专题01 相交线与平行线（十四大类题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 以“概念-性质-判定-模型-应用”为逻辑主线，系统整合相交线与平行线核心内容，通过基础题型巩固概念，以“猪蹄模型”“铅笔模型”提炼辅助线方法，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-3（10题）|直接应用对顶角、邻补角性质，垂线段最短原理|从相交线基本概念到三线八角识别，构建空间观念| |平行线性质与判定|题型4-6（17题）|性质求角度、判定证平行，综合题结合性质与判定|性质与判定互逆应用，培养推理意识| |几何模型|题型7-8（5题）|猪蹄模型、铅笔模型均通过作平行线转化角关系|从基础模型到变式应用，提升问题解决能力| |命题与平移|题型9-14（18题）|命题结构分析，平移性质及作图应用|结合实际情境，发展应用意识与空间观念|

专题01 相交线与平行线 题型1 对顶角﹑邻补角（常考点） 题型8 铅笔模型（难点） 题型2 垂直+直角的计算（常考点） 题型9 判断命题的真假（常考点） 题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（常考点） 题型10 写出命题的题设与结论 题型4利用平行的性质求角度（重点） 题型11 逻辑与推理 题型5 平行线的证明（常考点） 题型12 利用平移的性质求解（重点） 题型6 平行线的判定与性质综合（重点） 题型13 利用平移解决实际问题（常考点） 题型7 猪蹄模型（难点） 题型14 平移-作图（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对顶角﹑邻补角（共4小题） 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西延安·期末）下列各图中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线和交于点O，，在，之间作射线，且，则的度数为________． 题型2 垂直+直角的计算（共4小题） 5．（2022·河北·二模）下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（共3小题） 9．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 10．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）如图所标的角中，与是同位角的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，直线，被所截，则的同旁内角是__________． 题型4利用平行的性质求角度（共6小题） 12．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图， ，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，平行于凸透镜主光轴EF的光线、经过透镜折射聚焦于主光轴点，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图所示的是一杆杆秤，在称物品时，提绳与秤砣绳互相平行，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·河北承德·期末）某地为了方便人们绿色出行，推出了共享单车服务．如图1是共享单车的实物图，图2是其示意图，其中，，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型5 平行线的证明（共6小题） 18．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定是（      ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（   ） A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦 22．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图，在四边形中，若要，则需增加条件：______．（填一个即可） 23．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定 的条件是______填所有正确条件的序号 题型6 平行线的判定与性质综合（共5小题） 24．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知直线交直线于点，点在射线上，点在线段上，连接，，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，求的度数． 25．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 26．（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)求的度数． 27．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)试求出的度数 28．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，已知． (1)求证； (2)若，求的度数． 题型7 猪蹄模型（共3小题） 29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作 ， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 31．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 题型8 铅笔模型（共2小题） 32．（14-15七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 33．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 题型9 判断命题的真假（共3小题） 34．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．含有两个未知数的方程叫二元一次方程 C．两点之间，直线最短 D．在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数 35．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列命题是真命题的是：（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．两个锐角的和是钝角 D．三条直线a，b，c，如果，，那么 36．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等 B．同角的补角相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 题型10 写出命题的题设与结论（共2小题） 37．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果___________，那么_____________． 38．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段检测）命题“同位角相等，两直线平行”的题设是_____． 题型11 逻辑与推理（共2小题） 39．（24-25七年级下·北京海淀·期末）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下： 运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数 篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17 足球 12 游泳 4 实心球 排球 2 表中的___________；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有___________人． 40．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 题型12 利用平移的性质求解（共4小题） 41．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，将线段向右平移，得到线段，连接，，，下列线段中长度为的是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 43．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将三角形沿方向平移2个单位得三角形．若三角形的周长等于11，则四边形的周长为（   ） A．15 B．13 C．11 D．7 44．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，将两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿的方向平移，平移的距离为线段的长度，若=4，=5，，则阴影部分的面积为（   ） A．30 B．20 C．15 D．10 题型13 利用平移解决实际问题（共3小题） 45．（24-25七年级下·吉林松原·期末）如图，边长为的两个正方形拼在一起，则阴影部分的面积为______ 46．（24-25七年级下·北京·期末）如图是一块长方形的草地，宽为8米，长为12米，图中阴影部分为等宽的两条小道，小道汇合处的宽度是2米，其余部分宽度是1米，则图中小道（阴影部分）的占地面积是_______平方米． 47．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区长长，为方便游人观赏，在公园里修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），小路宽，则小明同学所走的路径长为___________米． 题型14 平移-作图（共4小题） 48．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)若点B的坐标为，点C的坐标为，请建立适当的平面直角坐标系．这时点A的坐标为 　　 ； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的三角形． 49．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，网格中每个小正方形边长为的顶点都在格点上．将向左平移2格，再向上平移4格，得到． (1)请在图中画出平移后的； (2)过点画出的垂线CD，垂足为点，并说明点到直线的距离； (3)在整个平移过程中线段扫过的面积 50．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，轴，且． (1)直接写出点的坐标，并画出三角形． (2)将三角形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形．画出三角形，并写出点的坐标． 51．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为． (1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．画出． (2)求的面积； (3)y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． $专题01 相交线与平行线 题型1 对顶角﹑邻补角（常考点） 题型8 铅笔模型（难点） 题型2 垂直+直角的计算（常考点） 题型9 判断命题的真假（常考点） 题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（常考点） 题型10 写出命题的题设与结论 题型4利用平行的性质求角度（重点） 题型11 逻辑与推理 题型5 平行线的证明（常考点） 题型12 利用平移的性质求解（重点） 题型6 平行线的判定与性质综合（重点） 题型13 利用平移解决实际问题（常考点） 题型7 猪蹄模型（难点） 题型14 平移-作图（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对顶角﹑邻补角（共4小题） 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度．根据互为邻补角的两个角的和为．已知一个角为，则其邻补角，即可作答． 【详解】解：依题意，邻补角， 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西延安·期末）下列各图中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，根据分析每个选项的情况，唯有D选项是一组对顶角，则，即可作答． 【详解】解：观察四个选项，唯有D选项是一组对顶角，则 其他选项没有条件得出， 故选：D 3．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角，先根据角平分线的定义得，再根据补角的定义求的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线和交于点O，，在，之间作射线，且，则的度数为________． 【答案】15 【分析】本题主要考查的是角的运算问题，邻补角等，数形结合是解题的关键． 先求出，的度数，再利用即可求出的度数，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 题型2 垂直+直角的计算（共4小题） 5．（2022·河北·二模）下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何原理判断求解即可； 【详解】 解：A. ，用垂线段最短解释； B. ，用两点确定一条直线解释； C. ，用两点确定一条直线解释； D. ，用两点之间线段最短解释； 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 7．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 8．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系． （1）先由角平分线求出，即可求解，再结合垂直的定义求解即可； （2）由题意可设，则，则，然后表示出，再由垂直的定义建立方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（共3小题） 9．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【答案】C 【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断． 【详解】解：A、与是内错角，说法错误； B、与不是内错角，说法错误； C、与是同位角，说法正确； D、与是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． 10．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）如图所标的角中，与是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三线八角的识别，数形结合，记住三线八角的关系并准确识别是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意得：与是同位角的是， 故选：C． 11．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，直线，被所截，则的同旁内角是__________． 【答案】 【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角是解题的关键． 【详解】解：的同旁内角是， 故答案为：． 题型4利用平行的性质求角度（共6小题） 12．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图， ，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，如图，由，得，从而求出，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 13．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据可得，根据与平行可得，再根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵都与地面平行，， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 14．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，先标注图形，求解，再求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，标注图形； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：D 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，平行于凸透镜主光轴EF的光线、经过透镜折射聚焦于主光轴点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，先根据平行线的性质求出的度数，再根据，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 16．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图所示的是一杆杆秤，在称物品时，提绳与秤砣绳互相平行，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．根据邻补角的定义可得的度数，再由平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 17．（24-25七年级下·河北承德·期末）某地为了方便人们绿色出行，推出了共享单车服务．如图1是共享单车的实物图，图2是其示意图，其中，，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型5 平行线的证明（共6小题） 18．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴， ∴．故该选项的条件能判定． B选项：∵，， ∴， ∴．故该选项的条件能判定． C选项：∵， ∴．故该选项的条件能判定． D选项：∵，， ∴，无法得到， ∴不能判定． 故选：D． 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键．平行线的判定定理：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；根据这三个判定定理逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不能判定，符合题意； B、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不符合题意； C、由，根据同位角相等两直线平行可以判定，不符合题意； D、由，根据同旁内角互补两直线平行可以判定，不符合题意； 故选：A． 20．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，由同位角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∵，， ∴木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是． 故选：A． 21．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（   ） A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：诗诗：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 麦麦：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 皓皓：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故选：D． 22．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图，在四边形中，若要，则需增加条件：______．（填一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟悉并运用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补时两直线平行的判定方法． 明确要使，需依据平行线的判定定理寻找条件；可从同位角、内错角或同旁内角的关系入手，找出能判定两直线平行的条件． 【详解】解：要使，根据“内错角相等，两直线平行”，若和是与被所截形成的内错角），则； 根据“同旁内角互补，两直线平行”，若和是与被所截形成的同旁内角）或和是与被所截形成的同旁内角），也可判定． 故答案为：（或或． 23．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定 的条件是______填所有正确条件的序号 【答案】 【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 同位角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件不符合题意； 综上，符合题意， 故答案为：． 题型6 平行线的判定与性质综合（共5小题） 24．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知直线交直线于点，点在射线上，点在线段上，连接，，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）利用同位角相等两直线平行可得结论； （2）直接利用平行线的判定与性质进行解答即可； （3）利用平行线的性质先求解，，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）解：与之间的数量关系是：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行可得，再由平行线的性质可得，结合题意得出，即可得证； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，由垂线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的判定与性质即可证得结论； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明： ； （2）解：由（1）得， 又 又 ． 27．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)试求出的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据同位角相等，两直线平行得出，再由两直线平行，内错角相等即可证明； （2）由等量代换得出，再由平行线的判定和性质得出，，利用垂直的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，已知． (1)求证； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)65度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题关键， （1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先说明，再得出的度数，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：∵， ∴． ， ， ． ， ， ． 题型7 猪蹄模型（共3小题） 29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作 ， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可； （2）根据题意，结合图形，可得，，可得到结果； （3）仿照（1）的运算，可得，，即可得到，结合已知条件，可得到结果． 【详解】解：（1）过点作， （两直线平行，内错角相等）， 又， （平行于同一直线的两直线平行）， ， ，，， ， 故答案为：两直线平行， 内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；； （2）如图2，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点作， 由（1）可知，， 即， ， ， ， ， 即， ，，， ， ， 故答案为：． 31．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质，正确进行角的计算是解题的关键． （1）结合图形，可得，，两式相加，得，结合已知条件，得到结果； （2）①通过作辅助线，得到同旁内角互补，得到，，，三式相加，得到结果； ②结合图形，利用两直线平行，内错角相等，依次求出，，，得到结果． 【详解】（1）如图1，作， ， ， ，， ， 即， ， ； （2）①如图2，过P作，过Q作， ， ， ， ， ， 三式相加，可得； ②如图3，过点P作，过点Q作， ， ， ， ， 同理， ， ． 题型8 铅笔模型（共2小题） 32．（14-15七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 【答案】(1)；85； (2)，理由见解析． 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明；作即可得到，代入求得的度数． （2）如图所示，过点P作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，过点P作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 33．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点P作，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过P点作，则，由平行线的性质可得，，从而得出，即可得解； （3）过Q点作，则，由平行线的性质可得，，推出，，由角平分线的定义可得，，从而得出，由（2）知，，推出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过P点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）由示例知，过Q点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴ ， 即． 题型9 判断命题的真假（共3小题） 34．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．含有两个未知数的方程叫二元一次方程 C．两点之间，直线最短 D．在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角、二元一次方程、线段的性质以及实数的分类等知识，解题的关键是熟练掌握相关概念． 依次分析每个选项，根据相关概念判断命题的真假． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该命题是假命题； B、含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程，仅含有两个未知数的方程不一定是二元一次方程，所以该命题是假命题； C、两点之间，线段最短，而不是直线最短，所以该命题是假命题； D、实数包括有理数和无理数，所以在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数，该命题是真命题． 故选：D． 35．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列命题是真命题的是：（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．两个锐角的和是钝角 D．三条直线a，b，c，如果，，那么 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据不等式的性质、锐角与钝角、平行线的判定判断． 【详解】解：A、如果，，那么，故原命题是假命题，本选项不符合题意； B、如果，，那么，是真命题，本选项符合题意； C、两个锐角的和不一定是钝角，例如：，是锐角，不是钝角，故原命题是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，三条直线a，b，c，如果，，那么，故原命题是假命题，本选项不符合题意； 故选：B． 36．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等 B．同角的补角相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用平行线的性质、互补的定义、对顶角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题，符合题意； B、同角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； D、如果，那么，正确，是真命题，不符合题意． 故选：A． 题型10 写出命题的题设与结论（共2小题） 37．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果___________，那么_____________． 【答案】 同旁内角互补 两直线平行 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可． 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 38．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段检测）命题“同位角相等，两直线平行”的题设是_____． 【答案】同位角相等 【分析】本题主要考查了命题，命题有题设和结论两部分，命题的题设部分是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，解题的关键是熟悉区分命题的两个部分． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题中已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分． 故答案为：同位角相等． 题型11 逻辑与推理（共2小题） 39．（24-25七年级下·北京海淀·期末）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下： 运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数 篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17 足球 12 游泳 4 实心球 排球 2 表中的___________；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有___________人． 【答案】 13 13 【分析】本题考查了逻辑推理．根据题意推理求解即可． 【详解】解：由题意得某班所有男生的人数为人， 选择1分钟跳绳的人数为17人， ∴选择实心球的人数为人； 已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合， 而选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同， ∴对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足球，1分钟跳绳；足球，实心球； 在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳， 因此剩余的14人需要选择健身长拳； 而在选择1分钟跳绳的17人中，选择排球而非篮球的人有2人；选择游泳而非健身长拳的人有2人；因此选择1分钟跳绳的剩余的人； 要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多，则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽可能多的选择跳绳， 而1分钟跳绳的名额剩余13人， ∴在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即为所求， ∴选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有13人， 故答案为：13；13． 40．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 【答案】D 【分析】此题考查了推理与论证．若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意． 【详解】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意， 同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，． 故选：D． 题型12 利用平移的性质求解（共4小题） 41．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，将线段向右平移，得到线段，连接，，，下列线段中长度为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 故选：C． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 43．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将三角形沿方向平移2个单位得三角形．若三角形的周长等于11，则四边形的周长为（   ） A．15 B．13 C．11 D．7 【答案】A 【分析】此题主要考查了平移的性质，正确利用平移的性质得出对应线段是解题关键． 利用平移的性质得出，，，，进而求出答案． 【详解】解：将三角形沿方向平移2个单位得三角形． ∴， 三角形的周长等于11， ， 四边形的周长为：． 故选：A 44．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，将两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿的方向平移，平移的距离为线段的长度，若=4，=5，，则阴影部分的面积为（   ） A．30 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，熟记性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键．根据平移的性质可得，，求出，根据列式计算即可． 【详解】解∶由平移可得，， ∴， ∴ ， 故选：C． 题型13 利用平移解决实际问题（共3小题） 45．（24-25七年级下·吉林松原·期末）如图，边长为的两个正方形拼在一起，则阴影部分的面积为______ 【答案】25 【分析】本题考查了平移的性质， 观察图形面积和平移的性质可得，阴影面积等价于边长为的正方形的面积，据此求解即可． 【详解】解：通过观察可以发现，左边正方形左上部的空白部分与右边正方形左上部的阴影部分大小一样，只需将右边正方形左上部的阴影部分平移到左边正方形左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成了一个正方形， 所以阴影部分的面积是， 故答案为：． 46．（24-25七年级下·北京·期末）如图是一块长方形的草地，宽为8米，长为12米，图中阴影部分为等宽的两条小道，小道汇合处的宽度是2米，其余部分宽度是1米，则图中小道（阴影部分）的占地面积是_______平方米． 【答案】26 【分析】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键． 根据已知将道路平移，再利用长方形的性质求出长和宽，再进行解答． 【详解】解：由图可知：长方形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的长方形，且它的长为：米，宽为米， ∴（平方米）． 则图中小道（阴影部分）的占地面积是26平方米， 故答案为：26． 47．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区长长，为方便游人观赏，在公园里修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），小路宽，则小明同学所走的路径长为___________米． 【答案】118 【分析】本题主要考查了平移的性质，由于小路宽1米，小明同学沿着小路的中间行走，则小明同学所走的路径长为，代入计算即可． 【详解】解：由平移的性质可得小明同学所走的路径长为， 故答案为：118． 题型14 平移-作图（共4小题） 48．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)若点B的坐标为，点C的坐标为，请建立适当的平面直角坐标系．这时点A的坐标为 　　 ； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的三角形． 【答案】(1)坐标系详见解析， (2)详见解析 【分析】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据点B，C的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案． （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． 由图可得，点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，三角形即为所求． 49．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，网格中每个小正方形边长为的顶点都在格点上．将向左平移2格，再向上平移4格，得到． (1)请在图中画出平移后的； (2)过点画出的垂线CD，垂足为点，并说明点到直线的距离； (3)在整个平移过程中线段扫过的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点到直线的距离4 (3)在整个平移过程中线段扫过的面积为16 【分析】本题考查了作图—平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，然后顺次连接即可得到； （2）过点C作于点D，即为高，即可解答； （3）线段扫过的面积为平行四边形的面积，据此即可求得． 【详解】（1）解：平移后得到的图形如下： （2）解：作图如图 ∴由图可知，点到直线的距离为4． （3）解：如图所示，在整个平移过程中线段扫过的面积为平行四边形的面积， ∵，与之间的距离为4， ∴平行四边形的面积为． 答：在整个平移过程中线段扫过的面积为16． 50．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，轴，且． (1)直接写出点的坐标，并画出三角形． (2)将三角形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形．画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)图见解析，点的坐标为 【分析】（1）根据轴可知与纵坐标相同，结合及在第一象限确定坐标，再画图． （2）依据平移规律“左减右加，上加下减”确定坐标并画图． 本题主要考查平面直角坐标系中的点的坐标特征、平移变换，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标性质以及平移规律是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求， 点的坐标为； （2）解：如图，三角形即为所求，点的坐标为， ． 51．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为． (1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．画出． (2)求的面积； (3)y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了三角形的面积公式，平移的性质，坐标与图形的性质； （1）由平移的性质可得出答案； （2）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可； （3）设P点的坐标为，用y表示出的面积，再根据的面积与的面积相等列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）； （3）设P点的坐标为，如图     ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 $