精品解析：2026年广东潮州市潮安区初中学业水平模拟考试数学

2026年初中学业水平模拟考试 数学 （说明：本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟．） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的． 1. 下列各数绝对值最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(　　) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 正方体 3. 如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，则该五角星中的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋100双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：鞋店老板决定下次进货时增加尺码的男鞋，影响老板决策的统计量是（ ） 尺码/cm 23 24 25 26 销售量/双 2 5 11 20 29 21 12 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（ ） A. B. ， C. 方程 的解是 D. 当时， 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”若设鸡有x只，兔有y只，下列各方程组能表示题中数量关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 某医药研究所研制并生产治疗同种病的A、B两种新药，经过统计，有两个成年人同时按正常药量服用，1小时后，服用A药品的血液中含药量（微克/毫升）与时间x（小时）满足反比例函数 服用B药品的血液中含药量（微克/毫升）与时间x（小时）满足二次函数 且在3小时，含药量达到最大值为8微克/毫升，如题10图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 服用A药品的血液中含药量随时间的增加而减少 D. 在3小时时，服用A药品的血液中每毫升含药量比服用B药品少6微克 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某教师招聘考试分为笔试和面试两种，总成绩按笔试成绩与面试成绩的和计算．刘同学笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么刘同学的总成绩为________分． 12. 若与的和不小于，则的取值为________． 13. 方程的解是________． 14. 如图，是等边三角形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转得到．若，则________． 15. 如图，矩形的对角线，交于点O，E是上一点，连接，，若，，则的值是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分；共21分． 16. 计算： 17. 在解分式方程时，小红的解法如下： 第一步： 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：检验，当时，； 第六步：∴原方程无解． 小红的解法中存在两处错误，分别是第____步和第___步；请你写出正确的解答过程． 18. 王先生准备给家里长方形客厅铺设尺寸统一，颜色不同的某型号菱形瓷砖①和②，已知每块菱形瓷砖的边长为，内角为和，铺设方案平面图如图所示．根据以上信息回答下列问题：（参考数据：取1.7） （1）长方形客厅的宽的长度为___； （2）已知客厅长为，请你根据此设计方案平面图，计算需要菱形瓷砖①以及需要切割菱形瓷砖②的数量． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，小球击出后飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间具有函数关系，其中v₀表示小球飞出时的初速度，为小球初速度方向与水平向右方向的夹角．解答以下问题： （1）若 ，，小球需要多少时间飞行才能使飞行高度达到？ （2）若，且小球飞行后飞行高度最大，求小球飞出时的初速度是多少？ 20. 某校围绕“数学、艺术与创意”的主题开展了数学嘉年华活动．活动共有10个项目（24点、扫雷、魔方、折纸……），由4个小组分别承办若干个项目，如下表所示： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 项目个数（个） 2 3 2 3 根据以上信息回答下列问题： （1）小明随机参加一个项目，恰好参加第3组承办的项目的概率是___； （2）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小潮和小安轮流点击，小潮先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（把含数字2的黑框区域记为A），随后小安点击了右下角的小方格，出现数字1（把含数字1的黑框区域记为B），除了区域A和B，其它区域记为C． ①现轮到小潮点击，为了尽可能不踩中“地雷”，他应该选择哪个区域点击？说明理由． ②若小潮与小安在B区域各点击一次，求他们两次点击都不踩中“地雷”的概率是多少？ 21. 【综合与实践】 【阅读材料】有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图所示剪开，把剪出的个小块（①②③④）按题图2图所示重新拼合，这样就得到一个长为，宽为的长方形．面积是 ，这是可能的吗？ 【问题提出】图形拼合前后面积不相等，是一个“直觉的误导”，怎样通过演绎推理来验证？ 【方案设计】方案一：通过实际测量图左下角（或右上角）一角度，发现不是直角，从而确定图不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积． 方案二：通过演绎推理验证题图不是长方形．小明的验证思路是：过点作，垂足为，说明不平行于，则 ，从而得到图不是长方形；小红的验证思路是：证明 不在同一直线上，从而得到图不是长方形． （1）【问题解决】请你结合方案二小明和小红的验证思路，分别补全他们的验证过程． （2）【评价反思】本次实践就是直觉与逻辑不符的例子，对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的．请完成反思内容：将的正方形纸片，按照上述方法与剪开拼合，是不能拼合成一个长方形的．是否存在按其它数据剪开拼合，能拼成一个长方形？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分． 22. 【代数探究】观察下列等式的结构规律： （1）仿写：根据上述规律填空： （2）归纳：请你用字母表示一个符合上述等式结构规律的等式，并求出所用字母满足的取值范围 （3）拓展：在（2）归纳表示出的等式规律中，是否存在所用字母均为整数的情况？若存在，请你求出满足条件的字母的值，若不存在，请说明理由． 23. 【新定义探究】 定义：在中，，分别是两边的中点，经过，两点的所有弧中，如果某条弧上所有的点都在的内部或边上，则称这条弧是的一条中内弧．这条弧所在圆的圆心记为． （1）理解定义：如图1，，，，表示经过，两点的四条弧，其中____不是的中内弧，____是的中内弧（填，，，）； （2）总结规律：经过、两点的所有中内弧中，点与线段有怎样的位置关系？点到中点的距离与经过、两点的中内弧长短又有怎样的关系？ （3）实践操作：如图2，若，，，连接．请你利用尺规作图法作出经过，两点的的最长中内弧，并计算它与围成图形的面积．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）拓广探索：如图3，在平面直角坐标系中，点，，将点，的横坐标扩大倍（）纵坐标保持不变，对进行变换得到，是的中位线，设最长中内弧所在圆的圆心的纵坐标为，直接写出与的函数关系式以及的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学 （说明：本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟．） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的． 1. 下列各数绝对值最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵  ， ， ，  又∵    ∴ 绝对值最大的是． 2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(　　) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 正方体 【答案】A 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得此几何体为圆柱． 故选：A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 3. 如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积，求解即可； 【详解】解：根据题意，得零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积， 故面积为； 4. 五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，则该五角星中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，求出 ，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：如图， ∵五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴ ， ∴． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，涉及合并同类项，去括号法则，积的乘方，多项式乘法，按照运算法则逐一计算即可判断正确选项． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴A错误； 选项B，∵ ， ∴B错误； 选项C，∵， ∴C错误； 选项D，∵ ， ∴D正确． 6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋100双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：鞋店老板决定下次进货时增加尺码的男鞋，影响老板决策的统计量是（ ） 尺码/cm 23 24 25 26 销售量/双 2 5 11 20 29 21 12 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，店主最关注的应该是最畅销的尺码，即影响店主决策的统计量是众数． 【详解】解：鞋店老板决定增加尺码的男鞋，是因为该尺码的销售量最高，在这组销售数据中出现次数最多． ∵众数是一组数据中出现次数最多的数值，能反映最畅销的鞋尺码， ∴影响老板决策的统计量是众数． 7. 如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即这块草地的面积是． 8. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（ ） A. B. ， C. 方程 的解是 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； ，，故B错误； 方程 的解是 ，故C正确； 当 时，，故D错误. 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”若设鸡有x只，兔有y只，下列各方程组能表示题中数量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需找出题中总头数和总脚数的两个等量关系，即可列出正确方程组 【详解】解：设鸡有只，兔有只， ∵每只鸡和兔都只有1个头，总头数为35， ∴可得， ∵每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，总脚数为94， ∴可得， 因此题中数量关系对应的方程组为 10. 某医药研究所研制并生产治疗同种病的A、B两种新药，经过统计，有两个成年人同时按正常药量服用，1小时后，服用A药品的血液中含药量（微克/毫升）与时间x（小时）满足反比例函数 服用B药品的血液中含药量（微克/毫升）与时间x（小时）满足二次函数 且在3小时，含药量达到最大值为8微克/毫升，如题10图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 服用A药品的血液中含药量随时间的增加而减少 D. 在3小时时，服用A药品的血液中每毫升含药量比服用B药品少6微克 【答案】A 【解析】 【分析】待定系数法求出函数解析式，再逐一进行判断即可. 【详解】解：由图可知，，过点， ∴，解得， 选项A错误，选项B正确， 由图象可知，服用A药品的血液中含药量随时间的增加而减少，选项C正确， 当时，服用A药品的血液中每毫升含药量为微克，故在3小时时，服用A药品的血液中每毫升含药量比服用B药品少微克，选项B正确； 综上，只有选项A错误. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某教师招聘考试分为笔试和面试两种，总成绩按笔试成绩与面试成绩的和计算．刘同学笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么刘同学的总成绩为________分． 【答案】86 【解析】 【分析】根据题意总成绩为笔试成绩乘以加上面试成绩乘以，代入对应数值计算即可． 【详解】解： （分）． 12. 若与的和不小于，则的取值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将题干中的文字描述转化为一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可得到的取值范围． 【详解】解：根据题意列不等式得：， 移项得： ， 合并同类项得：． 13. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】采用因式分解法求解，先提取公因式将方程左边分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”得到方程的解 【详解】解：对方程 因式分解，得 得或 因此原方程的解为， 14. 如图，是等边三角形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转得到．若，则________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可知，由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得． 【详解】解：是等边三角形， ， 由旋转可知， ， ， ， ． 15. 如图，矩形的对角线，交于点O，E是上一点，连接，，若，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，，由得到，因此，即可得出，即，根据勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分；共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义、负整数指数幂的定义、特殊角的三角函数值把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 17. 在解分式方程时，小红的解法如下： 第一步： 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：检验，当时，； 第六步：∴原方程无解． 小红的解法中存在两处错误，分别是第____步和第___步；请你写出正确的解答过程． 【答案】第一步、第二步，正确解答见解析 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤逐一判断即可找出错误，进而求出方程的解． 【详解】解：小红的解法中第一步是方程两边都乘以，但常数项2没有乘以，故第一步是错误的， 第二步的等号右边化简后应该是，故第二步是错误的， 综上所述，小红的解法中存在两处错误，分别是第一步和第二步． 正确的解答如下： ， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 18. 王先生准备给家里长方形客厅铺设尺寸统一，颜色不同的某型号菱形瓷砖①和②，已知每块菱形瓷砖的边长为，内角为和，铺设方案平面图如图所示．根据以上信息回答下列问题：（参考数据：取1.7） （1）长方形客厅的宽的长度为___； （2）已知客厅长为，请你根据此设计方案平面图，计算需要菱形瓷砖①以及需要切割菱形瓷砖②的数量． 【答案】（1）4 （2）菱形瓷砖①需要50块，切割的菱形瓷砖②需要14块 【解析】 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，即可求出长方形客厅的宽的长度； （2）连接交于O，根据菱形的性质，勾股定理等可求出，即可求出需要菱形瓷砖①的数量，根据矩形边上需要三角形的特征可求出需要切割的菱形瓷砖②的数量． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由图知：； 【小问2详解】 解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵客厅长为， ∴， ∴需要菱形瓷砖①的数量为（块）， 由图可知：长方形客厅的宽和需要切割的菱形瓷砖②的数量为5块，其中4块瓷砖沿较短的对角线切割一分为二，1块瓷砖沿对角线切割一分为四； 长方形客厅的长和需要切割的瓷砖②为（块），瓷砖沿较长的对角线切割一分为二， ∴需要切割菱形瓷砖②的数量为（块）， 即菱形瓷砖①需要50块，切割的菱形瓷砖②需要14块． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，小球击出后飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间具有函数关系，其中v₀表示小球飞出时的初速度，为小球初速度方向与水平向右方向的夹角．解答以下问题： （1）若 ，，小球需要多少时间飞行才能使飞行高度达到？ （2）若，且小球飞行后飞行高度最大，求小球飞出时的初速度是多少？ 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）把 ，，代入求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把 ，，代入， 得， 化简，得， 解得，， 答：小球需要飞行或才能使飞行高度达到； 【小问2详解】 解：∵，且小球飞行后飞行高度最大， ∴， 解得， 答：小球飞出时的初速度是． 20. 某校围绕“数学、艺术与创意”的主题开展了数学嘉年华活动．活动共有10个项目（24点、扫雷、魔方、折纸……），由4个小组分别承办若干个项目，如下表所示： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 项目个数（个） 2 3 2 3 根据以上信息回答下列问题： （1）小明随机参加一个项目，恰好参加第3组承办的项目的概率是___； （2）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小潮和小安轮流点击，小潮先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（把含数字2的黑框区域记为A），随后小安点击了右下角的小方格，出现数字1（把含数字1的黑框区域记为B），除了区域A和B，其它区域记为C． ①现轮到小潮点击，为了尽可能不踩中“地雷”，他应该选择哪个区域点击？说明理由． ②若小潮与小安在B区域各点击一次，求他们两次点击都不踩中“地雷”的概率是多少？ 【答案】（1） （2）①选区域C；理由见解析② 【解析】 【分析】（1）根据题意得到小明随机参加一个项目，共有10种等可能情况，其中选中第3组承办的项目的有2种可能情况，由概率公式计算即可； （2）①分别计算区域A，B，C内踩中“地雷”的概率，进行比较即可解答； ②画出树状图或者列表，找出所有等可能的情况和踩中“地雷”的情况数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵共有10个项目，第3组承办的项目有2个， ∴小明随机参加一个项目，共有10种等可能情况，其中选中第3组承办的项目的有2种可能情况， ∴小明随机参加一个项目，恰好参加第3组承办的项目的概率是． 【小问2详解】 解：①他应该选择区域C点击，理由如下： ∵区域A中8个方块中埋藏着2颗“地雷”， ∴踩中区域A中“地雷”的概率为， ∵区域B中3个方块中埋藏着1颗“地雷”， ∴踩中区域B中“地雷”的概率为， ∵区域C中共有方块（个）， 有地雷（颗）， ∴踩中区域C中“地雷”的概率为， ∵， ∴为了尽可能不踩中“地雷”，他应该选择区域C点击． ②画树状图如下， 由此可得，他们共有6种等可能情况，其中他们两次点击都不踩中“地雷”的情况有2种，故他们两次点击都不踩中“地雷”的概率为． 21. 【综合与实践】 【阅读材料】有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图所示剪开，把剪出的个小块（①②③④）按题图2图所示重新拼合，这样就得到一个长为，宽为的长方形．面积是 ，这是可能的吗？ 【问题提出】图形拼合前后面积不相等，是一个“直觉的误导”，怎样通过演绎推理来验证？ 【方案设计】方案一：通过实际测量图左下角（或右上角）一角度，发现不是直角，从而确定图不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积． 方案二：通过演绎推理验证题图不是长方形．小明的验证思路是：过点作，垂足为，说明不平行于，则 ，从而得到图不是长方形；小红的验证思路是：证明 不在同一直线上，从而得到图不是长方形． （1）【问题解决】请你结合方案二小明和小红的验证思路，分别补全他们的验证过程． （2）【评价反思】本次实践就是直觉与逻辑不符的例子，对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的．请完成反思内容：将的正方形纸片，按照上述方法与剪开拼合，是不能拼合成一个长方形的．是否存在按其它数据剪开拼合，能拼成一个长方形？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由． 【答案】（1） 见解析 （2）存在，剪开的三角形的短边长为 【解析】 【分析】（1）小明的思路：作 于，分别求得，，进而得以论证；小红思路：如图建立平面直角坐标系，通过求出直线的解析式，判断是否在直线上，进行论证即可； （2）设剪开的三角形的短边为，根据拼接前后面积相等列方程求解即可. 【小问1详解】 解：小明的思路：作 于， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴与不平行，四角非直角，不是长方形； 小红思路：如图建立平面直角坐标系， 由题意得：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 即： 当时， ；当时， ， ∴ 不在同一直线上，无法构成长方形； 【小问2详解】 解：存在， 设剪开的三角形的短边为， ， 解得：（舍）， 答：存在，剪开的三角形的短边为. 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分． 22. 【代数探究】观察下列等式的结构规律： （1）仿写：根据上述规律填空： （2）归纳：请你用字母表示一个符合上述等式结构规律的等式，并求出所用字母满足的取值范围 （3）拓展：在（2）归纳表示出的等式规律中，是否存在所用字母均为整数的情况？若存在，请你求出满足条件的字母的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）取值范围： （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）根据等式中的数字变化规律填空即可； （2）根据发现的规律写出等式，并根据分式有意义的条件确定字母的值； （3）根据得到的等式结合字母为整数的条件求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴； 由题意得：，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：归纳： ∵， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵且均为整数， ∴当时， ，满足条件； 当时，为整数，，或（舍）， 综上：或. 23. 【新定义探究】 定义：在中，，分别是两边的中点，经过，两点的所有弧中，如果某条弧上所有的点都在的内部或边上，则称这条弧是的一条中内弧．这条弧所在圆的圆心记为． （1）理解定义：如图1，，，，表示经过，两点的四条弧，其中____不是的中内弧，____是的中内弧（填，，，）； （2）总结规律：经过、两点的所有中内弧中，点与线段有怎样的位置关系？点到中点的距离与经过、两点的中内弧长短又有怎样的关系？ （3）实践操作：如图2，若，，，连接．请你利用尺规作图法作出经过，两点的的最长中内弧，并计算它与围成图形的面积．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）拓广探索：如图3，在平面直角坐标系中，点，，将点，的横坐标扩大倍（）纵坐标保持不变，对进行变换得到，是的中位线，设最长中内弧所在圆的圆心的纵坐标为，直接写出与的函数关系式以及的取值范围． 【答案】（1）；，， （2）规律见解析 （3）图见解析，围成的图形的面积为 （4） 【解析】 【分析】（1）根据定义进行判断即可； （2）由垂径定理可判断点与的位置关系，到中点的距离与中内弧的长度，需要分两类讨论，结合作图，总结出规律即可； （3）连接、，交点即为点，以点为圆心，为半径，向下作优弧，交于点，圆弧即为所求最长的中内弧．围成的图形可以看作一个三角形和一个扇形，分别求出面积，再求和即可； （4）由题意容易判断，是、的垂直平分线，设直线交于点，交圆于点，交轴于点，则．由轴对称的性质可得，最长的中内弧必定在的下方，由中内弧的定义可知，，且点在点的上方或者重合．分类讨论，当，容易判定，则，计算得，利用勾股定理求出半径，结合求出；当，由（3）可知，圆弧与相切时最长，利用或 ，求得． 【小问1详解】 解：由图可知，圆弧有一部分在外，而圆弧、、都在的内部或边上， ∴圆弧不是的中内弧，圆弧、、是的中内弧； 【小问2详解】 解：由垂径定理可知，点在线段的垂直平分线上； 当中内弧为劣弧时，如图，设的中点为， 由图可知，越小，经过、两点的中内弧越长； 当中内弧为半圆或优弧时，如图， 由图可知，越大，经过、两点的中内弧越长； 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴应选择向下凸的优弧， 如图，为的中点，圆弧即为所求： ∵是等边三角形， 又∵，分别是两边的中点， ∴，，平分，平分， ∴点是的内心，也是的外心， ∴、、、共线， ∵，分别是两边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点为的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∴随着的增大而增大， 由（2）可知，越大，优弧越长， ∴当最大时，优弧最长， ∵， ∴圆与相切， ∴圆是的内切圆， ∴圆与相切于点， ∵圆弧上的点都在的内部或者边上，符合中内弧的定义，且此时取得最大值， ∴优弧即为所求最长的中内弧； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴优弧的圆心角为， 在中，，， ∴， ∴围成的图形的面积； 【小问4详解】 解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， ∵是的中位线， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴的垂直平分线为直线， 同理，的垂直平分线也是直线， 由（2）可知，点在的垂直平分线上， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， 如图，设直线交于点，交圆于点，交轴于点， ∵是、的垂直平分线， ∴，，点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 当中内弧在上方时，由对称性可知，下方必定存在相等的圆弧， ∴最长的中内弧在的下方， 根据中内弧的定义可知，圆弧上的点都在的内部或者边上， ∴，且点在点的上方或者重合， ①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在下方，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，即 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图， 由（3）可知，圆与相切时，圆弧最长， 此时点与点重合， 由①可知，此时， 当点在下方时，， 在中，， ∵ ， ∴ ， 化简，得 ； 当点在上方时，如图，此时 ， 在中，， ∵ ， ∴ ， 化简，得 ； 此时，无论点、如何扩大，必定存在满足要求的圆弧， ∴； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $