陕西西安市藤信高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 中 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第八 弥 章第一节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若C2,=C1(x∈N),则x= A.12 B.13 C.14 D.15 2.若随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=2一5P(X=0),则P(X=0)= A司 B. 1 c号 1 D. 3.已知等差数列{am}满足a1十a2十a30=123,则a7十a15= A.82 B.41 C.83 D.84 4.若随机变量X~N(4,o2),且P(X≤100)+P(X≤40)=1，则= A.60 B.70 C.80 D.90 5.某博物馆文保中心有4名实习生，需分配到碑刻拓印、金石传拓、裱装整理3个岗位，每个岗 位至少1人，每人只负责1个岗位，则不同的分配方案种数为 A.40 B.36 C.24 D.48 6.深海沉积微体化石取样，单份样本完整可用的概率为0.6，各样本是否完整可用相互独立，现 随机抽取n(n∈N·,n≥2)份样本，设这n份样本中完整可用的样本份数为X,若D(10X)= 线 360,则n= A.120 B.12 C.150 D.15 7.若函数f(x)=mx2+12x一2lnx在(0,1)上存在单调递增区间，则m的取值范围为 举 A.(-9,0) B.[-9,0） C.(-9,十∞) D.（-∞，-9) &若率件A,B满足PCA)=号PB1A)=2[A]- =a0十a1(x-1)十a2(x-1)2+… 十a1o(x-1)10,则a1十2a2+…+10a10= A.8×520 B.8X519 C.2×520 D.520-510 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别 为r1r23r4,则 7 6 6 。° w0:. 。●0 4 3 3 。 3 .8 3 2f ● 9 2 1 1。 1 046片文03456片046703467立 图1 图2 图3 图4 A.0<r1<r2 B.r3<r4<0 C.r3<0<r1 D.r4<0<r2 10.已知函数x)=青f1nx-x,则 A.f'(1)=6 B.f(x)恰有2个零点 C.f(x)恰有2个极值点 D.曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=6x一7 1已知数列a,小的前n项和为S,且满足号+学+导+…+号=3””一，且对任意 3”3” n∈N·,不等式4Sn十λ≥(-1)"2λ+1恒成立，则 A.{an}为等差数列 B.S1o=1000 C.1+1++1=0 aja2 aza3 a1oa1121 D.λ的取值范围为[-1,5] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.(x一y)10的展开式的第3项是▲· 13设随机变量X的分布列为P(X=k)=ak(k=1,3,6),则常数a=▲_， P(|X-3>1)=▲ 14.图中矩形的个数为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知递增的等比数列{an}满足a1=2,且4a2,5a3,4a,成等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)求{（一1）"am}的前n项和Tm. 16.(15分) 现有中国四大名著各1本和6本不同的外国文学名著，某同学要从中取出4本带给4位室 友阅读，每人1本，假如取每一本书都是等可能的， (1)求4位室友每人得到的都是中国四大名著的概率； (2)设选出的4本书中有X本是中国四大名著，求随机变量X的分布列及数学期望， 17.（15分) 某实验室从包含A和B的8种不同的稀有同位素中选4种依次加样到同一个反应容器内 (共4步加样顺序：第1步、第2步、第3步、第4步).求在下列条件下，各有多少种不同的加 样顺序. (1)A,B都被选用且不能在相邻两步加样； (2)A,B都被选用且A的加样顺序先于B; (3)A,B中只有1种被选用且不能在中间两步加样， 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花 艺作品占60%，现代花艺作品占40%.设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为 90%,且达标作品中，仍有10%的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有20%的 作品因意境独特仍被客户采纳.设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为80%， 且达标作品中，仍有5%的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有15%的作品因 创意新颖仍被客户采纳.现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品： (1)求这单花艺作品达到设计标准的概率； (2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数 表示) (3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率， 学 19.(17分) 已知函数f(x)=e'十asin x,x∈[0，十oo) (1)若a=1,证明：f(x)≥x+1对任意x∈[0，+∞)恒成立 (2)若f(x)≥cosx对任意x∈[0，π]恒成立，求a的取值范围， (3)若a=1,证明：对任意正整数n,都有2f(右)）>n+ln(n+1). 线 【高二数学第4页（共4页）】高二数学参考答案 1.B由C7=C1,得x十x十1=27，解得x=13. 2.C由P(X=1)+P(X=0)=1,得1-P(X=0)=2-5P(X=0),则P(X=0)=1 3.Aa1十a2十a30=3a11=123,得a11=41,a7十a15-2a1=82. 4.B由题意得P(X≤40)=1-P(X≤100)=P(X>100),所以4=40+100=70. 2 5.B先将4名实习生分成3组，有CCC=6种方法，再分配到3个岗位，有A=6种方法， A 所以共有6×6=36种分配方案. 6.D因为各样本是否完整可用相互独立，且每份样本完整可用的概率均为0.6，所以X~B(, 0.6),D(X)=n×0.6×(1-0.6)=0.24n,则D(10X)=100D(X)=24n=360,解得n-15. 7.C根据题意可得了a)-2mx+12-2>0在O,1上有解，即m>是在(0，D上有解， 所以a>(日一》）n由xE01,将上∈，十∞)兰-（日-3）-2-9，所以m >-9. 8.APAB)=PA)P(B1A)=号×号号，所以(20-15)=5(4红-3)-a+a,c 1)十a2(x-1)2+…十a1o(x-1)1°，等式两边求导，得40X51°(4x-3)°=a1十2a2(x-1) 十…十10a1o(x-1)9,令x=2,得a1十2a2十…+10a10=40×519=8X520. 9.BCD由图可得r3<r4<0<r2<r1. 10.ABD由题意得f))-2,令x=1,得f)-专r①)-2解得f=6,A 正确.f(x)=81nx-x2,f'(x)=8-2x,则f(1)=-1,f'(1)=6,所以曲线y=f(x)在 点(1，f(1)处的切线方程为y+1=6(x一1)，即y=6x一7，D正确.f(x)的定义域为(0， 十o),f'x)=8-2x-2(x+2)-2》,令f'(r)>0,得0<<2，fx)单调递增，令 x x f'(x)<0,得x>2,f(x)单调递减，所以f(x)只有1个极值点，C错误.f(1)=一1<0， f(2)=81n2-4=4(1n4-1)>0,f(e2)=16-e4<0,结合f(x)的单调性可得f(x)恰有2 个零点，B正确. 1AcD当n=1时，号-3}，解得@，=1，当n≥2时，则号+学+号++= 3所以3-71””-2”放a,=2m1≥2》，因为a11,清定@ 3”3-1 =2n-1,所以{amn}的通项公式为an=2n-l,{an}为等差数列，A正确. S.=1+20-1Dm=,S0-100,B错误 2 1 2m-12m+D2（2n2m,所以a2,+2+…+,1 1 因为a,a+1 1/11 alaz a2a3 a10a11 【高二数学·参考答案第1页（共4页）】 合×1-号+号号++品动》=×9-品c正确 由不等式4Sm十入≥(-1)"2m以+1，可得4n2+λ≥(-1)"2+1，当n为奇数时，4n2+λ≥ -2以十1，化简可得-λ≤2n-1,所以λ≥-1，当n为偶数时，4n2+入≥2以十1，化简可得 λ≤2n+1,所以入≤5，所以λ的取值范围为[-1,5]，D正确. 12.45.x8y2(x-y)10的展开式的第3项是Cx8(-y)2=45.x8y2. 17 13.1010 由a+3a+6a=1,解得a=0P(X-31>1D=P(X=1)+P(X=6)=a+6a 14.82在矩形ABNK中，含有矩形的个数为CC号；在矩形KHGE中， K 含有矩形的个数为C?;在矩形BNEC中，含有矩形的个数为C号.除 去上面考虑的情况，在矩形ACEK中，含有矩形的个数为CC;在 矩形ACGH中，含有矩形的个数为C2C2.故图中矩形的个数为CC +C+C3+CC4+C2C2=82. B引 N 15.解：(1)因为4a2,5a3,4a4成等差数列，所以2X5a3=4a2+4a4.… …2分 设{an}的公比为q,则10a1q2=4a1g十4a1g3,即2g2-5g十2=0， G …3分 解得g=2或2 4分 因为{an}为递增数列，且a1>0,所以q=2。…6分 故{an}的通项公式为an=2。……8分 (2)(-1)”an=(-1)”·2m=(（-2)”,…9分 所以T.=一2X1-（2)]--2-(-2)*1 。4.4e4。ge。 1-(-2) 3 13分 16.解：(1)依题意可知室友4人每人得到的都是中国四大名著即从中取出的4本书都是中国四 大名著，设为事件A,则事件A所含有的基本事件有m=C4=1个，…2分 从中取出4本书的所有取法即基本事件总数为n=C。=210,…4分 所以室友4人每人得到的都是中国四大名著的概率P(A)=”- n210· 6分 (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4.…7分 C-2i,P(X=2)= P(X=0==ia:P(X=1)=C4C8 iC3 Cio 7,…10分 1 P(X=3)= C2C6_4 Cg-希，P(X=-是品 …12分 所以X的分布列为 X 0 1 cP 3 4 小 8 3 4 1 14 35 1 …13分 【高二数学·参考答案第2页（共4页）】 210+1X80 随机变量X的数学期望E(X)=0X15 +2x别+3 210+4X,1=8 24 2105 …15分 17.解：(1)先从除A,B外的6种不同的稀有同位素中选2种进行加样，有A:=30种加样顺序， …2分 再将A,B插到3个空位中，有A好=6种加样顺序，…4分 所以共有30X6=180种加样顺序.…5分 (2)先从除A,B外的6种不同的稀有同位素中选2种，有C%=15种选法，…6分 再将选出的2种稀有同位素与A,B的加样顺序进行全排列，有A=24种加样顺序. 0, ……8分 因为A的加样顺序先于B,且A,B的加样顺序共有A=2种，…9分 共有5〉2480种加样顺序.……………………………0 (3)先从A,B中选1种，有C2=2种选法，……11分 再安排该稀有同位素在第1步或第4步加入，有C=2种加样顺序，…12分 最后从剩下的6种不同的稀有同位素中选3种在剩下的3步中加入，有A=120种加样顺 序，…14分 所以共有2X2X120=480种加样顺序.…15分 18.解：设事件A=“这单花艺作品是中式花艺作品”， 事件A=“这单花艺作品是现代花艺作品”， 事件B=“这单花艺作品达到设计标准”，事件B=“这单花艺作品未达到设计标准”， 事件C=“这单花艺作品被客户采纳”，事件C=“这单花艺作品未被客户采纳” (1)这单花艺作品达到设计标准的概率P(B)=P(BA)·P(A)+P(BA)·P(A) =0.9×0.6+0.8×0.4=0.54+0.32=0.86.… ……3分 (2)P(CA)=P(C|AB)P(B|A)+P(CAB)P(BA)=0.1×0.9+(1-0.2)×(1 0.9)=0.17.… …5分 P(C|A)=P(CAB)P(B|A)+P(CIAB)P(B|A)=0.05×0.8+(1-0.15)×(1 0.8)=0.21.…7分 所以P(C)=P(CA)P(A)+P(CA)P(A)=0.17×0.6+0.21×0.4=0.186,…9分 所以若这单花艺作品未被客户采纳，则这单花艺作品是中式花艺作品的概率为P(AC)= P(A)·P(CA)_0.17×0.6_17 0.18631 …11分 P(C) (3)P(B∩CA)=P(BA)·P(CB∩A)=0.9×(1-0.1)=0.81,…13分 P(B∩CA)=P(BA)·P(C1B∩A)=0.8X(1-0.05)=0.76,…15分 所以P(B∩C)=P(B∩C引A)·P(A)+P(B∩CA)·P(A)=0.81×0.6+0.76×0.4= 0.79. 故这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率是0.79.…17分 19.(1)证明：若a=1,则f(x)=e+sinx. 令g(x)=e+sinx-x一1，x∈[0，十o∞)，则g(0)=0,g(x)=e十cosx一1.…2分 【高二数学·参考答案第3页（共4页）】 因为g"(x)=e2-sinx>0,且g(0)=1>0,所以g'(x)>0,…3分 所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)=0,故f(x)≥x+1对任意x∈[0， 十C0∞)恒成立.……4分 (2)解：令h(x)=f(x)-cosx=e+asin x一cosx,x∈[0，π]，则h(0)=0, 问题等价于h(x)≥0对任意x∈[0，π]恒成立，所以必要条件是h'(0)>0.…5分 因为h'(x)=e2十acos x十sinx,所以h'(0)=1十a≥0，即a≥一1.…6分 再证明a≥-1的充分性： 当x∈[0,2]时，osx≥0，则acosx≥-cosx,所以h'(x)≥e-cosx+sinx.…7分 令m(x)=e2-cosx+sinx,则m'(x)=e2+sinx+cosx>0对x∈[0，]恒成立， 所以m(x)≥m(0)=0,所以M'(x)≥0，则h(x)在[0,5]上单调递增，所以h(x)≥h(0) 0. …9分 当x∈(g,x]时，e2>e>2,sinx≥0，因为asin a≥-sin, 所以h(x)=e十asin x-cosx≥e-sinx-cosx=e-√2sin(x+T)>0. …10分 综上所述，a的取值范围是[一1，十∞).…11分 (3)证明：由(1)知当a=1时，f(x)≥x+1对任意x∈[0，+∞)恒成立. 令x=名∈N+),则()>+1，所以客f()>(合+)-2名+n: …12分 构造雨数4r)=1一h1+),xE0,十o).因为g'e)-1-十文千 ->0,…13分 所以μ(x)在(0，十o∞)上单调递增，所以u(x)>μ(0)=0，即x>ln(1十x.…14分 令工=5，则5>n(1+)=ln(1+k)-lnk,……… 15分 所以2名>2nc+1)-h]=h6a+1D-h1=ln(a+D,故空r()>+ina+1D. 17分 【高二数学·参考答案第4页（共4页）】