爪形三角形的研究专项训练-2026届高三数学一轮复习

爪形三角形的研究 1．(2024·福州、厦门三检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinC＝csinB，C＝． (1) 求角B的大小； (2) 若△ABC的面积为，求BC边上中线的长． 2．(2025·漳州一检)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足__ __． 请在①(a－b)sin(A＋C)＝(a－c)(sinA＋sinC)；②sincos＝，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题． (1) 求角C的大小； (2) 若△ABC的面积为5，D为AC的中点，求BD的最小值． 3．(2025·亳州期初)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝2sin． (1) 求角B的大小； (2) 若△ABC的面积为，AC边上的高为1，求△ABC的周长． 4．(2025·唐山期初)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A＋cos2A＝2，b＝a． (1) 求角B的大小； (2) 若B为锐角，AC边上的高为＋，求△ABC的周长． 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(acosC＋ccosA－2a)cosC－ccos(A＋C)＝0． (1) 求角C的大小； (2) 若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝1，求3a＋b的最小值． 6．(2024·河南济、洛、平、许三模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，且a≠c． (1) 求证：B＝2C； (2) 若∠ABC的平分线交AC于点D，且a＝12，求线段BD的长度的取值范围． 爪形三角形的研究 1. 【解答】 (1) 由正弦定理及a sin C＝c sin B，可得sin A sin C＝sin C sin B，因为sin C≠0，所以sin A＝sin B，所以A＝B或A＋B＝π(舍去).因为C＝，所以B＝. (第1题) (2) 因为B＝，C＝，A＝，所以a＝b，所以S△ABC＝ab sin C，即＝a2·，解得a＝b＝.由正弦定理＝，得c＝＝3.如图，设BC边的中点为D，连接AD，因为2＝＋，即(2)2＝(＋)2，即4AD2＝c2＋b2＋2bc cos A＝9＋3＋2××3×，解得AD＝. 2. 【解答】 (1) 若选择条件①，则(a－b)sin (A＋C)＝(a－c)·(sin A＋sin C)，即(a－b)sin B＝(a－c)(sin A＋sin C)，由正弦定理可得(a－b)b＝(a－c)(a＋c)，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.又C∈(0，π)，所以C＝. 若选择条件②，则sin (－C)cos ＝，即sin [－(＋C)]cos (C＋)＝，所以cos2＝.由C∈(0，π)，则<C＋<，则cos＝－，C＋＝，则C＝. (2) 方法一：由S＝ab sin C＝ab×＝5，解得ab＝20.又＝＋，所以2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝a2＋2a×b×＋＝a2＋－ab≥ab－ab＝ab＝10，所以||≥，当且仅当a＝，b＝2时等号成立，所以BD的最小值是. 方法二：因为S△ABC＝5，D为AC中点，所以S△BDC＝S△ABC＝＝·a·b·sin ，得ab＝20.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos C＝a2＋b2－ab≥2a·b－ab＝ab＝10，所以BD≥，当且仅当a＝，b＝2时等号成立，所以BD的最小值是. 3. 【解答】 (1) 由＝2sin ，得cos A＝2cos B·①.由A＋B＋C＝π，得cos A＝－cos (B＋C)＝－cos B cos C＋sin B sin C②.联立①②，得sin B sin C＝cos B sin C.由C∈(0，π)，得sin C≠0，所以tan B＝.由B∈(0，π)，得B＝. (2) 因为△ABC的面积为，所以b×1＝，得b＝2.由ac sin B＝，即ac×＝，得ac＝4.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即12＝a2＋c2－ac，所以(a＋c)2＝3ac＋12＝24，可得a＋c＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2. 4. 【解答】 (1) 易知sin 2A＋cos 2A＝2sin ＝2⇒sin ＝1，所以2A＋＝＋2kπ，k∈Z，A＝＋kπ(k∈Z).因为在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，所以A＝，由b＝a，得sin B＝sin A＝，则B＝或B＝. (2) 由题意及(1)可知A＝，B＝，则C＝π－－＝.如图，作BD⊥AC，则BD＝＋，∠BCD＝，∠CBD＝，所以sin A＝＝，则AB＝2＋2，cos ∠CBD＝cos (－)＝×＋×＝＝，则BC＝4.由正弦定理得AC＝＝4，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝2＋2＋4＋4＝6＋2＋4. (第4题) 5. 【解答】 (1) 由(a cos C＋c cos A－2a)cos C－c cos (A＋C)＝0，得(sin A cos C＋sin C cos A－2sin A)cos C－sin C cos (A＋C)＝0，即(sin B－2sin A)cos C＋sin C cos B＝0，sin B cos C－2sin A cos C＋sin C cos B＝0，则sin (B＋C)－2sin A cos C＝0，故sin A－2sin A cos C＝0.又A∈(0，π)，则sin A≠0，所以cos C＝.又C∈(0，π)，所以C＝. (2) 因为∠ACB＝，∠ACB的平分线交AB于点D，所以∠ACD＝∠BCD＝.由三角形的面积公式可得ab sin ＝a×1×sin ＋b×1×sin ，化简得ab＝a＋b.又a>0，b>0，所以＋＝，则3a＋b＝(3a＋b)＝(4＋＋)≥×(4＋2)＝＋2，当且仅当b＝a且＋＝时取等号，故3a＋b的最小值为＋2. 6. 【解答】 (1) 由题及余弦定理可得＝＝，故b＝2c cos C.由正弦定理得sin B＝2sin C cos C＝sin 2C.所以在△ABC中，B＝2C或B＋2C＝π.若B＋2C＝π，又B＋A＋C＝π，故A＝C，又a≠c，所以A≠C，故B＋2C＝π不满足题意，舍去，所以B＝2C. (2) 如图，在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝，所以BD＝＝＝.因为△ABC是锐角三角形，且B＝2C，所以得<C<，则<cos C<，所以4<BD<6，所以线段BD长度的取值范围是(4，6). 　 (第6题) 学科网（北京）股份有限公司 $