精品解析：广东河源市东源县崇文学校教育集团2025-2026学年度 九年级第一次模拟测试数学学科

东源县崇文学校教育集团2025-2026学年度 九年级第一次模拟测试数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据“负数正数，两个负数，绝对值大的反而小”，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的数为， 故选：A． 2. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，解题的关键是知道轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形与轴对称图形的定义依次分析各选项即可判断． 【详解】解：A只是中心对称图形； B既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； C只是轴对称图形； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形． 故选：D． 3. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：D 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握原数的绝对值的数的科学记数法的表示方法是解题的关键． 4. 有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，18 D. 18，19 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义解题即可． 【详解】解：从小到大排列为：18，18，19，19，19，19，20， 其中出现最多次数的为：19，∴众数为19， 一共7个数，中位数为第4个数，∴中位数为：19， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方运算以及合并同类项，根据各自的运算法则计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对圆周角等于圆心角一半得到代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 7. 计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键． 利用同分母分式的减法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（  ） A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 【详解】解：二次函数， 该函数图象过，故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为，故选项B错误，不符合题意； 当时，，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当时，，即该函数图象与y轴的交点坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 9. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设宽为x步，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设宽为x步，则长为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得，， 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，，交于点O，：，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值． 【详解】解：根据题意，， ∴ ∵ ∴ 则 所以． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义的性质列出不等式解答即可，熟练掌握分母不等于0，分式有意义的性质是解题的关键． 【详解】解：分式有意义，分母不等于0， ， 解得：． 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，先提取公因式，再用平方差公式来分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图是一个简单几何体的三视图，则这个几何体是______． 【答案】圆柱 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可求解． 【详解】解：由于俯视图为圆形可推测几何体是球、圆柱或圆锥，根据主视图和左视图为矩形可得此几何体为圆柱． 故答案为：圆柱． 14. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由，得，由，得即可解答． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 15. 如图，▭ABCD的对角线在y轴上，原点O为的中点，点D在第一象限内，//轴，当双曲线经过点D时，则▭ABCD的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义先求出△AOD的面积，再根据平行四边形是中心对称图形可得S▭ABCD=4S△AOD，即可求出▭ABCD的面积． 【详解】 解：连接BD， ∵四边形ABCD是平行四边形，且O点是AC的中点， ∴O点是BD的中点， ∵D点在反比例函数的图像上，且//轴， ∴S△AOD=， ∴S▭ABCD=4S△AOD=8， 即▭ABCD的面积为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形是中心对称图形的性质．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，其中16题10分，17题、18题每题7分，共24分） 16. 计算： （1）解方程：； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 可得或 解得； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，为对角线． （1）请用尺规作图法在上求作点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中所作的图中，连接，求证：平分． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）作出的垂直平分线交于，即可求解； （2）可证， ，从而可得，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，点E即为所求． 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， BD平分． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等，掌握作法及性质是解题的关键． 18. 如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为，求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】竹子比楼房高出0.5米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据三角函数定义求出（米），（米），然后求出结果即可． 【详解】解：在直角中， 米， （米）， （米）， （米）， 即竹子比楼房高出0.5米． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．中心学校在校运会举行了投篮比赛活动，学校随机抽取几名同学参加，规定每人投篮10次，将投中次数进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题． （1）_________，_________； （2）补全条形统计图； （3）体育老师从成绩较好的5名同学（设为胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮）中随机抽取2名同学代表学校参加省级联赛，请用画树状图或列表的方法求出楠楠被抽中的概率． 【答案】（1）3； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用树状图法求概率： （1）根据投中7次的人数所占的比例，求出总人数，分别求得投中6次和8次的人数，再用乘投中8次的占比，即可求解； （2）根据（1）的结果补全条形图即可； （3）画树状图，共有20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 抽取的总人数为人， 投中6次的人数为人， 投中8次的人数为人， ， 故答案为：3；； 【小问2详解】 解：补全条形图如图： ； 【小问3详解】 解：胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮分别用A，B，C，D，E表示，画树状图如下： 共20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种， ∴． 20. 某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍． （1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？ （2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？ 【答案】（1）鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒 （2）至少购进鸡仔饼41盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，根据用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，根据总获利超过680元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒； 【小问2详解】 设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为41， 答：至少购进鸡仔饼41盒． 21. 如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）连接，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，得出，最后根据，即可得出结论； （2）过点O作，垂足为H，可得，再由平行线的性质得出，再证明，利用全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵于E， ∴． ∴． ∴． 又∵是半径， ∴是⊙O的切线． 【小问2详解】 过点O作，垂足为H． ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解； （2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解； （3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 又抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）由题意，设， ． 又在抛物线， ． 或（舍去）． ； 答：门高为； （3）由题意，，， 直线为． 又∵， 可设为． ． ． △． ． 直线为． 令， ．即， 答：此时的长为． 23. 综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师给出了一道例题题干，如下：如图，在中，，，过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上且． 【探究实践】 老师带领同学们自己观察图形，进行猜想和假设，找寻图中蕴含的几何关系，经过思考和讨论，小华和小颖同学分享了自己的发现． （1）如图1，小华发现，当点E为中点时，，请你给出证明； （2）如图2，小颖发现，当E不是中点时，仍成立，请你给出证明． 【拓展应用】 如图3，小聪在上取一点M使得，小聪发现为固定值，请你给出证明并求． 【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解（3）证明见详解， 【解析】 【分析】（1）先得是等腰三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，则，再运用勾股定理，得，然后证明，即可作答． （2）将顺时针旋转，得，即点与点重合，点E的对应点是H点，连接，运用勾股定理得，结合，证明，得，即可作答． （3）先设，，运用三角形内角和得，则，结合外角性质得，由全等性质得，结合（2）得，在中，， 运用角的和差关系得，因为，得，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵，， ∴是等腰三角形， 则， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∵过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）将顺时针旋转，得，即点与点重合，点E的对应点是H点，连接，如图所示： ∴， ∴， 即， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设，， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上， ∴，， 则， 即， ∴． ∵ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转性质，三角形外角性质以及三角形的内角和，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，难度较大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东源县崇文学校教育集团2025-2026学年度 九年级第一次模拟测试数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，18 D. 18，19 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（  ） A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为 9. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设宽为x步，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，交于点O，：，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 12. 因式分解：______． 13. 如图是一个简单几何体的三视图，则这个几何体是______． 14. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 15. 如图，▭ABCD的对角线在y轴上，原点O为的中点，点D在第一象限内，//轴，当双曲线经过点D时，则▭ABCD的面积为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，其中16题10分，17题、18题每题7分，共24分） 16. 计算： （1）解方程：； （2）． 17. 如图，在中，为对角线． （1）请用尺规作图法在上求作点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中所作的图中，连接，求证：平分． 18. 如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为，求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米，参考数据：） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．中心学校在校运会举行了投篮比赛活动，学校随机抽取几名同学参加，规定每人投篮10次，将投中次数进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题． （1）_________，_________； （2）补全条形统计图； （3）体育老师从成绩较好的5名同学（设为胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮）中随机抽取2名同学代表学校参加省级联赛，请用画树状图或列表的方法求出楠楠被抽中的概率． 20. 某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍． （1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？ （2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？ 21. 如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求的长度． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 23. 综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师给出了一道例题题干，如下：如图，在中，，，过点B作的垂线（D在上方），E，F两点分别在，上且． 【探究实践】 老师带领同学们自己观察图形，进行猜想和假设，找寻图中蕴含的几何关系，经过思考和讨论，小华和小颖同学分享了自己的发现． （1）如图1，小华发现，当点E为中点时，，请你给出证明； （2）如图2，小颖发现，当E不是中点时，仍成立，请你给出证明． 【拓展应用】 如图3，小聪在上取一点M使得，小聪发现为固定值，请你给出证明并求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $