增区间为，，． （2）因为，所以， 即，，解得， 又，故，因为，所以， 解得，又， 由余弦定理得 ，故． 用正弦定理化边为角，结合内角和与已知角关系得角的范围，将比值化为角的函数。用正余弦关系得到角的方程，求得具体角或范围，再代回目标函数求最值或范围。最终化为三角函数在给定区间内讨论。 【变式1】（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求的最小正周期和值域 ； (2)设中，，，，求的面积 ． 【解】（1）， 所以函数的最小正周期为， 因为，所以函数的值域为； （2）因为，所以， 因为，所以，，， 因为，，所以， . 【变式2】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，若的平分线交于，求的长. 【解】（1）因为， 所以的最小正周期为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. （2）因为，则，即，所以， 解得，又，所以，又的平分线交于，， 由，即， 得到，解得. 题型3 解三角形与三角函数创新问题 【典例3】已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. (1)记的相伴函数为，当时，若，求的值； (2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值； (3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值. 【解】（1）依题意，， 由，可得， 因，则，故， 于是； （2）依题意，，其中，， 因函数在时取得最大值，则，解得， 即，则，， 由 ， 因，函数在上单调递减， 故当时，取得最小值，此时取得最小值为； （3）依题，则，因，则. 如图作于点，因点为的外心，则， 如图， ， 则， 由正弦定理，，则，则， 因，则当时，取得最大值为. 解决解三角形新定义问题的思路 (1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义； (2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中； (3)利用三角函数、解三角形的公式、性质解答问题. 【变式1】如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. (1)在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； (2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【解】（1）①因为， ， 所以； ②由，即， 得， ， ， 因为与的夹角为， 则，得； （2）依题意设， ， 因为为中点，则， 为中点，所以， 所以 ， 因为， 则， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式得， ， 在中，由正弦定理， 设，则， ，其中，是取等号， 则. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【解】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 2．（2026·北京·三模）在锐角中，已知 (1)求角； (2)若，，求的面积． 【解】（1）因为， 由正弦定理的边角互化可得，即， 由余弦定理可得， 且为锐角三角形，所以. （2）因为，，由余弦定理可得， 即，解得或， 因为为锐角三角形，当时，边最大，所以角为最大角， 而， 此时角为钝角，与为锐角三角形矛盾，故； 当时，边最大，所以角为最大角， 而，此时角为锐角， 所以符合条件. 所以. 3．（2026·北京海淀·一模）在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 【解】（1）因为，由正弦定理可得， 又，所以，得到，即， 所以，又因为，所以，得到. （2）由（1）知，所以，又，得到①， 又，得到代入①式，得到， 所以的面积为. 4．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求的面积． 【解】（1）由， 所以的最小正周期为. （2）由，则，， 即，，又，所以. 因为，所以， 由正弦定理得，， 即，即. 又， 所以的面积为． 5．（2026·广东东莞·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)设，，求的值. 【解】（1）在中，由正弦定理得：， 因为，所以，可得， 即，，又，可得； （2）在中，由余弦定理得：， 由，以及，可得， 因为，所以A是锐角，所以， 因此，， 所以，， 综上，，. 6．（2026·北京·三模）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，点在边上且，求线段的长． 【解】（1）在中，由正弦定理得：，可得， 又，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，可得． （2）因为的面积为，，由（1）知， 所以，得， 所以，可得， 所以，所以． 在直角中，， 可得. 7．（2026·北京西城·二模）已知函数．在中，，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解】（1）解：由函数， 因为，可得， 在中，因为，所以， 又因为，所以，所以，解得， 因为，所以. （2）解：由（1）知，因为的面积为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 整理得，所以， 即，所以， 所以的周长为. 8.（2026·山东德州·二模）在凸四边形中，已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【解】（1）如图，过分别作直线的垂线，垂足分别为，易知， 因为，所以，所以， 在直角中，. （2）在直角中，由勾股定理知. 在直角中，因为，所以. 于是有， 在中，由余弦定理可知. 所以的值为. 创新提升 1.（2026·北京通州·期中）是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即 解得或（舍去）， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 2. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， (1)若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【解】（1）①由正弦定理得，即， 所以，又， 所以； ②由①，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 ； （2）因为， 所以， 所以，即， 所以或， 当时，，为直角三角形， 当， 则， 得，在三角形中不可能成立， 所以为的直角三角形， 因为点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $