精品解析：2025年广东省潮州市潮安区中考一模百校联考数学试题

2025年初中学业水平模拟考试 数学 注意事项：1．本卷共6页，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟： 2．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名：将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案不能答在试卷上． 4．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果表示零上20度，则零下20度表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果表示零上20度，则零下20度表示， 故选：D． 2. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形． 故选：B． 3. 据国家统计局消息：2024年出生人口人，为7年来首次同比增长，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，同底数幂的乘法运算，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 5. 已知，点和关于原点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点和关于原点中心对称， ∴ ∴ 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解．先根据一元二次方程的根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：B． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 先求出不等式组解集，根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴在数轴上表示为： ， 故选：B． 8. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 9. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长． 10. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提取公因式法进行因式分解．利用提取公因式法即可得． 【详解】解：提取公因式得：． 故答案为：． 12. 某班开展“强国有我”主题演讲，共有2位男同学和3位女同学报名参加，现从中随机抽取1位同学进行演讲，则抽到男同学的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率．根据概率公式，即可解答． 【详解】解：抽到的同学总共有5种等可能情况， 抽到男同学总共有2种可能情况， 故抽到男同学的概率是， 故答案为：． 13. 已知点在一次函数的图象上，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．把点代入一次函数解析式，列出关于的方程，通过解方程来求的值． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴ 解得： 故答案为：． 14. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验． 15. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点A作于点Q， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵由沿折叠所得， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义．先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，已知，，是的中位线，其中点D在边上，点E在边上． （1）用圆规和直尺在中作出中位线.（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，三角形的中位线定理，熟练掌握作线段的垂直平分线及三角形的中位线定理是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，分别交，于点E，D，连结即可； （2）根据三角形的中位线定理及可计算答案． 【小问1详解】 如图，线段为所求； 【小问2详解】 是的中位线， ． 18. 如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为5m，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，）． （1）求点到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点时，，求的度数． 【答案】（1）点到地面的高度为4m （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得，进而求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于，延长交于，则四边形为矩形， ，， 则， 点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小问2详解】 由（1）可知，四边形为矩形，且 在中， ∵， ∴， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校在校园艺术节活动中，举行“校园最美学生”评选活动，经过年级推荐与师生投票，先后有30名学生进入候选人名单，根据规则，候选人要参加品德考查、素养考试、情景模拟三项测试，每项测试满分为100分，除第二项为笔试外，第一项、第三项均由七位评委打分，取平均分作为该项的测试成绩，再将品德考查、素养考试、情景模拟三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小明、小月的三项测试成绩和总评成绩如表，这30名学生的总评成绩频数分布直方图 （每组含最小值，不含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 品德考查 素养考试 情景模拟 小明 83 72 80 78 小月 86 84 （1）在情景模拟测试中，七位评委给小月打出的分数如下：65，72，68，69，74，69，73．这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分； （2）请你计算小月的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名“校园最美学生”．试分析小明、小月能否入选，并说明理由． 【答案】（1），， （2）分 （3）小明不一定选上，小月肯定能选上 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数，数据分析； （1）由中位数、众数、算术平均数的定义，即可求解； （2）由加权平均数的定义即可求解； （3）由频数分布直方图结合他们的成绩进行分析，即可求解； 理解中位数、众数、平均数的定义及求法，会结合统计图进行数据分析是解题的关键． 【小问1详解】 解：将65，72，68，69，74，69，73从小到大排列为65，68，69，69，72，73 ，74， 中间的数据为， 中位数为； 出现最多的数据为， 众数为； ， 故答案：，，； 【小问2详解】 解：由题意得 ， 答：小月的总评成绩为分； 【小问3详解】 解：小明不一定选上，小月肯定能选上； 由频数分布直方图得 分数在的有人， 选拔人， 故小月肯定能选上； 分数在的有人， 在这个分数段选人，但小明分数不一定是最高的， 故小明不一定选上． 20. 端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个． （1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？ （2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元 （2）当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用， （1）设豆沙粽子单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据“用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个”列出分式方程求解即可； （2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据题意，得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， （元）， 答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元； 【小问2详解】 解：设售价定为元，利润为元，根据题意，得 ， ， 二次函数的图象开口向下，函数有最大值， 当时，有最大值，最大值为720元， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 21 综合与实践 【主题】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接DE，DB，设，，求的值（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现，顶角的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比，请在（1）的条件下证明： 【拓展应用】（3）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，，请直接写出这个菱形较长的对角线长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． （1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； （3）根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， ， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， 经检验是原方程的解， ； （3）解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， ，四边形是菱形， 是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，连接，． （1）求的值； （2）在绕点旋转过程中，当点落在对角线上时，求的长； （3）连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）的长为或 （3）能，或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再由旋转得，，，即可证明，得到即可求解； （2）分两种情况：①当点在上时，由勾股定理求得，再根据（1）的结论可求的长；②当点在延长线时，由勾股定理求得，再证明即可求的长； （3）分类讨论：第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，由等腰三角形的判定和性质，勾股定理得到，，由此列式可解；第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，根据等腰三角形的判定和性质得到四边形是矩形，由此即可求解． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形，，， ， ， 将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起， ，，， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：分以下两种情况： ①当点在上时，如图 ，，， ， 在中，， 由（1）可得，， ； ②当点在延长线时，如图所示 ， 在中，， ， ，即， ； 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：能，或，理由如下： 分以下两种情况： 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， 设，， 旋转， ，，， 是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 在中，，点是中点， ， 在中，， ， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 与重合， ，，，， ，是等腰三角形， ， 过点作与点， ，， 四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 23. 如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，点，点是菱形的边的中点，反比例函数经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，求点的坐标； （3）如图2，点在上，连接，，点是线段上的动点，连接，作关于直线的轴对称图形，作的外接圆，当的圆心在菱形上或内部时，求的半径的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式得出，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意，当和相似，则或，则或，设，代入进行计算即可求解； （3）根据题意得出是等腰直角三角形，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，证明在直线上运动，进而求得根据题意分别求得最小值与最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点，点是菱形的边的中点， ∴ ∵反比例函数经过点． ∴ ∴； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ ∵点，点 ∴ ∴， ∵ 当和相似，则或 ∴或 设， ∴或 解得：（舍去）或或或（舍去） 当时，，当时， ∴或 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∴等腰直角三角形， 如图，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设， ∴，即 ∴， ∵， ∴即 ∴ 解得： ∴在直线上运动， 设为的外接圆半径为，则的外接圆半径也为 如图，当时，取得最小值，最小值为 当在上时，如图，此时取得最大值， ∵点，点 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 将代入，得 ∴ ∴． ∴的半径的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，相似三角形的性质与判定，正切的定义，三角形的外心的性质，一次函数综合，圆周角定理的意义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平模拟考试 数学 注意事项：1．本卷共6页，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟： 2．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名：将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案不能答在试卷上． 4．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果表示零上20度，则零下20度表示（ ） A. B. C. D. 2. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 据国家统计局消息：2024年出生人口人，为7年来首次同比增长，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，点和关于原点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____． 12. 某班开展“强国有我”主题演讲，共有2位男同学和3位女同学报名参加，现从中随机抽取1位同学进行演讲，则抽到男同学的概率为_____． 13. 已知点在一次函数图象上，则_____． 14. 分式方程的解是______． 15. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图，已知，，是的中位线，其中点D在边上，点E在边上． （1）用圆规和直尺中作出中位线.（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 18. 如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为5m，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，）． （1）求点到地面高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点时，，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校在校园艺术节活动中，举行“校园最美学生”评选活动，经过年级推荐与师生投票，先后有30名学生进入候选人名单，根据规则，候选人要参加品德考查、素养考试、情景模拟三项测试，每项测试满分为100分，除第二项为笔试外，第一项、第三项均由七位评委打分，取平均分作为该项的测试成绩，再将品德考查、素养考试、情景模拟三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小明、小月的三项测试成绩和总评成绩如表，这30名学生的总评成绩频数分布直方图 （每组含最小值，不含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 品德考查 素养考试 情景模拟 小明 83 72 80 78 小月 86 84 （1）在情景模拟测试中，七位评委给小月打出的分数如下：65，72，68，69，74，69，73．这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分； （2）请你计算小月的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名“校园最美学生”．试分析小明、小月能否入选，并说明理由． 20. 端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个． （1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？ （2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 综合与实践 【主题】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接DE，DB，设，，求的值（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现，顶角的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比，请在（1）的条件下证明： 【拓展应用】（3）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，，请直接写出这个菱形较长的对角线长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，连接，． （1）求值； （2）在绕点旋转过程中，当点落在对角线上时，求的长； （3）连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 23. 如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，点，点是菱形的边的中点，反比例函数经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，求点的坐标； （3）如图2，点在上，连接，，点是线段上的动点，连接，作关于直线的轴对称图形，作的外接圆，当的圆心在菱形上或内部时，求的半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$