专题10 不等式与不等式组的压轴题（8大压轴题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组压轴突破，以8大题型构建从性质应用到实际建模的递进训练体系，强化参数分析与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质与参数范围|3题|结合不等式性质逆向求参数|从不等式基本性质到参数取值的逻辑推导| |不等式整数解|4题|通过整数解分布确定参数边界|体现数形结合思想，强化解集分析| |不等式组整数解|4题|多解集中整数解数量与参数关系|深化不等式组解集的动态理解| |不等式组解集|5题|无解/有解/特定解集的参数判定|聚焦解集包含关系的逻辑推理| |方程与不等式结合|3题|方程组解满足不等关系求参数|构建代数综合思维，体现知识融合| |方案问题|5题|资源分配与优化的实际决策|培养模型意识，强化应用能力| |其他应用|6题|程序框图/跷跷板/宿舍分配等情境|拓展问题情境，提升抽象能力| |销售利润问题|6题|成本、售价、利润的不等关系应用|突出经济生活中的数学表达，发展数据意识|

专题10 不等式与不等式组的压轴题（8大压轴题型） 题型1 根据不等式的性质求参数取值范围 题型5 不等式与方程结合问题 题型2 根据不等式整数解求参数取值范围 题型6 方案问题 题型3 根据不等式组整数解求参数取值范围 题型7 其他应用 题型4 根据不等式组的解集确定参数取值范围 题型8 销售利润问题 题型一 根据不等式的性质求参数取值范围 1．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 2．已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据不等式的性质得到的取值范围，进而可知k的取值范围． 【详解】解：∵，且， ∴， 即， 故选：A． 3．若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质求解作答即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 故选：C． 题型二 根据不等式整数解求参数取值范围 4．若关于的不等式至少有3个正整数解．则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解等知识点． 求出不等式的解集，根据已知得出，根据至少有3个正整数解求出的范围即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的不等式至少有3个正整数解， ∴， ∴， 故选：C． 5．关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式，根据不等式解的个数求参数，理解负整数解的概念是解题的关键． 解一元一次不等式，根据不等式负整数解的个数，即可确定的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又∵关于的一元一次不等式至少有两个负整数解， ∴， 即：， 故选：C． 6．关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键． 根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 7．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到非负整数解．根据关于x的一元一次不等式的两个非负整数解只能是0、，求出a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式有两个非负整数解， ∴2个负整数解只能是0、， ∴a的取值范围是． 故选：C， 题型三 根据不等式组整数解求参数取值范围 8．关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先解出一元一次不等式组的解集，然后根据解集来取不等式的个整数解，再根据这个整数解求的取值范围． 【详解】解：， 不等式①的解集是：， 不等式②的解集是：， 原不等式组的解集是：； 当关于的不等式组的整数解共有个时， 的值可以取、、， 的取值范围是； 故选：C． 9．若关于的不等式组仅有2个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据题意即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组仅有2个整数解， ∴， 故选：B． 10．若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀． 先根据不等式组有解，求出不等式组的解集，然后根据关于x的不等式组有且只有两个整数解，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组有解， ∴， ∵关于x的不等式组有且只有两个整数解， ∴整数解为：， ∴， 故选：A． 11．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点．不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 题型四 根据不等式组的解集确定参数取值范围 12．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别解两个不等式，得到解集后根据不等式组无解的条件确定m的范围，即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：． 故选：D． 13．若不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是不等式组的解集，掌握不等式组的解集是解题的关键．化简不等式组得，根据不等式组的解集为，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， ， ， 不等式组的解集为， ， 故选：D． 14．若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组有解情况．熟练掌握不等式组的解集的确定的四种情况：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键． 求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组有解，， ∴． ∴． 故选：B． 15．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组无解得出，再求出a的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出a的不等式是解题的关键． 16．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 题型五 不等式与方程结合问题 17．若方程组的解满足，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，方程组中两方程相减求得，由求出k的取值范围即可． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 19．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 题型六 方案问题 20．为了改善社区居住环境，提升居民幸福指数，光明社区决定建设一个大型广场，在广场四周布置，两种园艺造型共40个，每种园艺造型所需花卉盆数和完成所需时间如下表所示： 一个造型 一个造型 所需花卉盆数（单位：盆） 完成所需时间（单位：小时） 4 6 已知1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉． (1)每个种园艺造型和每个种园艺造型各需要多少盆花卉？ (2)若园艺工人每天工作8小时，要求在25天内完成园艺造型建设，且造型不多于25个，则有几种方案可以选择？ 【答案】(1)每个种园艺造型需要100盆花卉，每个种园艺造型需要80盆花卉 (2)6种 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉，再结合表格信息建立方程组求解即可； （2）设建造种园艺造型个，则需建造种园艺造型个，根据题意可得，再解不等式组即可. 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． ∴每个种园艺造型需要100盆花卉，每个种园艺造型需要80盆花卉； （2）解：设建造种园艺造型个，则需建造种园艺造型个， 园艺工人25天工作时长为（小时）， 根据题意，得， 由①解得：， ∴， 又∵为整数， ∴可取20，21，22，23，24，25， ∴有6种方案可以选择． 21．随着城镇化建设的开展，我市加快了交通与住房建设，产生了不少建筑渣土，渣土运输公司承包了某工程的渣土运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车清运渣土，已知3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输渣土多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共辆参与运输渣土，每辆大型渣土车一次需费用元，每辆小型渣土车一次需费用元．若运输土方总量不少于87吨，且总费用低于元．请列出所有运输方案； (3)在（2）的条件下，哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨 (2)有三种派车方案，第一种方案：大型运输车9辆，小型运输车3辆；第二种方案：大型运输车辆，小型运输车2辆；第三种方案：大型运输车辆，小型运输车1辆 (3)大型运输车9辆，小型运输车3辆所需费用最少，最少费用是元 【分析】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，熟练掌握解方程组，不等式组是解题的关键． （1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，列方程组求解即可． （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m辆，则小型渣土运输车()辆．根据运输土方总量不少于吨，且总费用低于元列不等式组，并求整数解即可． （3）分别计算，比较大小解答即可． 【详解】（1）解：设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨， 则， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨． （2）解：设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m辆，则小型渣土运输车辆． 由题意可得，， 解得： ， 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车9辆，小型运输车3辆； 第二种方案：大型运输车辆，小型运输车2辆； 第三种方案：大型运输车辆，小型运输车1辆． （3）解：方案1费用：元； 方案2费用：元； 方案3费用：元； ∵， ∴大型运输车9辆，小型运输车3辆所需费用最少，最少费用是元． 22．某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． (1)一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ (2)该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 【答案】(1)设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱 (2)有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆；②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆；③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱，根据题意可以得到相应的二元一次方程组，从而可得答案； （2）设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可得答案． 【详解】（1）解：设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱． 由题意，得      解此方程组，得 经检验，是原方程组的解，也符合实际情况． 答：设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱． （2）解：设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车辆． ∴． ∴． ∴有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆； ②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆； ③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆． 23．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且购买4台A型充电桩费用与购买3台B型充电桩的费用相等． (1)A、B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买A、B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元 (2)该停车场有3种购买方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，根据购买4台A型充电桩费用与购买3台B型充电桩的费用相等．列出一元一次方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过26万元且且型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数量的，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 解得，则． 答：型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意，得：， 解得：． ∵为整数， ， ∴该停车场有3种购买方案． 24．为响应教育部下发的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》文件要求，让学生在富有自然情趣的劳动实践中培养团结协作精神．某学校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上购买30株种菜苗和20株种菜苗需花费240元，购买20株种菜苗和30株种菜苗需花费260元． (1)求市场上每株种菜苗和每株种菜苗的价格各是多少？ (2)经过协商，市场对两种菜苗均提供九折优惠，学校决定在市场上购买两种菜苗共100株，种菜苗的株数不超过种菜苗株数的，且购买两种菜苗的总费用不超过480元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每株种菜苗是元，每株种菜苗的价格是元 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设市场上每株种菜苗和每株种菜苗的价格各是元和元，根据市场上购买30株种菜苗和20株种菜苗需花费240元，购买20株种菜苗和30株种菜苗需花费260元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买种菜苗株，根据种菜苗的株数不超过种菜苗株数的，且购买两种菜苗的总费用不超过480元，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设市场上每株种菜苗是元，每株种菜苗的价格是元， 由题意，得：，解得：， 答：市场上每株种菜苗是元，每株种菜苗的价格是元； （2）设购买种菜苗株，则购买种菜苗株， 由题意，得：，解得：， ∵为整数， ∴， ∴； 故共有4种方案： 方案一：购买株种菜苗，株种菜苗； 方案二：购买株种菜苗，株种菜苗； 方案三：购买株种菜苗，株种菜苗； 方案四：购买株种菜苗，株种菜苗． 题型七 其他应用 25．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了三次就停止，那么的取值范围是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，掌握不等式组解集的求法是解题的关键． 根据题意建立不等式组，前两次结果不大于95，第三次结果大于95，求解． 【详解】解：由题意 解得 ∴ 故选：B． 26．、、、四人的体重分别为、、、，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四元一次不等式组的应用、不等式的性质，根据示意图列出四元一次不等式组，并熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据人在跷跷板上的示意图，列出四元一次不等式组，再由不等式的性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得： 由③得：④， 把④代入②中得：， ∴， ∴， ∴， 由③得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 27．现有若干名学生，住若干间宿舍若每间宿舍住人，则有名学生无法安排住宿；若每间宿舍住人，则最后一间宿舍不满也不空则学生人数为（    ） A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，列代数式，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力． 设宿舍有间，则学生人数为，根据最后一间宿舍不满也不空，由此建立不等式组，求解的整数解，进而计算学生人数，即可解答． 【详解】解：设宿舍共有间，则学生人数为，依题意，得 ． 解得 即的可能整数值为5、6、7． 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为． 故选D． 28．用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆货车装6吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查不等式的应用，若设有x辆货车，由每辆货车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆货车装6吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，可得不等式组． 【详解】解：若设有x辆货车， 根据题意列出不等式组为：， 故选：D 29．小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验；在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出． 根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积的范围是（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积， 则，解得， 故选C． 30．用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 【答案】(1)无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个 (2)的值为或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，结合，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为整数，即可确定的值，进而可得出的值． 【详解】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， 解得：． 答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个； （2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， ， ， 解得：， 又，均为整数， 可以为或100， 或． 答：的值为或． 题型八 销售利润问题 31．某商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元． (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案； (3)在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折 按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？ 【答案】(1)该商场能购进甲种商品40件，乙种商品60件 (2)符合题意的购买方案有3种，分别为：第一种方案：甲种商品48件，乙种商品52件；第二种方案：甲种商品49件，乙种商品51件；第三种方案：甲种商品50件，乙种商品50件 (3)贝贝第一天购买甲种商品10件，第二天购买乙种商品8件或9件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）设商场购买甲种商品x件，购买乙种商品件，根据总进价为2700元，列方程求解即可； （2）设商场购买甲种商品x件，购买乙种商品件，列出不等式组求出x的取值即可 （3）根据购买甲种商品付款200元可求出甲商品的个数，根据乙商品打九折或八折付款324元，求出乙商品的个数即可 【详解】（1）设商场购买甲种商品x件，购买乙种商品件． 由题意得：． 解得：； 因此． 答：该商场能购进甲种商品40件，乙种商品60件． （2）设商场购买甲种商品x件，购买乙种商品件． 由题意得：． 解得：． 又∵x为非负整数， ∴符合题意的购买方案有3种，分别为： 第一种方案：甲种商品48件，乙种商品52件； 第二种方案：甲种商品49件，乙种商品51件； 第三种方案：甲种商品50件，乙种商品50件． （3）根据题意得 第一天只购买甲种商品不享受优惠条件， ∴件， 第二天只购买乙种商品有以下两种情况： 情况一：购买乙种商品打九折，件； 情况二：购买乙种商品打八折，件． 答：贝贝第一天购买甲种商品10件，第二天购买乙种商品8件或9件． 32．学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元 (2)为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台 【分析】（1）设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元，根据购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元建立方程组求解即可； （2）设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台，根据购买费用为1000元列出方程，求出对应方程的非负整数解，再求出每组解对应的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元； （2）解：设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴是不大于10的整数， ∴n要是偶数， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， ∵， ∴当，时，利润最大， 答：为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台． 33．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市、做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，设购进乙型头盔个，则的取值范围是多少？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲、乙两种型号头盔，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元 (2) (3)能，有三种采购方案：①采购甲型头盔22个，乙型头盔28个；②采购甲型头盔21个，乙型头盔29个；③采购甲型头盔20个，乙型头盔30个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设乙型头盔m个，根据所需费用=数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔m的最大值； （3）根据总利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔数量m的取值范围，结合（2）中答案确定m的取值范围，即可得出可选方案． 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元． 根据题意，得， 解得， 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元． （2）解：根据题意，得， 解得， 的取值范围是． （3）解：能，理由如下：根据题意，得， 解得， ． 为整数， 可取28、29或30，对应的的值分别为22、21或20． 因此能实现利润不少于1 540元的目标，有三种采购方案：①采购甲型头盔22个，乙型头盔28个；②采购甲型头盔21个，乙型头盔29个；③采购甲型头盔20个，乙型头盔30个． 34．仁怀市是酱香酒发源地，茅台酒的故乡，因其特殊的生态、气候、土壤和微生物群，成为酿造茅台酒等优质酱香白酒的主要产区，现某酱香白酒销售商准备向某酒厂购进一批中档酱香白酒进行销售，该酒厂有甲、乙两种品牌中档酱香白酒可供选择，据了解，购10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12000元；购3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要6300元．请根据以上信息解答下面的问题： (1)求甲、乙两种品牌中档酱香白酒的进价； (2)若该酱香白酒销售商准备购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件，但准备的资金不超过元，那么该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒多少件？ 【答案】(1)900元/件，600元/件 (2)80件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设甲种品牌中档酱香白酒的进价为x元/件，乙种品牌中档酱香白酒的进价为y元/件，根据购10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12000元；购3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要6300元．据此列出方程组进行求解即可． （2）先设该酱香白酒销售商能购进甲种品牌中档酱香白酒m件，则乙种品牌中档酱香白酒件，再结合购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件，但准备的资金不超过元，据此列不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种品牌中档酱香白酒的进价为x元/件，乙种品牌中档酱香白酒的进价为y元/件，由题意，得， 解得； 答：甲种品牌中档酱香白酒的进价为900元/件，乙种品牌中档酱香白酒的进价为600元/件． （2）解：设该酱香白酒销售商能购进甲种品牌中档酱香白酒m件，则乙种品牌中档酱香白酒件， 由题意，得， 解得． 答：该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒80件． 35．某校开展社团活动，需要购买若干副象棋和围棋．李老师曾三次在某商场购买过象棋和围棋，其中有一次购买时，遇到商场打折销售（对象棋和围棋的折扣相同），其余两次均按标价购买．三次购买的数量和费用如下表： 象棋（副） 围棋（副） 总费用（元） 第一次 7 5 460 第二次 7 7 448 第三次 5 6 450 (1)李老师是第 次购买时，遇到商场打折销售的； (2)求象棋和围棋的标价； (3)如果该商场现正以题（1）中那次相同的折扣对象棋和围棋进行促销，学校决定从该商场一次性再购买象棋和围棋共30副，且总费用不能超过1000元，那么最少要购买多少副象棋？ 【答案】(1)二 (2)每副象棋30元，每副围棋50元； (3)至少需要购买13副象棋． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据三次购买的数量及总费用，找出哪次购买时实市场打折销售；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）观察三次购买的数量及总费用，可得出：第二次购买的数量最多，且总费用最少，进而可得出李老师第二次购买时遇到市场打折销售的； （2）设每副象棋元，每副围棋元，根据总费用单价购买数量，结合第一、三两次购买的数量及总费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用折扣率打折后的总费用打折前的总费用，可求出该市场促销的折扣率，利用总费用单价购买数量，结合总费用不能超过1000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：第二次购买的数量最多，且总费用最少， ∴李老师第二次购买时，遇到市场打折销售的． 故答案为：二； （2）解：设每副象棋标价元，每副围棋标价元， 依题意得：， 解得：， 答：每副象棋30元，每副围棋50元； （3）解：该市场促销的折扣为． 设购买副象棋，则购买副围棋， 依题意得：， 解得：， 又∵为整数， ∴可以取的最小值为13， ∴至少需要购买13副象棋． 36．无人机在航拍、农业、植保、快递运输等诸多方面有广泛应用，七年级某班在我爱石家庄社会实践活动中进行了相关调查．如表是某商家连续两天销售A、B两种小型无人机的情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种无人机 B种无人机 第一天 4个 5个 11000元 第二天 6个 10个 19000元 (1)求A、B两种无人机每个的售价分别是多少？ (2)若A、B两种无人机每个进价分别为1200元和800元，商家决定再采购A、B无人机共30个，采购资金不超过34000元，求A种无人机最多能采购多少个？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，那么有哪几种采购方案？ 【答案】(1)每个A种无人机的售价是1500元，每个B种无人机的售价是1000元 (2)A种无人机最多能采购25个 (3)商店共有2种采购方案，方案1：采购24个A种无人机，6个B种无人机；方案2：采购25个A种无人机，5个B种无人机 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每个A种无人机的售价是x元，每个B种无人机的售价是y元，利用销售收入＝销售单价×销售数量，结合该商家连续两天销售A、B两种小型无人机的情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购m个A种无人机，则采购个B种无人机，利用采购资金种无人机的进价×采购A种无人机的数量种无人机的进价×采购B种无人机的数量，结合采购资金不超过34000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）根据商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合且m为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：设每个A种无人机的售价是x元，每个B种无人机的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种无人机的售价是1500元，每个B种无人机的售价是1000元； （2）解：设采购m个A种无人机，则采购个B种无人机， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为25． 答：A种无人机最多能采购25个； （3）解：根据题意得：， 解得：， 又∵，且m为正整数， ∴m可以为24，25， ∴商店共有2种采购方案， 方案1：采购24个A种无人机，6个B种无人机； 方案2：采购25个A种无人机，5个B种无人机． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 不等式与不等式组的压轴题（8大压轴题型） 题型1 根据不等式的性质求参数取值范围 题型5 不等式与方程结合问题 题型2 根据不等式整数解求参数取值范围 题型6 方案问题 题型3 根据不等式组整数解求参数取值范围 题型7 其他应用 题型4 根据不等式组的解集确定参数取值范围 题型8 销售利润问题 题型一 根据不等式的性质求参数取值范围 1．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型二 根据不等式整数解求参数取值范围 4．若关于的不等式至少有3个正整数解．则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据不等式组整数解求参数取值范围 8．关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若关于的不等式组仅有2个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四 根据不等式组的解集确定参数取值范围 12．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．若不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 不等式与方程结合问题 17．若方程组的解满足，则k的取值范围是________． 18．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 19．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 题型六 方案问题 20．为了改善社区居住环境，提升居民幸福指数，光明社区决定建设一个大型广场，在广场四周布置，两种园艺造型共40个，每种园艺造型所需花卉盆数和完成所需时间如下表所示： 一个造型 一个造型 所需花卉盆数（单位：盆） 完成所需时间（单位：小时） 4 6 已知1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉． (1)每个种园艺造型和每个种园艺造型各需要多少盆花卉？ (2)若园艺工人每天工作8小时，要求在25天内完成园艺造型建设，且造型不多于25个，则有几种方案可以选择？ 21．随着城镇化建设的开展，我市加快了交通与住房建设，产生了不少建筑渣土，渣土运输公司承包了某工程的渣土运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车清运渣土，已知3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输渣土多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共辆参与运输渣土，每辆大型渣土车一次需费用元，每辆小型渣土车一次需费用元．若运输土方总量不少于87吨，且总费用低于元．请列出所有运输方案； (3)在（2）的条件下，哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 22．某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． (1)一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ (2)该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 23．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且购买4台A型充电桩费用与购买3台B型充电桩的费用相等． (1)A、B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买A、B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，共有哪几种购买方案？ 24．为响应教育部下发的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》文件要求，让学生在富有自然情趣的劳动实践中培养团结协作精神．某学校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上购买30株种菜苗和20株种菜苗需花费240元，购买20株种菜苗和30株种菜苗需花费260元． (1)求市场上每株种菜苗和每株种菜苗的价格各是多少？ (2)经过协商，市场对两种菜苗均提供九折优惠，学校决定在市场上购买两种菜苗共100株，种菜苗的株数不超过种菜苗株数的，且购买两种菜苗的总费用不超过480元．请问有哪几种购买方案？ 题型七 其他应用 25．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了三次就停止，那么的取值范围是（   ） A．5 B． C． D． 26．、、、四人的体重分别为、、、，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A． B． C． D． 27．现有若干名学生，住若干间宿舍若每间宿舍住人，则有名学生无法安排住宿；若每间宿舍住人，则最后一间宿舍不满也不空则学生人数为（    ） A． B． C． D．或或 28．用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆货车装6吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（   ） A． B． C． D． 29．小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验；在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出． 根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积的范围是（        ）    A． B． C． D． 30．用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 题型八 销售利润问题 31．某商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元． (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案； (3)在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折 按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？ 32．学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 33．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市、做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，设购进乙型头盔个，则的取值范围是多少？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲、乙两种型号头盔，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 34．仁怀市是酱香酒发源地，茅台酒的故乡，因其特殊的生态、气候、土壤和微生物群，成为酿造茅台酒等优质酱香白酒的主要产区，现某酱香白酒销售商准备向某酒厂购进一批中档酱香白酒进行销售，该酒厂有甲、乙两种品牌中档酱香白酒可供选择，据了解，购10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12000元；购3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要6300元．请根据以上信息解答下面的问题： (1)求甲、乙两种品牌中档酱香白酒的进价； (2)若该酱香白酒销售商准备购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件，但准备的资金不超过元，那么该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒多少件？ 35．某校开展社团活动，需要购买若干副象棋和围棋．李老师曾三次在某商场购买过象棋和围棋，其中有一次购买时，遇到商场打折销售（对象棋和围棋的折扣相同），其余两次均按标价购买．三次购买的数量和费用如下表： 象棋（副） 围棋（副） 总费用（元） 第一次 7 5 460 第二次 7 7 448 第三次 5 6 450 (1)李老师是第 次购买时，遇到商场打折销售的； (2)求象棋和围棋的标价； (3)如果该商场现正以题（1）中那次相同的折扣对象棋和围棋进行促销，学校决定从该商场一次性再购买象棋和围棋共30副，且总费用不能超过1000元，那么最少要购买多少副象棋？ 36．无人机在航拍、农业、植保、快递运输等诸多方面有广泛应用，七年级某班在我爱石家庄社会实践活动中进行了相关调查．如表是某商家连续两天销售A、B两种小型无人机的情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种无人机 B种无人机 第一天 4个 5个 11000元 第二天 6个 10个 19000元 (1)求A、B两种无人机每个的售价分别是多少？ (2)若A、B两种无人机每个进价分别为1200元和800元，商家决定再采购A、B无人机共30个，采购资金不超过34000元，求A种无人机最多能采购多少个？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，那么有哪几种采购方案？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $