专题09 二元一次方程组的压轴题（11大压轴题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

专题09 二元一次方程组的压轴题（11大压轴题型） 题型1 含参二元一次方程（组） 题型7 行程问题 题型2 整数解问题 题型8 销售利润问题 题型3 错解问题 题型9 分配问题 题型4 同解问题 题型10 几何面积问题 题型5 新定义问题 题型11 特殊解问题 题型6 方案选择 题型一 含参二元一次方程（组） 1．已知是方程的一组解，则m的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，代入，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】解：将，代入方程，得：， 解得：， 故选：C． 2．已知是关于的二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把的值代入方程，根据等式的性质变形即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查根据二元一次方程的解求参数，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 3．小明解得方程组解为，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（    ） A．10和4 B．2和－4 C．－2和4 D．－2和－4 【答案】B 【分析】把，代入，得，把，代入，得． 【详解】解：把，代入，得 ★， ★，即， 把，代入，得 ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握将解代入原方程组求出有关的数值是解题关键． 4．已知关于x、y的方程组的解满足x+y=5，则k的值为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】首先解方程组，利用表示出、的值，然后代入，即可得到一个关于的方程，求得的值． 【详解】解： ， 由得， 解得， 把代入得， 解得． ， ， 解得． 故选． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于 、的方程组是关键． 题型二 整数解问题 5．方程的正整数解有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解题的关键． 把方程化为用一个未知数表示成另一个未知数的形式，再根据x、y均为正整数求解即可． 【详解】解：方程可化为， x、y均为正整数， 且为2的倍数， 当时，， 当时，， 方程的正整数解为， 故答案为：B． 6．写出二元一次方程的一个整数解______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程整数解，解题关键是理解方程解的意义，选一整数代入求另一个未知数的整数值． 根据二元一次方程的整数解的定义写出即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7．当正整数___________时，关于的方程组有正整数解． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的正整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法”是解本题的关键． 利用代入消元法先消去未知数x，求解y，再根据m为正整数，x是正整数可得m的值，再进行检验即可． 【详解】解： 把②代入①得： 解得： 为正整数，m为正整数， 或， 此时也为整数， 故答案为：1或2． 8．已知关于、的方程组有正整数解，则的值为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 题型三 错解问题 9．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 10．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 11．小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出，，的值代入计算即可． 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：3． 12．李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故答案为：． 题型四 同解问题 13．关于，的方程组与有相同的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于，的方程组与有相同的解，则，解得：，然后代入得，求出，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：联立， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：0． 15．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 _____ 【答案】 【分析】把，-y看作整体，则，从而得到方程组的解． 【详解】根据题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键． 16．已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解： (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：，解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， ∴这两个方程组的解为：； （2）把代入中可得：， 化简得：， 得：③， 得：，解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴． 17．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值． （1）将和联立方程组求得的值即可； （2）将（1）中求得的值代入和中计算出的值，代入中即可． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组和有相同的解， ∴， 得：，解得：， 将代入中得：， ∴该方程组的解为， ∴相同解为； （2）解：由（1）得：， ∴将代入和中得： ， 得：，即：， 将代入①中得：，即：， ∴． 题型五 新定义运问题 18．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”. (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______ (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值. 【答案】【小题1】 【小题2】，． 【分析】（1）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题． （2）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 故答案为：． （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ，解得， ，． 19．定义：若代数式满足，其中k为非零常数，则称是关于的k级平衡数系．例如：对于代数式，当时，当时，满足，则称是关于的5级平衡数系． (1)若，且是关于的9级平衡数系，求n的值． (2)若，且是关于的3级平衡数系，其中，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，列出方程进行求解即可； （2）根据新定义，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）由题意，得：， 整理，得：， 又， 联立，解得：； ∴，． 题型六 方案选择 20．毓秀学校在“读书日”期间购进了一批图书，需要用大小两种规格的纸箱来装运.3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书． (1)一个大纸箱和一个小纸箱一次分别可以装多少本书？ (2)如果一共购进100本书，每个纸箱恰好装满，且两种规格的纸箱都有，分别需要用多少个大、小纸箱？ 【答案】(1)一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书 (2)需要2个大纸箱、2个小纸箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设一个大纸箱可以装x本书，一个小纸箱可以装y本书，根据“3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要用m个大纸箱，n个小纸箱，根据这些纸箱共装100本书，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个大纸箱可以装本书，一个小纸箱可以装本书， 依题意得：， 解得：， 答：一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书． （2）解：设需要用个大纸箱，个小纸箱， 依题意得：， ． 又两种规格的纸箱都有， 均为正整数， 答：需要2个大纸箱、2个小纸箱． 21．某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨 (3)共有3种可行的运输方案：方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；方案2：使用5辆A货车，6辆B货车；方案3：使用8辆A货车，2辆B货车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据第一、二次A，B两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运算防疫物资的质量； （2）设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨，根据第一、三次运输记录的数据，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆A货车，n辆B货车，根据要一次运输190吨防疫物资且每辆货车均满载，列出二元一次方程，求出自然数解，即可得出各运输方案． 【详解】（1）解：∵， ∴表格中被污渍盖住的数是（吨）， 故答案为：540． （2）解：设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨． （3）解：设使用m辆A货车，n辆B货车， 依题意得：， 整理得：， 又∵m、n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种可行的运输方案： 方案1：使用2辆A货车，10辆B货车； 方案2：使用5辆A货车，6辆B货车； 方案3：使用8辆A货车，2辆B货车． 22．某班同学计划暑假参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该活动有画糖人和剪纸两个体验节目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．考虑场地和安全原因，两个体验节目都要有同学参加，且体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍． (1)请分别求出画糖人和剪纸的体验单价； (2)请你设计一种总费用为600元的活动方案． 【答案】(1)画糖人的体验单价是15元，剪纸的体验单价是20元 (2)画糖人28次，剪纸9次；画糖人32次，剪纸6次；画糖人36次，剪纸3次 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式的应用和二元一次方程的整数解问题，正确理解题意是关键； （1）设画糖人的体验单价是x元，剪纸的体验单价是y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设画糖人体验a次，剪纸体验b次，根据题意可得：，即，然后结合体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍，可得关于b的不等式，求出b的范围后再结合a、b为正整数，，b是3的倍数即可解答． 【详解】（1）解：设画糖人的体验单价是x元，剪纸的体验单价是y元， 根据题意可得：， 解得：， 答：画糖人的体验单价是15元，剪纸的体验单价是20元； （2）解：设画糖人体验a次，剪纸体验b次，根据题意可得：， 即， ∵体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍，即， ∴，即， ∵a、b为正整数，，b是3的倍数， ∴，相应的， 综上：总费用为600元的活动方案可以是：画糖人28次，剪纸9次；画糖人32次，剪纸6次；画糖人36次，剪纸3次． 23．已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的实际应用是解题的关键． （1）根据“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意列方程组得： ， 解得：． 答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨． （2）解：结合题意和（1）得：， ∴， ∵、都是正整数， ∴或或． 答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆． 题型七 行程问题 24．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比． ()设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为米，由等量关系列出方程组，即可得解； （）由()知男运动员的速度是女运动员速度的倍，可设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈，利用男运动员追上女运动员时多跑圈，由等量关系列出方程组，即可得解． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 25．某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为千米，坡路为千米，依题意，列式，再解方程，即可作答． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，根据题意得： 解得 故（千米）． 答：从甲到乙的路程是9千米． 题型八 销售利润问题 26．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 27．2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“天宫”和“嫦娥”两种模型．已知1个“天宫”模型和4个“嫦娥”模型的进价共1750元；4个“天宫”模型和3个“嫦娥”模型的进价共3100元．求每个“天宫”和“嫦娥”模型的进价各为多少元？ 【答案】每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，设每个“天宫”模型的进价为元，每个“嫦娥”模型的进价为元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设每个“天宫”模型的进价为元，每个“嫦娥”模型的进价为元， 由题意得 解得： 答：每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元． 28．期中考试后，八年一班张老师对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本20个需花费200元；若购买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个则需花费250元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，则至多需要购买多少个甲种笔记本？ 【答案】(1)购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元； (2)至多需要购买21个甲种笔记本． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本y元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解； （2）设需要购买m本甲种笔记本，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解； 【详解】（1）解：设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本y元， 根据题意，得， 解得． 答：购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元； （2）解：设需要购买m本甲种笔记本， 根据题意，得， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大整数解为21， 答：至多需要购买21个甲种笔记本． 29．学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． (1)求、两种品牌的足球的销售单价； (2)学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 【答案】(1)品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； (2)①，；②最多可以买个品牌的足球． 【分析】（1）设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元，根据“买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，即可求出选择各方案所需费用；根据按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； （2）根据题意得：按“方案”需要花费元； 按“方案”需要花费元． 故答案为：，； 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 的最大值为． 答：最多可以买个品牌的足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 30．近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． (1)求该商店在无促销活动时A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）．求当a在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 【答案】(1)该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元； (2)当时，选用无人机配送服务更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，根据“某商店在无促销活动时，买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；买8件A商品，5件B商品，共需2280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据选用无人机配送服务更合算，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：当时，选用无人机配送服务更合算． 31．为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000元资金购进甲、乙两种图书共1000套，这两种图书的进价和标价如下表所示： 类别 进价（元/套） 标价（元/套） 甲 80 95 乙 105 125 (1)该书店购进甲、乙两种图书各多少套？ (2)在暑假期间，书店将甲种图书按标价销售，乙种图书打折销售，若将这1000套图书全部售完，恰好获得15000元的利润，则书店应将乙种图书按标价的几折销售？ 【答案】(1)购进甲图书套，购进乙图书套 (2)书店应将乙种图书按标价的九六折销售 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次方程的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）购进甲图书套，购进乙图书套，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设乙图书打折，由此列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：购进甲图书套，购进乙图书套， ∴， 解得，， ∴购进甲图书套，购进乙图书套； （2）解：设乙图书打折， ∴， 解得，，即九六折， ∴书店应将乙种图书按标价的九六折销售． 题型九 分配问题 32．重庆赛力斯公司生产的问界和问界两款新能源汽车深受消费者的欢迎，该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名，乙车间有工人60名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10人．设新分配到甲车间的人数是人，新分配到乙车间的人数是人． (1)完成下列表格填空： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ________ ________ 根据题中的数量关系有：________； (2)求新分配到甲车间、乙车间的人数各有多少人？ 【答案】(1)见解析，40 (2)新分配到甲车间的有30人，新分配到乙车间的有10人 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）找出等量关系，列出二元一次方程组，并进行求解即可． 【详解】（1）解：完成表格如下： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ∵该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间， ∴； （2）解：根据题意得，， 解方程得 答：新分配到甲车间的有人，新分配到乙车间的有人． 33．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 【答案】安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用；设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，根据有120名工人，且1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，    根据题意，得         解方程组.得             答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶. 34．某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【答案】(1)可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个 (2)可以加工成30个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设可以加工横式长方体铁容器x个，竖式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片90个、正方形铁片50个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据铁板总数为55张，裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，． 【详解】（1）解：设可以加工横式长方形铁容器x个，竖式长方形铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个． （2）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据题意得： ， 解得：， （个）， 答：可以加工成30个铁盒． 题型十 几何面积问题 35．小亮在拼图时，发现8个大小一样的长方形恰好可以拼成图1所示的一个大长方形．小莹又用这8个长方形拼成了图2所示的正方形，正方形中间的空白处是一个边长为2mm的小正方形． (1)求这8个大小一样的长方形的长和宽； (2)用不超过40个上述大小一样的长方形，按照图1这种拼图方式（上边的长方形竖放，下边的长方形横放）拼长方形，共有多少种拼法？写出每种拼法中竖放和横放的长方形的个数． 【答案】(1)10,6 (2) 5种，方法1：上边竖放5个长方形，下边横放3个长方形；方法2：上边竖放10个长方形，下边横放6个长方形；方法3：上边竖放15个长方形，下边横放9个长方形；方法4：上边竖放20个长方形，下边横放12个长方形；方法5：上边竖放25个长方形，下边横放15个长方形． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； 对于（1），根据图形中的数量关系列出方程组，求出解； 对于（2），依据长方形对边相等列出方程，再结合条件确定满足要求的拼法即可． 【详解】（1）解：设这8个大小一样的长方形的长为，宽为，根据题意，得 ， 解得， 所以这8个大小一样的长方形的长为，宽为； （2）解：设上边竖直放m个长方形，下边横放n个长方形，根据题意，得 ， ∴． ∵m,n都是正整数，且， ∴或或或或， ∴一共有5种拼法， 方法1：上边竖放5个长方形，下边横放3个长方形； 方法2：上边竖放10个长方形，下边横放6个长方形； 方法3：上边竖放15个长方形，下边横放9个长方形； 方法4：上边竖放20个长方形，下边横放12个长方形； 方法5：上边竖放25个长方形，下边横放15个长方形． 36．如图，在长方形中，放入6个大小、形状完全相同的小长方形（空白部分），其中，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长等于两个小长方形的长与一个小长方形的宽的和，大长方形的宽等于一个小长方形的长与宽的和建立二元一次方程组求解长方形的长、宽，再由大长方形面积减去6个小长方形面积即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图可得 解得 答：阴影部分的面积为． 37．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【答案】方案一：的长度分别为．方案二：的长度分别为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 方案一：设，，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可； 方案二：设，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 方案二：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 38．如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边． (1)求通道的宽； (2)求铺上草皮的面积． 【答案】(1)通道的宽是米． (2)平方米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及长方形面积的计算，熟练掌握利用方程解决实际问题的思路和长方形面积公式是解题的关键． （1）设通道宽为米，米，米．根据长方形场地的长和宽与通道、草坪边长的关系列方程，先表示出场地长和宽关于、的表达式，再求解． （2）草皮面积等于长方形场地面积减去通道面积，可先求出每块草坪面积，再乘以；也可求出铺草皮部分的长和宽，进而求面积． 【详解】（1）解：设通道的宽为米，米，米．则， ． 又∵ ，， ∴， 由得， 把代入中， ， ， ， ． 把代入， ． 所以通道的宽是米． （2）解：由（1）知，则米，米． 每块草坪面积为平方米， ∵有块草坪， ∴草皮总面积为平方米． 题型十一 特殊解问题 39．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的形式列式求解即可． 【详解】解：方程组的解是， ∴， 解得，， 故选：D ． 40．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察两个二元一次方程组可得，解方程组即可得解． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是， ， 得，， ， 将代入得，， ， 方程组的解是． 41．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 42．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2），（3）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）对比两个方程组，利用换元、整体代换方法解方程组即可； （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）解： 关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于x、y的二元一次方程组中，， 解得：， （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二元一次方程组的压轴题（11大压轴题型） 题型1 含参二元一次方程（组） 题型7 行程问题 题型2 整数解问题 题型8 销售利润问题 题型3 错解问题 题型9 分配问题 题型4 同解问题 题型10 几何面积问题 题型5 新定义问题 题型11 特殊解问题 题型6 方案选择 题型一 含参二元一次方程（组） 1．已知是方程的一组解，则m的值为（　　） A． B．2 C． D． 2．已知是关于的二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．小明解得方程组解为，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（    ） A．10和4 B．2和－4 C．－2和4 D．－2和－4 4．已知关于x、y的方程组的解满足x+y=5，则k的值为（    ） A． B．2 C．3 D．5 题型二 整数解问题 5．方程的正整数解有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．写出二元一次方程的一个整数解______． 7．当正整数___________时，关于的方程组有正整数解． 8．已知关于、的方程组有正整数解，则的值为______． 题型三 错解问题 9．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 10．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 11．小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则______． 12．李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为______． 题型四 同解问题 13．关于，的方程组与有相同的解，则的值为__________． 14．若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 15．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 _____ 16．已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解： (2)求的值． 17．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 题型五 新定义运问题 18．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”. (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______ (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值. 19．定义：若代数式满足，其中k为非零常数，则称是关于的k级平衡数系．例如：对于代数式，当时，当时，满足，则称是关于的5级平衡数系． (1)若，且是关于的9级平衡数系，求n的值． (2)若，且是关于的3级平衡数系，其中，求m，n的值． 题型六 方案选择 20．毓秀学校在“读书日”期间购进了一批图书，需要用大小两种规格的纸箱来装运.3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书． (1)一个大纸箱和一个小纸箱一次分别可以装多少本书？ (2)如果一共购进100本书，每个纸箱恰好装满，且两种规格的纸箱都有，分别需要用多少个大、小纸箱？ 21．某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 22．某班同学计划暑假参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该活动有画糖人和剪纸两个体验节目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．考虑场地和安全原因，两个体验节目都要有同学参加，且体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍． (1)请分别求出画糖人和剪纸的体验单价； (2)请你设计一种总费用为600元的活动方案． 23．已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 题型七 行程问题 24．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 25．某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 题型八 销售利润问题 26．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 27．2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“天宫”和“嫦娥”两种模型．已知1个“天宫”模型和4个“嫦娥”模型的进价共1750元；4个“天宫”模型和3个“嫦娥”模型的进价共3100元．求每个“天宫”和“嫦娥”模型的进价各为多少元？ 28．期中考试后，八年一班张老师对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本20个需花费200元；若购买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个则需花费250元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，则至多需要购买多少个甲种笔记本？ 29．学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． (1)求、两种品牌的足球的销售单价； (2)学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 30．近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． (1)求该商店在无促销活动时A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）．求当a在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 31．为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000元资金购进甲、乙两种图书共1000套，这两种图书的进价和标价如下表所示： 类别 进价（元/套） 标价（元/套） 甲 80 95 乙 105 125 (1)该书店购进甲、乙两种图书各多少套？ (2)在暑假期间，书店将甲种图书按标价销售，乙种图书打折销售，若将这1000套图书全部售完，恰好获得15000元的利润，则书店应将乙种图书按标价的几折销售？ 题型九 分配问题 32．重庆赛力斯公司生产的问界和问界两款新能源汽车深受消费者的欢迎，该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名，乙车间有工人60名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10人．设新分配到甲车间的人数是人，新分配到乙车间的人数是人． (1)完成下列表格填空： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ________ ________ 根据题中的数量关系有：________； (2)求新分配到甲车间、乙车间的人数各有多少人？ 33．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 34．某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 题型十 几何面积问题 35．小亮在拼图时，发现8个大小一样的长方形恰好可以拼成图1所示的一个大长方形．小莹又用这8个长方形拼成了图2所示的正方形，正方形中间的空白处是一个边长为2mm的小正方形． (1)求这8个大小一样的长方形的长和宽； (2)用不超过40个上述大小一样的长方形，按照图1这种拼图方式（上边的长方形竖放，下边的长方形横放）拼长方形，共有多少种拼法？写出每种拼法中竖放和横放的长方形的个数． 36．如图，在长方形中，放入6个大小、形状完全相同的小长方形（空白部分），其中，求图中阴影部分的面积． 37．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 38．如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边． (1)求通道的宽； (2)求铺上草皮的面积． 题型十一 特殊解问题 39．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 40．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 41．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 42．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $