专题11 期末真题百练通关（100题）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦期末压轴题，覆盖8类核心题型，以真题为载体构建几何与代数综合训练体系，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填小压轴|42题|角度计算、多解讨论、最值探究、结论判断|从单一几何计算到多结论综合辨析，层层递进| |解答压轴|58题|参数问题、几何综合、坐标系应用、方程建模|整合方程与几何知识，构建"概念-推理-应用"逻辑链|

专题11 期末真题百练通关（100题） 选填小压轴 解答压轴 题型1 角度问题 题型5 参数问题 题型2 多解问题 题型6 几何证明与计算大综合 题型3 最值问题 题型7 坐标系中的综合题 题型4 多结论问题 题型8 方程的综合应用 题型一 角度问题 1．（25-26七年级上·山西运城·期末）如图是一张台球桌的桌面示意图，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向点．已知，滚动路径，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质及垂直的性质．解题关键是熟练掌握它们的性质．由垂直的定义得到，进而求出，利用角平分线性质求出，依据平行线和垂直关系推出，得到， 再由角平分线性质确定，最后根据，用减去得出度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 的平分线垂直于，的平分线垂直于， ∴，，， ， ， ， ∵平分， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，点A在点B的北偏西方向上，点B在点C的北偏东方向上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角，平角的概念，理解方向角、平角的定义是正确解答的关键．根据方向角的定义，平角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ， ∴， ∴， 故选：C ． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，将一块含的直角三角板的一个顶点刚好落在一块直尺的一条边上，若，则的度数为（ 　　 ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，解答即可． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，已知直线，点E，F分别是，上的两点．点H在直线的上方，，平分，当时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过作，过作，设，，可得，证明，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作，过作，设，， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 由，，可得，再利用平行线性质分别求出和． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 7．（2025·广东深圳·二模）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 8．（2025·四川德阳·二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ，， ， ， ， ， ∴； 故选：C． 题型二 多解问题 9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如果与的两条边分别平行，且的度数是的度数的4倍少，那么的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是正确画出图形，避免遗漏． 根据题意，画出不同的图形进行分情况讨论求解． 【详解】解：如图①，由与的两边分别平行， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图②，由与的两边平行， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，几何中角度的计算，理解图形的性质，掌握平行性的性质是关键． 根据图形的旋转，平行线的性质，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转，旋转的速度为每秒， ∴从顺时针旋转的时间为； 如图所示，， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为， ∴所需时间为； 如图所示，，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为， ∴所需时间为； 如图所示，， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为，故此种情况不符合题意，舍去； 如图所示，，设交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴绕点顺时针旋转至图中所示位置，旋转的角度为，故此种情况不符合题意，舍去； 综上所述，当或或时，有一边与边平行， 故答案为：或或 ． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点到两条坐标轴的距离相等，则a的值是__________． 【答案】或3 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由此可得，分情况讨论即可． 【详解】解：点到两条坐标轴的距离相等， ， 或 解得或， 故答案为：或3． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点，若线段与轴平行，A、B两点的距离为3，则的坐标为______． 【答案】或． 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差值的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵线段与x轴平行，且，点A的坐标为， ∴设， ∴， ∴或； 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，平面直角坐标系坐标的特点，由点在轴上，则纵坐标为，设，根据点到轴的距离为，则，求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由点在轴上，则纵坐标为，设， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的坐标为或， 故答案为：或． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】设可以分成个人组，个人组，根据总人数为，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出分组方案有种． 【详解】解：设可以分成个人组，个人组，根据题意得： ， ， 又，均为非负整数， 或或或， 分组方案有种． 15．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为15秒或45秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）过G作，由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过G作， ，， ， ， ； （2）解：如图，F作， ，， ， ， ； （3）解：分三种情况： 当时，如图： ，， ， ， ， 解得； 当时，如图： ，， ， ， 解得； 当时，过F作， ，， ， ，， ； ， 解得； 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 16．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）找到x、y轴距离最大为4的点即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或1（舍去）； 若，此时， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 17．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____； (2)若，，则点坐标为_____； (3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标； (4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 【答案】(1)8 (2)或， (3)或． (4)见详解 【分析】本题考查了，坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想解决问题． （1）根据题中的定义直接回答即可； （2）由可得点P在x轴上，由可得，据此求出点P的坐标； （3）设点P的坐标为：，分别求出，，根据已知条件可得出，解方程即可点P的坐标． （4）根据可得点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，据此画出图象即可． 【详解】（1）解：∵点A坐标为点B坐标为， ∴， 故答案为：8， （2）解：∵， ∴点P在x轴上， ∵ ∴， 设， ∴， 解得：， ∴或， 故答案为：或， （3）解：设点P的坐标为：， ，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴或． （4）解：解：设点P坐标为，则：， ∴． ∴或， 即为一三象限和二四象限的角平分线． 画图如下： 18．（22-23七年级下·四川南充·期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； 【实践操作】 （1）根据上面的结论，填空． ①已知：点、点，则的长度为 ； ②若点、，且轴，的长度为 ． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），连接、．若，，，， ①直接写出、的值； ②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）①，；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）①由题意知轴，可得的长度； ②由轴可得，继而得到，可得的长度； （2）①根据平移的性质及点的坐标可知线段向右平移个单位再向下平移个单位得到线段，即可得、的值； ②分别表示出三角形的面积为，三角形的面积为，可得，求解即可． 【详解】解：（1）①∵点、点， ∴轴， ∴， 即的长度为， 故答案为：； ②∵点、，且轴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为， 故答案为：； （2）①∵平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），，，，， 又∵点的横坐标加得到点的横坐标，点的纵坐标减得到点的纵坐标， ∴线段向右平移个单位再向下平移个单位得到线段（点、点的对应点分别是点、点）， ∴，； ②∵，，，点， ∴轴， ∴三角形的面积为：， 三角形的面积为：， ∵三角形的面积等于三角形面积的倍， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或时，三角形的面积等于三角形面积的倍． 【点睛】本题考查坐标与图形，两点间距离，点坐标平移的规律，三角形的面积等知识点，正确理解两点间的距离的意义是解题的关键． 19．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 (3) 【分析】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质结合三角形内角和即可求解； （2）①设与交于点，由，可得，再利用补角和三角形内角和得出即可； ②由（1）可知，然后分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可； （3）先找出满足题中给出条件时的图形，利用平分，平分，设，再利用平分和列式求出即可计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴； ②由（1）可知，， 当时，如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示，    ∵， ∴， ∴； 当时，（舍， 综上，或； （3）解：当点在直线下方时，如图，    此时在外部，故不存在平分， 当点在直线上方时，如图，    ∵平分，平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角， ∴旋转时间． 20．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． (1)若，，则______度； (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）如图1，过P作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图2，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，从而有，由根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）如图2， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知，， ∴ ∴； 即或； （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由（1）知，， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）如图1，直线，直线与分别交于点．三角形的两个顶点P，M分别在上，，作的平分线交于点． (1)若，求证：平分； (2)若，求的值； (3)如图2，若与不平行，保持，将三角形向右平移，如果此时，直接写出平移过程中的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，邻补角，角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线以及平行线的性质求出，即可证明角平分线； （2）根据，，以及，最后得到，再根据邻补角互补求角度； （3）分两种情况讨论，点在左侧，点在右侧，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，作交于点， 则． ， ， ， ． ， ，即平分． （2）解：， ． 平分， ， ． ， ， ． （3）解：或 当点在左侧时，如图2， ， ． 平分． , ． ， ， ， ， 即，得． 当点在右侧时，如图3， ， ， ， 平分． ， ． ， ， ， ， 即，得． 当点在上时，点P，E重合，不存在． 综上可知，或． 22．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①，②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键． （1）结合题目条件，求出，继而得解； （2）①过点P作，则，由平行线的性质及角的关系得到； ②分和两种情况，画图求解即可； 【详解】（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）①过点P作，如图， 则 ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ． 故∠PNF的度数为或． 题型三 最值问题 23．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知，，且，若，则m的最大值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式 的性质，三元一次方程组；通过联立方程消元，将用表示，再结合条件确定变量范围，即可求出最大值． 【详解】解：，，两式相减得：， ∴ 将代入，得：即； ∴， ∵， ∴，解得； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴m的最大值为：． 故选：D． 24．（24-25七年级下·山东德州·期末）如果是方程的解，是正整数，则的最大值是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键把方程的解代入原方程，得到关于和的二元一次方程，再求解． 把方程的解代入，则可得到一个关于和的二元一次方程，解答即可． 【详解】解：是方程的解， ， ∴ ，是正整数， 或或， 的最大值是． 故选：C． 25．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____． 【答案】 B 45 【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法． 仿照三元一次方程组的解法求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 所以最大，最大值为45； 故答案为：，45 ． 26．（24-25七年级下·江西南昌·期末）若关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，根据不等式组的解集范围，利用整数解的个数确定的取值范围，进而求出的最大值。 【详解】解：根据题意，不等式组的解集为。 该解集有且只有三个整数解，， 最小的整数解为2，后续整数依次为3、4， 三个整数解分别为2、3、4， 若时，解集为，整数解为2、3，不符合题意， 若时，解集为，整数解恰好为2、3、4，符合题意， 综上，的取值范围为， 的最大值为5． 故答案选：C． 27．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）已知关于x，y的方程组满足，则k的最大值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键；通过将方程组中的两个方程相减，得到关于的表达式，再结合不等式，转化为关于的一元一次不等式求解． 【详解】解：， 用②减去①，得：， 化简得：， 由条件，代入上式得：， 解得：； 因此，k的最大值为2； 故选C． 28．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数，满足，．若，则的最大值为（　　） A．30 B．32 C．34 D．50 【答案】D 【分析】根据题意，得，，根据，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，． ∴， 又∵， ∴ 解得： ∴ ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，得出是解题的关键． 29．（24-25七年级下·福建莆田·期末）已知实数，满足，且，若，则的最大值为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，一元一次不等式，解题的关键是把b当做一个已知数求解，用a表示b． 根据题意，可得，则，由，推导出，即可解答． 【详解】解：由得 ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 则的最大值为13． 故答案为：13. 30．（24-25七年级下·四川南充·期末）若关于x的不等式组无解，关于x的不等式组的所有整数解之和为12，那么的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解的情况求参数，分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集及整数解情况求出、的范围，继而即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由可得，， 由可得，， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 由可得：， 由可得：， ∵关于x的不等式组的所有整数解之和为12， ∴此不等式组的整数解为、、或、、、、、、、， ∴或， ∴的最大值为， 故答案为：． 题型四 多结论问题 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． ①由题意得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；②由题意得，利用邻补角即可求出的度数；③过点作，可得，从而得到，可求得，再利用平行线的性质即可求出；④利用角的计算可求出，从而可判断． 【详解】解：因为， 所以，故①正确； 因为，， 所以， 所以，故②正确； 过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，故③正确； 因为，， 所以， 所以，故④正确． 综上分析可知：正确的是①②③④． 故选：A． 32．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，将直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，交于点G，，，三角形的面积为1，下列结论：①；②三角形平移的距离是2；③；④四边形的面积为4，正确的有（    ） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：①∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②平移距离应该是的长度，由，可知，故②错误，不符合题意； ③由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故③正确，符合题意； ④∵的面积是1，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故④正确，符合题意． 故选：C． 33．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 34．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】此题考查了平移的性质，先求解，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：∵， 将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形， ∴，，，， ∴，， ∴，故①和②正确； ∵四边形的周长， ∴四边形的周长，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：A． 35．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． ①根据平分，可设，则，，由平行线性质得，，，然后根据得，由此解出，进而可对结论①进行判断； ②由①可知，，据此可对结论②进行判断； ③根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③； ④由可知根据已知条件无法求出，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∵为上一点， ∴， 即， 解得：， ∴， 故结论①正确； ②由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③根据已知条件无法求出平分， 故结论③错误； ④∵， ∴根据已知条件无法求出， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：B． 36．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图，已知： 平分，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 37．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列说法中：（1）若，则；（2）若、都是正数，则；（3）若、、、都是负数，且，，则；（4）若，，则．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据不同条件，运用相应性质逐一分析每个说法是否正确， 即可得出答案． 【详解】解：（1），根据不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变， ，，， ，故（1）正确； （2） 当时，，即 ，故（2）错误； （3）∵、、、都是负数，且 ，， ， ，故（3）正确； （4）已知，，则， 当，，，时， ，， ∴此时，故（4）错误； 综上，（1）（3）正确，正确的结论个数是个， 故选： B． 38．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于，的二元一次方程组给出下列结论中正确的是（   ） ①当时，方程组的解也是方程的解； ②无论取什么实数，的值始终不变； ③当时，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了含参二元一次方程组中参数的确定，二元一次方程组的解法，解一元一次不等式等知识，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解方程组得到，再逐项进行判断即可． 【详解】解：解方程组，得， 当时，，，代入得到，满足方程，结论①正确； ，与无关，始终为定值3，结论②正确； 若，即，解得：， 所以当时，成立，结论③正确； 综上，①②③均正确， 故选：D． 39．（24-25七年级下·河北张家口·期末）对于关于的不等式组的两个结论，判断正确的是（　　） ①若不等式组无解，则；②若不等式组只有3个整数解，则 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的特殊解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵，解得：， ①若不等式组无解，则，解得：，故①正确； ②若不等式组只有3个整数解，则，解得：； 故选：C． 40．（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个多项式，，下列结论正确的有（   ）个． ①若关于的代数式不含一次项，则； ②若，则； ③若，则或； ④若关于x的方程的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，负整数的概念．熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键． ①，代入多项式A，B，根据不含一次项，使一次项系数为0，解方程求解即可判断①； ②，先代入多项式A，B，化简，变形，即可判断②； ③，代入多项式A，B，列绝对值方程求解即可判断③； ④，代入多项式A，B，化简，根据方程解为负整数，求不等式的负整数解，即可判断④． 【详解】解：①∵，， 关于的代数式 不含一次项， ∴， ∴， ∴①不正确； ②若， 则， ∴， ∴②正确； ③若 ， 则或， ∴③正确； ④∵关于x的方程 的解为负整数， ∴， ∴， ∵a为非负整数， ∴符合条件的a有0、20，共2个， ∴④不正确 ∴正确的有②③，共2个． 故选：B． 41．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论： ①若，则的取值范围是； ②若整数、满足，则的值为6或10； ③若非负数、满足，则有理数的取值范围是． 正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查新的运算法则、解方程、不等式、方程组及不等式组，掌握二阶行列式的运算法则是解题的关键． 根据运算法则建立不等式，求解后可判断①；根据运算法则建立不等式组，再结合整数，的条件可求出m，n的值，可判断②；根据运算法则建立方程组，再结合非负数，的条件可建立不等式组，求解后可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， 解得：，故原结论正确； ②∵， ∴， ∴ ∵，是整数， ∴是整数， ∴， ∴或，，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，或6，，．故原结论错误； ③∵， ∴， 解得：， ∵，是非负数，即， ∴， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为，故原结论正确． 综上，结论①③正确，共2个． 故选B． 42．（24-25七年级下·广东江门·期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中错误的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查实数的新定义，不等式性质的应用，结合新定义以及解不等式进行逐一分析各结论的正确性，即可作答． 【详解】解：依题意，（不超过的最大整数），， ∴，即， 结论①正确；不符合题意； 依题意，为整数时， 但若非整数（如），则，，和为， 结论②错误，符合题意； ∵， ∴得， 解得， 结论③错误，符合题意； 当时， 第一个情况是，则 ； 第二个情况是，则 则； 第三个情况是，则 则； 故的值为1或2； 时，，取0或1； 结论④错误，符合题意； 综上，错误结论为②、③、④，共3个， 故选C． 题型五 参数问题 43．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 44．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）若是方程的一组解，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将解代入方程，通过移项直接求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 移项得， ∴． 故选：D． 45．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到，则，；再把代入方程得到，联立，求出、，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：是方程组的解， ， 解得：，， 小刚只看错了，解得， 是方程的解， ， 联立， 解得：， ， 故答案为：． 46．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；得，得出，结合已知可得，解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵， ∴ 解得： 故答案为：． 47．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加可得到，则可得到，据此可得答案． 【详解】解： 得：，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 48．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件可知，然后把代入求出，从而求出，最后把，代入，求出即可． 【详解】解：关于，的方程组的解互为相反数， ， 把代入得：， 解得：， ， 把，代入得： ， 故答案为：． 49．（24-25七年级下·河南周口·期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（   ） A．3 B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为，，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过联立方程求解的值． 【详解】解：由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为，， 那么将，代入 得到， ①②，得， 化简得：， 两边同时除以7，得：． 故选：B． 50．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式正整数解的知识，首先解不等式得到解集范围，再根据正整数解的情况确定参数a的上下限，即可获得答案． 【详解】解：解不等式，得， ∵该不等式的正整数解为1、2、3， ∴． 故选：D． 51．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知不等式组的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，通过解不等式组并结合解集范围确定参数a的值． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，需结合解集， 由于解集下限为，说明第二个不等式的解为， ∴，， ∴， 解得， 故选：B． 52．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果关于x的不等式只有3个正整数解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于a的不等式是解题的关键．求出不等式的解集，根据不等式只有3个正整数解即可求得a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， ∵关于x的不等式只有3个正整数解， ∴3个正整数解为1、2、3， ∴， ∴， 故选：C． 53．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 54．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）关于的不等式组，整数解有5个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集情况求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集情况求参数是解题的关键．先分别求两个不等式，再根据不等式组的整数解个数，即可确定答案． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 若不等式组的整数解有5个， 则． 故选：B． 55．（24-25七年级下·河南周口·期末）关于的不等式组的整数解仅有3个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 解第二个不等式 ，得 ， 结合第一个不等式 ，不等式组的解集为 ． 整数解仅有3个， 整数解为0、1、2， 且， 解得，即 ， 故选C． 56．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）关于x的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解确定参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的求解过程和不等式组解的意义． 先解不等式组，确定整数解的可能情况，再根据整数解的和为确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 因此，不等式组的解集为， ∵整数解需满足，且和为，分两种情况讨论： 情况一：整数解为和，和为，此时的范围为，解得； 情况二：整数解为、、、、，和为，此时的范围为，解得； 当时，解集为，整数解为、，和为，符合条件； 当时，解集为，整数解为、、、、，和为，符合条件； 综上，的取值范围是或， 故选：C． 题型六 几何证明与计算大综合 57．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析; (2)70°． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 58．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 59．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）根据题意，可证，再由内错角相等，两直线平行即可； （2）由，则，又平分，所以，进而得到，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 60．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线． （1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； （3）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 61．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)； (3)的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题． （1）由平行线的性质，可得，，等量代换，即可证得结论；作，由平行线的性质，可得，，结合已知，等量代换，即可得； （2）延长，交于点，由平行线的性质，可得，，由邻补角，结合已知，等量代换可得，，即可得； （3）由（1）得，由（2）得，结合已知可得，由角平分线的定义可得，，设，，则，，可得，作，由平行线的性质可得，，可得，结合已知，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴． 解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 62．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则__________； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴ ， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 63．（24-25七年级下·云南丽江·期末）动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板和含45°的直角三角板按不同的方式摆放，可解决下列几何问题． (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若，求的度数． (2)如图2，含45°角的三角板的顶点B放在三角板的边上，若，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补，两种直角三角板的特殊度数，角平分线定义； （1）由得出，再利用，，即可得出的度数； （2）由得，又因为，所以，再利用得出，所以平分. 【详解】（1）解：∵是含有的直角三角板，是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 64．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）世界上每一个会飞的物体都有对称性，但科学家设计了如图所示的双斜翼飞机，通过调整机翼角度，改变飞行阻力，获得更快速度，将其抽象成数学模型后如图1，，直线交分别于E、F两点，为的角平分线，为的三等分线且，射线与交于点． (1)______； (2)飞机尾翼能保持飞机平衡，在测试过程中如图2，若直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的三等分线且，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示，并说明理由； (3)因某种特殊飞行姿态需要，在飞行过程中需要同时调整机翼和尾翼，使它们的夹角大小不变，如图3在（2）的条件下，直线同时绕点E以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的角平分线，若在转动的过程大小不变，求出x的值． 【答案】(1)10 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角分线和三等分线的定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）利用平行线性质、角平分线和三等分线定义，通过作辅助线平行于和，根据平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系求出为； （2）结合旋转后的角度变化，依据角平分线和三等分线性质，用含t的式子表示出即可； （3）根据和同时旋转时大小不变的条件，列出方程求解得x的值． 【详解】（1）解：， ， ∴， ， 为的角平分线， 过点P作， ， ， ； 故答案为：10 （2），理由如下： 直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转t秒， 始终为的三等分线且， ∴， ， ∴， ∵为的角平分线， 过点P作， ， ∴， ； （3）直线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转t秒．则， 是的角平分线， ， 始终为的三等分线且， ∴， 过点P作， ， ， ∴， 在转动过程中大小不变，即与t无关， 解得 65．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）（1）探究：如图1，，点G、H分别在直线、上，连接、，当点P在直线的左侧时，试说明； （2）变式：如图2，将点P移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，，点P在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点Q，用含有的式子表示的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4）． 【分析】本题考查了平行线性质的综合应用，解题关键在于：一是辅助线做法，二是根据不同图形利用不同的性质去解决问题． （1）过点P作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点P作，由平行线的性质可得，，结合，即可得解； （3）过点P作，由平行线的性质可得，，结合，即可得解； （4）过点P作，过点Q作，由平行线的性质可得，，，，从而可得，，由角平分线的定义可得，，即可得解． 【详解】解：（1）如图所示：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图所示：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图所示：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）如图所示：过点P作，过点Q作， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴，， ∴， ∴． 66．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知直线，点A，B分别为，上的点，，C为平面内一点，，平分交于点D． (1)如图1，当点C在直线上时，求证：； (2)当点C在平行线与之间时，在备用图中补全图形，并探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或．见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，垂直的概念． （1）根据平分，，得出．根据，得出．结合，得出．即可得． （2）分为①当在直线左侧时，②当在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：①当在直线左侧时，如备用图（1）， 过C作， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴； ②当在直线右侧时，如备用图（2）， 过C作， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 综上可得，与的数量关系为或． 67．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义，可得，，从而可求得答案； （2）设，根据可得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案； （3）设，可求得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分∠DAE， ，， ； （2）与之间的数量关系是：；理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ； （3）与之间的数量关系是：．理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ． 68．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1)120 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：120； （2）解：如图，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）解：如图，当点在上方时，交于点，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图，当点在下方时，延长交于点，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 69．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论是解题关键． （1）过点作，根据平行公理可有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点，易得，再确定，结合可得，进而可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 【详解】（1）解：如下图，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长交于点，如下图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的度数为； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 题型七 坐标系中的综合题 70．（24-25七年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)和的位置关系是 ； (2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标； (3)在点，的运动过程中，当（）时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)AOBC (2)P点的坐标为 (3)当P在线段上，Q在线段上时，；当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时， ，理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一元一次方程的应用，平行线的判定与性质． （1）根据点B与点C的纵坐标相同即可判断； （2）设当P运动t秒时，得出求解即可； （3）分①当P在线段上，Q在线段上时和②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴点B与点C的纵坐标相同， ∴． （2）设当P运动t秒时           由题可得，     ∴    解得 ∴ ∴P点的坐标为 （3）①当P在线段上，Q在线段上时，如图，过Q点作的平行线   ∵ ∴ 由（1）可得    ∴ ∴   ∴ ∵ ∴     ②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时， 如图，过Q点作的平行线 ∵ ∴   ∴ 由（1）可得 ∴ ∴    ∴ ∴ 71．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． (4)P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积公式、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）由题意得，根据点的坐标特征求出的值，由得到，再利用三角形面积公式求出的长，即可求出点的坐标； （4）分2种情况讨论：①当时；②当时，分别表示出的长，再利用三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：存在， 由题意得：， ∴， 解得， ∴或； （3）解：轴，， ， 点到轴的距离为1，在第一象限， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得：，， 则点运动的时间为秒，点运动到点的时间为秒，点运动的时间为8秒， ①当时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：； 综上，当在上时，取或时，三角形的面积为3． 72．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)存在，3 (3)3 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，点N在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为；， 故答案为：；； （2）解：存在． 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点A和点的坐标分别为；， ∴， ∵将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴点C和点D的坐标分别为和， ∴， 设M点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过D作的延长线，垂足为H ，连接， ∵， ， ∴ = = ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ， 综上可知，的值为． 【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 73．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，第一象限的点坐标为，且点到轴、轴的距离相等． (1)点的坐标为________； (2)如图1，轴的正半轴上有一点，连接、，点为轴上一动点，动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示（不要求写的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴平行线，交轴于点．当点从原点出发1秒时，此时点从点出发，以每秒1个单位长度在直线上运动，当的面积是的面积的2倍时，请直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)秒；或 【分析】（1）根据点到轴、轴的距离相等列方程求解即可； （2）根据 求解即可； （3）根据的面积是的面积的2倍列方程求出t的值，进而可求出点Q的坐标． 【详解】（1）∵点到轴、轴的距离相等， ∴ ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）如图， ∵动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动， ∴， ∴ ， 即； （3）如图， 由题意，得， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． 74．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移个单位，再向上平移个单位得到线段，连接，． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)如果．且上有一动点，的最小值为___________． (3)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后？并写出点，的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)秒后，此时点M，N的坐标分别为 【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标即可； （2）由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据三角形面积公式求解即可； （3）设运动时间为秒，进而表示出点、的坐标，由可知，当时，，此时两点横坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段， 因为，点、的坐标为和， 所以，点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：；； （2）解：因为点、的坐标为、， ，， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， 所以，即的最小值为， 故答案为：； （3）解：设运动时间为秒， 由题意可知，，， 因为点A、的坐标分别为、， 所以点、的坐标分别为、， ∵， ∴当时，，此时两点横坐标相同， ， 解得：， 即秒后，此时点，的坐标分别为、． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，垂线段最短，平行线的判定和性质，平移的性质，一元一次方程的应用，动点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 题型七 方程的综合应用 75．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花 (2)至少要租用型车2辆 (3)共有3种租车方案：①租用A型车1辆，B型车3辆；②租用A型车3辆，B型车2辆；③租用A型车5辆，B型车1辆．方案①最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题，根据数量关系列出方程或不等式是解题的关键． （1）设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据“用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花”即可列出方程组，求解即可； （2）设租用A型车a辆，根据“总费用不超过2800元”列出不等式，求解即可； （3）设租用A型车m辆，B型车n辆．根据“恰好将新收割的14吨棉花运完”列出二元一次方程，求出整数解即可得到租车方案，再求出各种方案的费用，比较即可解答． 【详解】（1）解：设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花． （2）解：设租用A型车a辆，根据题意，得 ， 解得， 答：至少要租用型车2辆． （3）解：设租用A型车m辆，B型车n辆．根据题意，得 ， ∵m，n为正整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： ①租用A型车1辆，B型车3辆， ②租用A型车3辆，B型车2辆， ③租用A型车5辆，B型车1辆． 它们的费用分别为： ①（元）， ②（元）， ③（元）． ∵， ∴方案①租用A型车1辆，B型车3辆最省钱． 76．（24-25七年级下·全国·期末）某商场出售小套装和大套装两种，已知购买1个大套装比购买1个小套装多需70元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元． (1)试列二元一次方程组来求解这两种套装的单价； (2)某校计划用不多于1350元的资金购买这两种吉祥物套装共20个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 【答案】(1)小套装的单价为50元；大套装的单价为120元 (2)该校最多可以购买大套装5个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，根据“购买1个大套装比购买1个小套装多需70元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出这两种套装的单价； （2）设该校购买大套装m个，则购买小套装个，利用总价=单价×数量，结合总价不多于1350元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买大套装的数量． 【详解】（1）解：设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，依题意得： ， 解得：． 答：小套装的单价为50元，大套装的单价为120元． （2）解：设该校购买大套装m个，则购买小套装个， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m的最大值为5． 答：该校最多可以购买大套装5个． 77．（2025·陕西西安·模拟预测）为美化校园环境，学校计划分两次购买杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购买60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购买100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购买的单价相同． (1)求学校购买的每盆杜鹃花、四季海棠的价格分别是多少元？ (2)若小晨同学帮班级购买这两种花卉（与学校购买的单价相同），恰好用去80元，且两种花卉都至少采购一盆．请问有哪些采购方案？ 【答案】(1)每盆杜鹃花的价格是15元，每盆四季海棠的价格是10元 (2)共有2种采购方案，方案1：购买2盆杜鹃花，5盆四季海棠；方案2：购买4盆杜鹃花，2盆四季海棠． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设每盆杜鹃花的价格是x元，每盆四季海棠的价格是y元，根据“第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）设购买m盆杜鹃花，n盆四季海棠，利用总价、单价、数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数且大于等于1，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：设每盆杜鹃花的价格是x元，每盆四季海棠的价格是y元， 根据题意得：，解得：． 答：每盆杜鹃花的价格是15元，每盆四季海棠的价格是10元． （2）解：设购买m盆杜鹃花，n盆四季海棠， 根据题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数且大于等于1， ∴或， ∴共有2种采购方案， 方案1：购买2盆杜鹃花，5盆四季海棠； 方案2：购买4盆杜鹃花，2盆四季海棠． 78．（24-25七年级下·天津·期末）如图，丝路纺织厂与、两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知长绒棉的进价为万元，纺织面料的出厂价为万元，公路运价为元（），铁路运价为元（），且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 【答案】这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共购买了x吨长绒棉，制成了y吨纺织面料，根据两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，列出二元一次方程组，进而求得销售额和原料费用，相减，即可求解． 【详解】解：设共购买了x吨长绒棉，制成了y吨纺织面料． 根据题意得 解得， 纺织面料的销售额为（万元）， 原料费用为（万元）， （元）， 答：这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多元． 79．（24-25八年级上·福建三明·期末）有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶ 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题∶ (1)已知二元一次方程组则______，______． (2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算∶，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______． 【答案】(1)4，2 (2)21元； (3)24 【分析】（1）让两个式子相减即可求出，然后让两个式子相加即可求出； （2）设购买1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，根据题意列出方程组求解即可； （3）首先根据已知建立一个关于a，b，c的方程组，通过对方程变形即可得出答案． 【详解】（1）解：， 得， 得， ∴； （2）解：设购买1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元， 根据题意得 ①②得：， ∴， 答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元； （3）解：，，， ， 得， 得， ， ． 80．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 81．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． （1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”； （2）利用加减消元法求得，，得到，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：， 由②得：，即满足． ∴方程组的解，具有“邻好关系”； （2）解：方程组， 得：， 解得， 将代入得，， 解得， ∴． ∵方程组的解，具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 82．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 件 件 元 第二周 件 件 元 (1)求、两种型号运载火箭模型的销售单价； (2)若、两种型号运载火箭模型每件进价分别为90元和70元，超市准备用不超过1600元的金额再采购这两种型号的运载火箭模型共20件，求种型号的运载火箭模型最多能采购多少件？ 【答案】(1)种型号的销售单价为元，种型号的销售单价为元 (2)件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量有关系是解题的关键． （1）设种型号的销售单价为元，种型号的销售单价为元，找准等量关系，列出二元一次方程组求解； （2）设种型号采购件，则种型号为件，列出一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设种型号的销售单价为元，种型号的销售单价为元． 根据题意列方程组得， 解得， 答：种型号的销售单价为元，种型号的销售单价为元； （2）解：设种型号采购件，则种型号为件， 根据题意得， 解得， 答：种型号最多能采购件． 83．（24-25七年级下·福建泉州·期末）校园手工社团开展环保纸盒创意制作，需用特定尺寸纸板制作横式、竖式两种无盖纸盒．相关信息如下表： 素材 类型 规格 素材一 横式无盖纸盒 竖式无盖纸盒 素材二 现有纸板 长、宽，共60张． (1)任务1：基础裁切计算 用1张的纸板，恰好同时裁切成的正方形和的长方形两种纸板，问裁切成这样的正方形和长方形纸板各多少张？ (2)任务2：制作方案规划 若手工社团将现有60张纸板按任务1的方式裁切（材料无剩余），得到的正方形和长方形纸板恰好可制作横式无盖纸盒x个，竖式无盖纸盒y个． ①用含和的代数式分别表示正方形和长方形纸板的总需求量； ②求制作横式无盖纸盒和竖式无盖纸盒各多少个？ 【答案】(1)裁切成的正方形纸板1张，的长方形纸板3张； (2)①正方形纸板需要：个，长方形纸板需要：个；②可以制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个． 【分析】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，准确的根据题意列出代数式时解题的关键． （1）设裁切成的正方形纸板m张，的长方形纸板n张，根据题意列出关于m，n的方程，找出方程的非负整数解即可； （2）①一个横式无盖盒子需要2个正方形纸板和3个长方形纸板，一个竖式无盖盒子需要1个正方形纸板和4个长方形纸板，用x，y的代数式分别表示正方形和长方形总数量即可； ②根据题意60张大纸板能裁出正方形纸板为60个，长方形纸板180个，可列二元一次方程组，进行求解． 【详解】（1）解：设裁切成的正方形纸板m张，的长方形纸板n张， ∴， 化简得， ∵m，n为非负整数， ∴， 答：裁切成的正方形纸板1张，的长方形纸板3张； （2）解：①由题意得：正方形纸板需要：个，长方形纸板需要：个； ②由任务1得，能裁出正方形纸板为个，长方形纸板个， ∴， 解得：， 答：可以制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个． 84．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 【答案】(1)羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个 (2)①甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元 ② 【分析】题目主要考查二元一次方程组的实际应用−销售问题，理解题意，列出方程是解题关键． （1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可； （2）①这一问考查学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系． 【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； （2）解：①甲：元， 乙：     元， 答：甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元； ②由题意得：， 整理得：． 85．（25-26七年级上·河南信阳·期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： (1)若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ (2)设购买绿萝x盆（x为整数，且），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； (3)求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)方案一：元；方案二：元 (3)当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用： （1）根据两种采购方案的方式解答即可； （2）根据两种采购方案的方式解答即可； （3）根据两种方案费用相同，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：方案一：费用为（元）， 方案二：费用为（元）． （2）解：方案一：费用为， 方案二：费用为． （3）解：根据题意得：， 解得． 当时，， 所以当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱． 86.小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 (3) 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是关键． （1）设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，该小区计划用不超过16.2万元的资金，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，据此列出不等式组并解不等式组，进一步写出方案即可； （3）求出各方案新建充电桩的总占地面积，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元； （2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； （3）选择方案1时新建充电桩的总占地面积为（）； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为． 在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择， ． 87．（24-25七年级下·重庆江北·期末）为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，计划组织初中部1200名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号的客车可以租用，已知1辆大型客车和2辆中型客车可以载乘客105人，2辆大型客车和1辆中型客车可以载乘客135人． (1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？ (2)该校计划租用两种型号的客车共27辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2倍，请求出所有的租车方案？ 【答案】(1)一辆大型客车可以载乘客55人，一辆中型客车可以载乘客25人 (2)租用大型客车18辆，则租用中型客车9辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设一辆大型客车可以载乘客x人，一辆中型客车可以载乘客y人，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设租用大型客车m辆，则租用中型客车辆，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆大型客车可以载乘客x人，一辆中型客车可以载乘客y人，根据题意得： ， 解得：， 答：一辆大型客车可以载乘客55人，一辆中型客车可以载乘客25人； （2）解：设租用大型客车m辆，则租用中型客车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴，此时， 答：租用大型客车18辆，则租用中型客车9辆． 88．（24-25七年级下·云南丽江·期末）阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组的正整数解； (4)若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1)； (2)有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支； (3)； (4)，，． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，一元一次不等式组，二元一次方程的整数解，正确利用已知正整数解这一条件是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）购买了笔记本本，钢笔支，则，得，然后仿照题例即可求解； （）由，则得，，然后仿照题例即可求解； （）由，则得，，所以，把代入得，，然后求出的值并检验即可． 【详解】（1）解：由，得， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∵为正整数，即为正整数， ∴， 将代入，得， ∴的正整数解为， 故答案为：； （2）解：购买了笔记本本，钢笔支， ∴，得， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数， 又∵， ∴或， ∴或， ∴有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支； （3）解：， 得，， 同理得或， 代入①中，得（舍去）或， ∴方程组的正整数解为； （4）解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∵解是正整数， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或， ∴整数的值为，，． 89．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)请验证方程是否是不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的关联方程 (2) (3) 【分析】本题考查求不等式组的解集，解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解和不等式组的解集，进行判断即可； （2）求出方程的解和不等式组的解集，根据新定义得到关于的不等式组，进行求解即可； （3）根据题意，得到不等式组有解，进而求出不等式组的解，求出方程的解，根据新定义得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程的解是，解，得：， ∴在的范围内， ∴方程是不等式组的“关联方程”， （2）由，解得， 由，解得， 根据题意，得， 解得：； （3）方程是关于x的不等式组的“关联方程”， ∴不等式组有解， 解，得：， ∵方程的解是， 不等式组的解集为， ∴根据题意，得， 解得：． 90．（24-25七年级下·广东湛江·期末）某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元． (1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案？ (3)最低费用是多少万元？ 【答案】(1)每台电脑万元，每台电子白板万元 (2)有3种购买方案 (3)28万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；③根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用． （1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据“购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需购进电脑m台，则购进电子白板台，根据“总费用不超过30万元，但不低于28万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总价单价数量，可分别求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得：， 解得： 答：每台电脑万元，每台电子白板万元； （2）解：设需购进电脑m台，则购进电子白板台， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为15、16、17， 共有3种购买方案， 方案1：购进电脑15台，电子白板15台； 方案2：购进电脑16台，电子白板14台； 方案3：购进电脑17台，电子白板13台； （3）解：选择方案1所需费用为（万元）； 选择方案2所需费用为万元）； 选择方案3所需费用为（万元）， ， 最低费用是28万元． 答：最低费用是28万元． 91．（24-25七年级下·山东淄博·期末）定义：如果一个一元一次方程的解也是一个一元一次不等式组的解，那么称这个一元一次方程为这个一元一次不等式组的“友好方程”例如：一元一次方程的解为，一元一次不等式组的解集为，因为，，所以，称一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程． (1)问一元一次方程是否是一元一次不等式组的友好方程？请说明理由； (2)若关于的一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程，求的取值范围； (3)若一元一次方程和都是关于的一元一次不等式组的友好方程，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)方程是一元一次不等式组的友好方程，理由见解答 (2)的取值范围是 (3)的取值范围为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次方程的解，正确解方程和不等式组是解题的关键． （1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可； （2）先求解方程和不等式组，再将含有的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出的取值范围； （3）分别求出两个方程的解，再解不等式组，根据友好方程的定义得到关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：方程是一元一次不等式组的友好方程． 理由如下： 解不等式组， 由得； 由得 得：， 解方程，得：， ， 方程是一元一次不等式组的友好方程． （2）解：解不等式组， 得：， 解方程， 得：， 关于的一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程， ， 解得：， 即的取值范围是． （3）解：解方程， 得， 解方程 ∴ 得：， 一元一次方程和都是关于的一元一次不等式组的友好方程， 不等式组的解集为， ， 解得． 即的取值范围为． 92．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)判断方程是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于的方程不是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组仅有个整数解试求的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的“相依方程”； (2)或； (3) 【分析】求出不等式组的解集以及方程的解，判断即可； 求出已知不等式组的解集，根据方程不是不等式组的“相依方程”，确定出的范围即可； 先分别求解方程和不等式组，根据不等式组整数解个数确定其解集范围，再结合“相依方程”定义确定取值范围． 此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：方程，解得：， 不等式组， 解得：， 方程是不等式组的“相依方程”； （2）解：不等式组， 解得：， 方程解得：， 因为关于的方程不是不等式组的“相依方程”， 所以或， 所以或； （3）解：解方程，得， 解不等式组， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 不等式组仅有个整数解， 令整数的值为，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”， ， 解得：， 的取值范围是． 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 又， ． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案． 【详解】解：由得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴二元一次方程的正整数解有3组， 故选：C． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴，， ∵， ∴与不一定相等，即不一定成立， 故③错误； ∵，，， ∴，即平分， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 4．（23-24七年级下·重庆开州·期末）一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数，∵，，∴是“九九数”．最小的“九九数”为__________；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的M的最大值与最小值之差为__________． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律，整式的加减，二元一次方程的解等知识，根据题意得到最小的“九九数”千位上数字为1，则个位上的数字为8，百位上的数字为0，则十位上的数字为9，即可得到最小的“九九数”， 设“九九数”M千位上数字为a, 则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，，则，若“九九数”M能被11整除，则能别11整除，再进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，最小的“九九数”千位上数字为1，则个位上的数字为8，百位上的数字为0，则十位上的数字为9， ∴最小的“九九数”为， 设“九九数”M千位上数字为a, 则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，， 则 若“九九数”M能被11整除，则能别11整除， 则设， ∵ ∴ ∴，则且为整数， 当时，M取得最小值，此时，M取得最小值为， 当时，M取得最大值，此时，M取得最大值为， ∴M的最大值与最小值之差为 故答案为：， 5．（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点P在线段上且，线段与交于点Q． ①_______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或4或9 【分析】本题考查平行线的判定和性质，几何中角度的计算等知识点，综合性强，难度较大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据等角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）①根据求解即可；②分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴； 故答案为： ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则：， ∴； 当时，如图，则：， ∴， ∴； 综上：的值为或4或9． 故答案为：3或4或9 7．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得， 等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 8．（24-25七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度速度，沿路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动． (1)直接写出B，C，D三个点的坐标； (2)当P，Q两点出发时，求三角形的面积； (3)设P，Q两点运动的时间为，当三角形的面积为6时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)当或时，三角形的面积为6 【分析】本题主要考查坐标与图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，动点与一元一次方程的综合，理解图示，找出正确的数量关系是关键． （1）根据题意，结合线段的长度判定即可； （2）根据题意得到，点在线段上，，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到点从的时间为，点从的时间为，分类讨论，数学结合分析即可求解． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，轴，轴，且， ∴， ∴； （2）解：动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度速度，当时间为时，， ∴点在线段上，， ∴； （3）解：点在线段上运动的时间为，在线段上运动的时间为， ∴点从的时间为， 点在线段上运动的时间为，在线段上运动的时间为， ∴点从的时间为， ∵若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动， ∴点不能到达点的位置， 设P，Q两点运动的时间为， 当是，， ∴， 解得，； 当时，点在线段上，点在线段上， 如图所示，过点作延长线的垂线，交于点， ∴，，，点的横坐标为，纵坐标为，点的横坐标为，纵坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，； 综上所述，当或时，三角形的面积为6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 期末真题百练通关（100题） 选填小压轴 解答压轴 题型1 角度问题 题型5 参数问题 题型2 多解问题 题型6 几何证明与计算大综合 题型3 最值问题 题型7 坐标系中的综合题 题型4 多结论问题 题型8 方程的综合应用 题型一 角度问题 1．（25-26七年级上·山西运城·期末）如图是一张台球桌的桌面示意图，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向点．已知，滚动路径，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，点A在点B的北偏西方向上，点B在点C的北偏东方向上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，将一块含的直角三角板的一个顶点刚好落在一块直尺的一条边上，若，则的度数为（ 　　 ）． A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，已知直线，点E，F分别是，上的两点．点H在直线的上方，，平分，当时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则（   ）． A． B． C． D． 7．（2025·广东深圳·二模）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川德阳·二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型二 多解问题 9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如果与的两条边分别平行，且的度数是的度数的4倍少，那么的度数为_______． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点到两条坐标轴的距离相等，则a的值是__________． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点，若线段与轴平行，A、B两点的距离为3，则的坐标为______． 13．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标是______． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 15．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 16．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 17．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____； (2)若，，则点坐标为_____； (3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标； (4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 18．（22-23七年级下·四川南充·期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； 【实践操作】 （1）根据上面的结论，填空． ①已知：点、点，则的长度为 ； ②若点、，且轴，的长度为 ． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），连接、．若，，，， ①直接写出、的值； ②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 19．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． 20．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． (1)若，，则______度； (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 21．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）如图1，直线，直线与分别交于点．三角形的两个顶点P，M分别在上，，作的平分线交于点． (1)若，求证：平分； (2)若，求的值； (3)如图2，若与不平行，保持，将三角形向右平移，如果此时，直接写出平移过程中的值． 22．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 题型三 最值问题 23．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知，，且，若，则m的最大值为（    ） A． B．1 C．0 D． 24．（24-25七年级下·山东德州·期末）如果是方程的解，是正整数，则的最大值是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 25．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____． 26．（24-25七年级下·江西南昌·期末）若关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）已知关于x，y的方程组满足，则k的最大值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数，满足，．若，则的最大值为（　　） A．30 B．32 C．34 D．50 29．（24-25七年级下·福建莆田·期末）已知实数，满足，且，若，则的最大值为________． 30．（24-25七年级下·四川南充·期末）若关于x的不等式组无解，关于x的不等式组的所有整数解之和为12，那么的最大值是___________． 题型四 多结论问题 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③ 32．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，将直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，交于点G，，，三角形的面积为1，下列结论：①；②三角形平移的距离是2；③；④四边形的面积为4，正确的有（    ） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 33．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②④ 36．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图，已知： 平分，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列说法中：（1）若，则；（2）若、都是正数，则；（3）若、、、都是负数，且，，则；（4）若，，则．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于，的二元一次方程组给出下列结论中正确的是（   ） ①当时，方程组的解也是方程的解； ②无论取什么实数，的值始终不变； ③当时，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 39．（24-25七年级下·河北张家口·期末）对于关于的不等式组的两个结论，判断正确的是（　　） ①若不等式组无解，则；②若不等式组只有3个整数解，则 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 40．（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个多项式，，下列结论正确的有（   ）个． ①若关于的代数式不含一次项，则； ②若，则； ③若，则或； ④若关于x的方程的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个． A．1 B．2 C．3 D．4 41．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论： ①若，则的取值范围是； ②若整数、满足，则的值为6或10； ③若非负数、满足，则有理数的取值范围是． 正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 42．（24-25七年级下·广东江门·期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中错误的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 参数问题 43．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）若是方程的一组解，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 45．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为______． 46．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 47．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为__________． 48．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值为______． 49．（24-25七年级下·河南周口·期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（   ） A．3 B．1 C．7 D． 50．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 51．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知不等式组的解集为，则（    ） A． B． C． D． 52．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果关于x的不等式只有3个正整数解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）关于的不等式组，整数解有5个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 55．（24-25七年级下·河南周口·期末）关于的不等式组的整数解仅有3个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 56．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）关于x的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 A． B． C．或 D．或 题型六 几何证明与计算大综合 57．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 58．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 59．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 60．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 61．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 62．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则__________； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 63．（24-25七年级下·云南丽江·期末）动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板和含45°的直角三角板按不同的方式摆放，可解决下列几何问题． (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若，求的度数． (2)如图2，含45°角的三角板的顶点B放在三角板的边上，若，求证：平分． 64．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）世界上每一个会飞的物体都有对称性，但科学家设计了如图所示的双斜翼飞机，通过调整机翼角度，改变飞行阻力，获得更快速度，将其抽象成数学模型后如图1，，直线交分别于E、F两点，为的角平分线，为的三等分线且，射线与交于点． (1)______； (2)飞机尾翼能保持飞机平衡，在测试过程中如图2，若直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的三等分线且，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示，并说明理由； (3)因某种特殊飞行姿态需要，在飞行过程中需要同时调整机翼和尾翼，使它们的夹角大小不变，如图3在（2）的条件下，直线同时绕点E以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的角平分线，若在转动的过程大小不变，求出x的值． 65．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）（1）探究：如图1，，点G、H分别在直线、上，连接、，当点P在直线的左侧时，试说明； （2）变式：如图2，将点P移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，，点P在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点Q，用含有的式子表示的度数． 66．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知直线，点A，B分别为，上的点，，C为平面内一点，，平分交于点D． (1)如图1，当点C在直线上时，求证：； (2)当点C在平行线与之间时，在备用图中补全图形，并探究与之间的数量关系，并说明理由． 67．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 68．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 69．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 题型七 坐标系中的综合题 70．（24-25七年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)和的位置关系是 ； (2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标； (3)在点，的运动过程中，当（）时，请探究和的数量关系，并说明理由． 71．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． (4)P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 72．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 73．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，第一象限的点坐标为，且点到轴、轴的距离相等． (1)点的坐标为________； (2)如图1，轴的正半轴上有一点，连接、，点为轴上一动点，动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示（不要求写的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴平行线，交轴于点．当点从原点出发1秒时，此时点从点出发，以每秒1个单位长度在直线上运动，当的面积是的面积的2倍时，请直接写出此时的值和点的坐标． 74．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移个单位，再向上平移个单位得到线段，连接，． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)如果．且上有一动点，的最小值为___________． (3)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后？并写出点，的坐标． 题型七 方程的综合应用 75．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 76．（24-25七年级下·全国·期末）某商场出售小套装和大套装两种，已知购买1个大套装比购买1个小套装多需70元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元． (1)试列二元一次方程组来求解这两种套装的单价； (2)某校计划用不多于1350元的资金购买这两种吉祥物套装共20个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 77．（2025·陕西西安·模拟预测）为美化校园环境，学校计划分两次购买杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购买60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购买100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购买的单价相同． (1)求学校购买的每盆杜鹃花、四季海棠的价格分别是多少元？ (2)若小晨同学帮班级购买这两种花卉（与学校购买的单价相同），恰好用去80元，且两种花卉都至少采购一盆．请问有哪些采购方案？ 78．（24-25七年级下·天津·期末）如图，丝路纺织厂与、两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知长绒棉的进价为万元，纺织面料的出厂价为万元，公路运价为元（），铁路运价为元（），且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 79．（24-25八年级上·福建三明·期末）有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶ 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题∶ (1)已知二元一次方程组则______，______． (2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算∶，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______． 80．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 81．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 82．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 件 件 元 第二周 件 件 元 (1)求、两种型号运载火箭模型的销售单价； (2)若、两种型号运载火箭模型每件进价分别为90元和70元，超市准备用不超过1600元的金额再采购这两种型号的运载火箭模型共20件，求种型号的运载火箭模型最多能采购多少件？ 83．（24-25七年级下·福建泉州·期末）校园手工社团开展环保纸盒创意制作，需用特定尺寸纸板制作横式、竖式两种无盖纸盒．相关信息如下表： 素材 类型 规格 素材一 横式无盖纸盒 竖式无盖纸盒 素材二 现有纸板 长、宽，共60张． (1)任务1：基础裁切计算 用1张的纸板，恰好同时裁切成的正方形和的长方形两种纸板，问裁切成这样的正方形和长方形纸板各多少张？ (2)任务2：制作方案规划 若手工社团将现有60张纸板按任务1的方式裁切（材料无剩余），得到的正方形和长方形纸板恰好可制作横式无盖纸盒x个，竖式无盖纸盒y个． ①用含和的代数式分别表示正方形和长方形纸板的总需求量； ②求制作横式无盖纸盒和竖式无盖纸盒各多少个？ 84．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 85．（25-26七年级上·河南信阳·期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： (1)若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ (2)设购买绿萝x盆（x为整数，且），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； (3)求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 86.小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 87．（24-25七年级下·重庆江北·期末）为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，计划组织初中部1200名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号的客车可以租用，已知1辆大型客车和2辆中型客车可以载乘客105人，2辆大型客车和1辆中型客车可以载乘客135人． (1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？ (2)该校计划租用两种型号的客车共27辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2倍，请求出所有的租车方案？ 88．（24-25七年级下·云南丽江·期末）阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组的正整数解； (4)若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 89．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)请验证方程是否是不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，请直接写出的取值范围． 90．（24-25七年级下·广东湛江·期末）某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元． (1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案？ (3)最低费用是多少万元？ 91．（24-25七年级下·山东淄博·期末）定义：如果一个一元一次方程的解也是一个一元一次不等式组的解，那么称这个一元一次方程为这个一元一次不等式组的“友好方程”例如：一元一次方程的解为，一元一次不等式组的解集为，因为，，所以，称一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程． (1)问一元一次方程是否是一元一次不等式组的友好方程？请说明理由； (2)若关于的一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程，求的取值范围； (3)若一元一次方程和都是关于的一元一次不等式组的友好方程，请直接写出的取值范围． 92．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)判断方程是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于的方程不是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组仅有个整数解试求的取值范围． 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 3．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 4．（23-24七年级下·重庆开州·期末）一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数，∵，，∴是“九九数”．最小的“九九数”为__________；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的M的最大值与最小值之差为__________． 5．（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点P在线段上且，线段与交于点Q． ①_______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为_______． 7．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 8．（24-25七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度速度，沿路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动． (1)直接写出B，C，D三个点的坐标； (2)当P，Q两点出发时，求三角形的面积； (3)设P，Q两点运动的时间为，当三角形的面积为6时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $