专题07 平行线的压轴题（6大压轴题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 该专项聚焦平行线压轴题，通过6大题型构建“模型→综合→探究”递进体系，提炼辅助线构造、动态转化等方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |拐点铅笔模型|多题覆盖|过拐点作平行线转化角|平行线性质→等角转化模型构建| |多拐点锯齿模型|多题覆盖|多次作辅助线拆分图形|基础模型→多拐点拓展应用| |平行线+角平分线|多题覆盖|角平分线性质与平行性质结合|角平分线定义→角的数量关系推导| |平行线+三角板旋转|多题覆盖|动态角度分类讨论|旋转性质→平行线间角度动态变化| |平行线+折叠问题|多题覆盖|折叠轴对称性质找等角|轴对称性质→折叠前后角的对应关系| |证明探究类压轴|多题覆盖|从特殊到一般归纳推理|模型应用→综合探究与证明|

专题07 平行线的压轴题（6大压轴题型） 题型1 拐点铅笔模型 题型4 平行线 + 三角板旋转 题型2 多拐点锯齿模型 题型5 平行线 + 折叠问题 题型3 平行线 + 角平分线综合 题型6 证明探究类压轴 题型一 拐点铅笔模型 1．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点P作，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过P点作，则，由平行线的性质可得，，从而得出，即可得解； （3）过Q点作，则，由平行线的性质可得，，推出，，由角平分线的定义可得，，从而得出，由（2）知，，推出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过P点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）由示例知，过Q点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴ ， 即． 3．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知直线、，点A、B为分别在直线、上． (1)如图1，点C为平面内一点，连接、，若，求证：； (2)如图2，点C，D为平面内两点，连接，，，若，猜想和，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）过作，证明，从而得到； （2）过点C作，则，过点D作，则，根据平行线的性质得出，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过作，如图所示， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由是： 过点C作，则，过点D作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二 多拐点锯齿模型 4．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，合理做出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，利用平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，根据平行线的判定与性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴不一定正确，故①不符合题意； 如图，延长与的延长线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不能得到，不能得到，故③不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不能得到，故④不符合题意； 故选：A． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期中）中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 过点E、F分别作的平行线，由平行线的性质得到，分别求出、，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点E、F分别作的平行线， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ ∴， ∴. 故选：B. 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过作的平行线和，根据两直线平行内错角相等以及角的和差关系得到，根据垂直的定义得到． 【详解】解：如图，分别过作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·浙江温州·阶段检测）如图，，若，则等于（  ） A．50 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及平行公理推论，正确构造平行线是解题的关键． 过点分别作的平行线，则，那么，再根据角的和差计算求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型三 平行线 + 角平分线综合 10．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点G在两条平行线之间，与的角平分线交于点H．若，则的度数为_______．                                         【答案】/42度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过点作，易得，同理得到，结合角平分线的定义，即可得出结果． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵与的角平分线交于点H， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）问题提出如图1，，点分别在直线上，点是平面内直线与直线之间的点，连接，，，的角平分线所在的直线与的角平分线所在的直线相交于点，探究与之间的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当时， ①直接写出和的大小； ②直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）②中的大小仍然不变． 问题拓展 如图3，若点不在直线与直线之间，其他条件不变，请补全图形，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①，②（2）见解析；问题扩展：或，图见解析 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定，正确作出图图象和辅助线是解题的关键． 问题探究（1）①如图，过点 作 ，过点 作 ，根据 平分 ， 平分 ，得出，．根据，得出．根据，，得出，从而得．．结合，得出．根据，得出，从而得． ② 根据①可得，．得出． （2）过点 作 ，过点 作 ，同（1）根据平行线的性质证明即可． 问题拓展：分为①当点G在直线下方时，和②当点G在直线上方时，分别画图求解即可． 【详解】解：问题探究 （1）①如图，过点 作 ，过点 作 ． 平分 ， 平分 ， ，． ， ． ，， ， ． ． ， ． ，， ， ， ． ② 根据①可得，． ∴． （2） 仍然不变． 证明如下： 过点 作 ，过点 作 ． 平分 ， 平分 ， ，． ， ． ，， ， ． ． ， ． ，， ， ， ． ． 问题拓展：①当点G在直线下方时，如图： 过点 作 ，过点 作 ． 平分 ， 平分 ， ，． ， ． ，， ， ． ． ， ． ，， ， ， ． ． ②当点G在直线上方时， 过点 作 ，过点 作 ． 平分 ， 平分 ， ，． ， ． ，， ， ． ． ， ． ，， ， ， ． ． 14．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图1，直线，点A在直线上，点B、C、D在直线上，，于点E，与的角平分线相交于点F． (1)求的度数； (2)如图2，若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，将绕着点C以秒的速度逆时针旋转，当边与射线重合时停止，求在旋转过程中的其中一边与的某一边平行时旋转时间t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)2或10或12或18或30． 【分析】本题主要考查了角的计算和平行线的性质，正确的计算旋转角是本题解题的关键． （1）根据角平分线的定义，用和表示出和，再根据三角形内角和求解即可； （2）用表示出，再根据平行线的性质得出，最后根据三角形内角和求解即可； （3）根据平行两边不同分类讨论，根据平行线的性质求出旋转角，从而求得时间t． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∴ 设旋转时间为t秒，旋转角度为． ∵边，，，有共同顶点C， ∴这四条边不能互相平行， ①时，如图： ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图： ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图： ∴， ∴， 解得：； ④当时，如图： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ⑤当时，如图： ∴， ∴， 解得：； 综上所述，或10或12或18或30． 题型四 平行线 + 三角板旋转 15．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． (1)当旋转时间为秒时，求的度数； (2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； (3)当旋转时间秒时，直接写出时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意得出，过点作，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设射线交于点，分两种情况讨论，当时，顺时针旋转，当时，逆时针旋转，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ∴． 如图，过点作， ∴． ∵, ∴． ∴． 又∵， ∴． 解得：, （3）解：如图，设射线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，顺时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 当时，逆时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或． 16．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解． （2）根据是的倍，结合（1），得出方程，解得，进而求得，即可得证； （3）分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：；．． （2）． 理由：由题意，得， 解得， 即， ， ． （3）存在．分以下两种情况： ①如图1，，． ， ． ， ，解得； ②如图2，， ， ， ，解得． 综上所述，的值为或． 17．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知：E，F分别是直线和上的点，，G，H点为平面内两个动点． (1)如图1，G，H在两条直线之间时，，试说明：； (2)如图2，作直线，G点在下方，H点在和之间，连接和的角平分线交于点G．探究与的数量关系； (3)如图3，H，G在直线上，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线在旋转6秒后开始绕点F以每秒的速度顺时针旋转．射线旋转后两条射线同时停止．设射线旋转t秒时，射线，直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，平行线的判定与性质，平行公里的推论，旋转，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）过点G作，过点H作，可得，，继而推导出，即可解答； （2）先证明，继而推导出即可解答． （3）分类讨论，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）如图1， 过点G作，过点H作， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）∵平分平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ∴． （3）分两种情况： ①如图3①， 由题意得，， 则， 当时，， ∴， 解得：； 如图3②，有 ， 当时， ， ∴，解得：． 综上所述，t的值为或． 18．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线上，且，与相交于点G，其中，，，，．    (1)______度； (2)若三角板绕F点按顺时针方向旋转，如图2，当时，此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕F点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请在备用图上画出大致图形，并求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；画图见解析；15秒或45秒或60秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点， （1）过G作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过F作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案； 熟练掌握平行线的性质，合理作出辅助线是解此题的关键． 【详解】（1）如图1，过G作，    ∴，， ∴， 故答案：； （2）如图2，过F作，    ∵， ∴． ∴，， ∴； （3）如图3，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：，    如图4，当时， ∵，， ∴， ∴，解得：，    如图5，当时，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴，解得：，    综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 题型五 平行线 + 折叠问题 19．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为_______． 【答案】/24度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 【详解】解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 20．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_________． 【答案】100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：100． 21．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置上，与的交点为，若，则的度数为______． 【答案】/132度 【分析】本题考查了折叠问题，平行线的性质，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 根据，可得，根据翻折的性质得，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由长方形纸片可知：， ， 由翻折的性质得：， ， ， 故答案为： 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 题型六 证明探究类压轴 23．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）（1）【感知发现】学习平行线时，兴趣小组发现了很多有趣的模型图．如图1，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程． （2）【综合实践】利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．如图2，已知直线，点C在直线b上，在三角形中，，兴趣小组的同学们发现，请说明理由． （3）【探究运用】如图3，，F是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）理由见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过E点作，可得，根据平行线的性质得出，即可得到结果； （2）如图，结合（1）的结论得到，由，结合已知条件，得到结果； （3）由模型（1）可得，结合角平分线的定义，可得到结果． 【详解】（1）证明：过E点作， ， ， ， ， 即； （2）如图2，，理由如下： 由（1）模型图知，， ， ， ， ， 即； （3）如图3，，理由如下： 由（1）模型图得，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即． 24．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，线段分别与、相交于点、，在直线上有一点，连接． (1)如图①，点在线段上，当，时，求的度数； (2)如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)如图③，当点在线段的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)不成立，新关系为：，证明见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过P作，则，根据平行线的性质求出的度数即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：， 证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图1，，点A，B分别在直线上，，． (1)若，则______°． (2)若平分，点R在线段上，连接． ①如图2，当时，证明：； ②如图3，延长交于点D，过点D作分别交于点E，F，当时，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析②证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线中拐点模型，熟练掌握平行线的性质是解题的关键， （1）过点C作，根据平行线的具有传递性，根据平行线的性质得，，再根据，即可求出结果； （2）①根据角平分线的性质得和利用三角形内角和进行转换，即可得到结论； ②根据平行线的性质得，根据拐点规律即可解答； 【详解】（1）如图，过点C作， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①由（1）得， 平分， ， ∵， ， ， ； ② ， ， ， ， ， ， 同（1）得， ， 同（1）得， ， 26．（24-25七年级下·北京密云·期末）如图，，直线分别与直线、交于、两点，点在直线上，点是射线上的一个动点（不与点、重合），过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时． ①结合题意，补全图1； ②用等式表示和之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①见解析② (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，垂直的定义，平角，正确作出图形是解题的关键． （1）①根据题意作图，即可解答；②理由如下：过点P作，有，继而求出可得到，则，即可解答． （2）过点P作，有，先求出 则有，，即可解答． 【详解】（1）解：①作图如图 ②理由如下： 过点P作，如图 有， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． （2）过点P作，如图 有， ∵， ∴ ∴，， ∴． 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）悬挂对于汽车的操控性能有着决定性的作用，不同构造的悬挂有着不同的操控性能．现代轿车大都是采用独立式悬挂系统，独立悬挂系统是每一侧的车轮都是单独地通过弹性悬挂系统悬挂在车架或车身下面的．如图是某汽车的独立悬挂截面图，已知，，，且，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可推出，延长分别交直线于点M，点N，则可证明，过点I作，则，据此可得，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； 如图所示，延长分别交直线于点M，点N， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点I作， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则_______；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则_______，_______． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，平分线的定义等知识，过点作，过点作，则可证出，再根据角平分线定义可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ，． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ， ． 同理可得， ，， …， 以此类推， 故答案为：；；． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行线的性质，分类讨论，掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图1，直线分别交直线于两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知与的角平分线交于点．求的值； (3)在（2）的条件下，若，绕点以的速度顺时针方向旋转得到，当首次与射线重合时运动停止，在运动过程中（含始终位置），旋转时间为何值时的一边与直线平行． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12或18或30或48 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，结合图形分情况分析是解题关键． （1）根据题意及平行线的判定即可证明； （2）分别过点作，得出，再由平行线的性质及各角之间的关系求解即可； （3）分四种情况分析：①当时，②当时，③当时，④当时，结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）解：分别过点作， ∵， ∴， ，，分别平分与 ∵， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ①当时，，得； ②当时， ， ， ， ， ∴，得； ③当时， ∴， ∴， ∴，得， ④当时，同理得：，得 综上所述的一边与直线平行时或或或． 5．（24-25七年级下·四川凉山·期末）如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，且点I在的右边，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，进而得出，则，即可得证； （2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解； （3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解∶如图所示， 由（1）可得， ∴ 综上所述， 6．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）如图1，，点E，H在直线上，点G，P在直线上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点F作直线交线段于点N，且．用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，过点F作，垂足为P，过点F作．射线绕点F从开始以每秒的速度逆时针旋转至停止，同时射线绕点F从开始以每秒的速度顺时针旋转至停止，设运动时间为t秒，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)3或7.5 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理和外角的性质，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）延长交于点，由得出，再由得故可得结论； （2）延长交于点，分别延长和，交于点，交于点，设，得，由可得结论； （3）延长交于点，求出，，，再分当在内部或外部时，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：，理由如下： 延长交于点，分别延长和，交于点，交于点，如图， 设， ∵， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 又 即； （3）解：延长交于点，如图 ， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 当在内部时，∵， ∴， 解得，， 当在外部时，则有：， 解得，, 综上，的值为3或7.5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平行线的压轴题（6大压轴题型） 题型1 拐点铅笔模型 题型4 平行线 + 三角板旋转 题型2 多拐点锯齿模型 题型5 平行线 + 折叠问题 题型3 平行线 + 角平分线综合 题型6 证明探究类压轴 题型一 拐点铅笔模型 1．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 3．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知直线、，点A、B为分别在直线、上． (1)如图1，点C为平面内一点，连接、，若，求证：； (2)如图2，点C，D为平面内两点，连接，，，若，猜想和，，的数量关系，并证明． 题型二 多拐点锯齿模型 4．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则______． 5．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24七年级下·广东深圳·期中）中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·浙江温州·阶段检测）如图，，若，则等于（  ） A．50 B． C． D． 题型三 平行线 + 角平分线综合 10．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点G在两条平行线之间，与的角平分线交于点H．若，则的度数为_______．                                         11．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    12．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）问题提出如图1，，点分别在直线上，点是平面内直线与直线之间的点，连接，，，的角平分线所在的直线与的角平分线所在的直线相交于点，探究与之间的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当时， ①直接写出和的大小； ②直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）②中的大小仍然不变． 问题拓展 如图3，若点不在直线与直线之间，其他条件不变，请补全图形，直接写出与之间的数量关系． 14．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图1，直线，点A在直线上，点B、C、D在直线上，，于点E，与的角平分线相交于点F． (1)求的度数； (2)如图2，若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，将绕着点C以秒的速度逆时针旋转，当边与射线重合时停止，求在旋转过程中的其中一边与的某一边平行时旋转时间t的值． 题型四 平行线 + 三角板旋转 15．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． (1)当旋转时间为秒时，求的度数； (2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； (3)当旋转时间秒时，直接写出时的值． 16．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知：E，F分别是直线和上的点，，G，H点为平面内两个动点． (1)如图1，G，H在两条直线之间时，，试说明：； (2)如图2，作直线，G点在下方，H点在和之间，连接和的角平分线交于点G．探究与的数量关系； (3)如图3，H，G在直线上，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线在旋转6秒后开始绕点F以每秒的速度顺时针旋转．射线旋转后两条射线同时停止．设射线旋转t秒时，射线，直接写出t的值． 18．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线上，且，与相交于点G，其中，，，，．    (1)______度； (2)若三角板绕F点按顺时针方向旋转，如图2，当时，此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕F点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请在备用图上画出大致图形，并求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． 题型五 平行线 + 折叠问题 19．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为_______． 20．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_________． 21．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置上，与的交点为，若，则的度数为______． 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 题型六 证明探究类压轴 23．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）（1）【感知发现】学习平行线时，兴趣小组发现了很多有趣的模型图．如图1，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程． （2）【综合实践】利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．如图2，已知直线，点C在直线b上，在三角形中，，兴趣小组的同学们发现，请说明理由． （3）【探究运用】如图3，，F是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 24．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，线段分别与、相交于点、，在直线上有一点，连接． (1)如图①，点在线段上，当，时，求的度数； (2)如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)如图③，当点在线段的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 25．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图1，，点A，B分别在直线上，，． (1)若，则______°． (2)若平分，点R在线段上，连接． ①如图2，当时，证明：； ②如图3，延长交于点D，过点D作分别交于点E，F，当时，证明：． 26．（24-25七年级下·北京密云·期末）如图，，直线分别与直线、交于、两点，点在直线上，点是射线上的一个动点（不与点、重合），过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时． ①结合题意，补全图1； ②用等式表示和之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，直接写出和的数量关系． 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）悬挂对于汽车的操控性能有着决定性的作用，不同构造的悬挂有着不同的操控性能．现代轿车大都是采用独立式悬挂系统，独立悬挂系统是每一侧的车轮都是单独地通过弹性悬挂系统悬挂在车架或车身下面的．如图是某汽车的独立悬挂截面图，已知，，，且，，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则_______；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则_______，_______． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为______． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图1，直线分别交直线于两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知与的角平分线交于点．求的值； (3)在（2）的条件下，若，绕点以的速度顺时针方向旋转得到，当首次与射线重合时运动停止，在运动过程中（含始终位置），旋转时间为何值时的一边与直线平行． 5．（24-25七年级下·四川凉山·期末）如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，且点I在的右边，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 6．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）如图1，，点E，H在直线上，点G，P在直线上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点F作直线交线段于点N，且．用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，过点F作，垂足为P，过点F作．射线绕点F从开始以每秒的速度逆时针旋转至停止，同时射线绕点F从开始以每秒的速度顺时针旋转至停止，设运动时间为t秒，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $