期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦数列求和三大核心方法，以"求通项-用方法"为逻辑链条，通过分层典例构建系统性训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |裂项相消法|3例+3变式|分式型数列（如1/(n(n+1))），含证明求和不等式|从递推/等差等比求通项到裂项变形，体现转化与化归思想| |错位相减法|3例+3变式|等差×等比型数列（如n·2ⁿ），含错位相减后不等式证明|先证等差/求通项，再通过错位相减推导求和公式，强化运算严谨性| |分组与并项求和|3例+3变式|等差等比组合或正负相间型，含分组转化求和|通过数列拆分与重组，建立复杂数列与基本数列的联系，培养模型意识|

期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高二下广西桂林·期中)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a+2an=4S,+3. (I)求{a}的通项公式： ②若6，=，，求数列b,}的前n项和工 andnsl 例2.(2026陕西榆林·模拟预测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=17ao,S,=75 (1)求{an}的通项公式： (2)求n的最大值： (3)记bn=20-an,求数列 10 的前n项和T 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高三下·河南阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,a2=5,且数列{a1-a}是公差为4的等差数列 (1)求数列an}的通项公式： ②求证：1+1+1++1< a az ds a2 变式1.(25-26高二下·江西赣州期中)己知数列{an}是等比数列，a=2,42=4,数列{bn}满足：b.=2log2an· (I)求{an},{bn}的通项公式： ②数列c6b求数列c的前项和S 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2.(25-26高二下·陕西西安阶段检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a,=14,a4=19 (I)求{an}的通项公式； (②)若a,S-m,a2成等比数列，求m的值； (3)证明：数列 S 的前n项和恒小于。 aa) 变式3.(2026陕西榆林模拟预测)己知数列an}的前项和为Sn,且a,=1,数列 S,是公差为的等差数列. a (I)求{an}的通项公式； ②设6=：2，记数列6，}的前项和为工，求使得T,>120成立的最小正整数的值。 antl 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高二下.黑龙江齐齐哈尔期中)在数列an}中，a,=1,3anan-1+an-a1=0(n≥2，n∈N) 1 (1)求证：数列 是等差数列； a ②令6.2， 数列bn}的前n项和为Sn,证明：Sn<4 例2.(25-26高二下…四川内江阶段检测)已知数列{a}的前n项和为Sn,且an=2a-1+2，且a,=1 (1)证明数列 是等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn; (3)若2a<S,求正整数k的所有取值， 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(2526高三下-饮西汉中-期中)已知数列a,中，4=1，a=1+30 (1)求证：数列 1 是等差数列： (2)求数列{an}的通项公式； (③)设数列6满足：6-2 ,求{bn}的前n项和Tn· a。 变式1.(25-26高二下…湖北荆州阶段检测)已知数列an}满足41=1，am+1=3a。+4 (I)求数列{an}的通项公式： (2)设cn=a log(an+2),求数列cn}的前项和Sn. 5 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2.(25-26高二下·青海西宁期中)已知等差数列{an}满足a,+a,=8,a4-a2=4 (1)求数列{an}的通项公式： (②)求数列{a,·2}的前n项和Sn. 变式3.(25-26高二下·福建福州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且2S,=(n+1)a,· (I)求{an}的通项公式： ②设6=4，记数列么的前顺和为民，求民. 6 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点三 分组与并项求和 例1.(25-26高二下广东广州期中)已知数列{a}的前n项和为S,且S,=n2,数列{b}为正项等比数列，且 b=1,b2+b3=12 (I)求{an}和{b}的通项公式： (2)求{an+bn}的前n项和 例2.（2026江西·三模)已知正项等比数列{an}满足a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列. (I)求{an}的通项公式： 2若，=103，+2n-1,求数列6，}的前项和S. a 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高二下·江西吉安期中)已知等比数列{an}的公比为q(q>0且9≠1)，等差数列{bn}的公差为d,满足 条件：a1=b=1,a2=b-1,a3=b4. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn=an-bn，求数列Cn}的前n项和Tn 变式1.(25-26高二下·湖南长沙期中)已知{an}是等差数列，其前n项和为S,{bn}是等比数列，已知 a1=1,S3=6,b,=a2,a是a4和b的等比中项. (I)求{an}和{b}的通项公式： (2)求数列 3a,-3a1-+-y1og,6. 的前n项和T, 6 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2.(25-26高二下·辽宁鞍山期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+4=2an;等差数列{bn}满足b=7； b+a5=75; (I)求{an}和b}的通项公式； (2)求数列 么+n的前项和工.， 变式3.(2026四川广安模拟预测)设数列an}的前项和为Sn,a1=2且Sn=a+1-2. (1)证明{an}为等比数列； (2)若b,=a,+log,am,求数列{bn}的前n项和为T,. 9期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 期末培优：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系，利用作差法得到，结合等差数列的定义求解即可. （2）求出，采用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由，可得，， 两式相减得，. 因为是正项数列，所以， 所以，即，. 由，解得或（舍去）， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，则. 满足上式，因此. （2）由（1）得， 所以 . 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)100 (3) 【分析】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解即可； （2）根据等差数列的性质求最值即可； （3）利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以； （2）令，得. 所以当时，；当时，， 所以的最大值为； （3）由题知. 所以. ． 例3．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可. （2）根据（1）以及裂项相消法求解即可. 【详解】（1）， 所以 ， 当时满足以上通项公式， 综上所述：的通项公式为； （2）， 当时，， 当时，， 综上所述：. 变式1．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2) 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的基本量运算即可求得数列的通项公式； (2)利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 于是 ； 则， 故的通项公式为，的通项公式为. （2）由题可知 数列的前项和为 . 变式2．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，，成等比数列，求m的值； (3)证明：数列的前n项和恒小于. 【答案】(1) (2)或76. (3)证明见解析 【详解】（1）设公差为，则， 则， 则. （2）， 若，，成等比数列，则， 则，解得或76. （3）因为， 所以数列的前n项和 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 考点二 错位相减法 例1．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【详解】（1）由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 例2．（25-26高二下·四川内江·阶段检测）已知数列的前n项和为，且，且. (1)证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若，求正整数k的所有取值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，， 【分析】（1）本小问主要考查利用等差数列的定义来证明等差数列，两边同时除以，转化为所要求解数列的形式，通过定义判断即可； （2）由（1）可知的通项公式为等差乘等比数列的形式，利用乘公比错位相减即可求出前项和； （3）根据条件列出不等式，然后转化为函数，利用函数的单调性进行判断，从而求出正整数的所有可能的取值. 【详解】（1）证明：因为，两边同时除以得，， 化简得，所以， 又，所以数列为以为首项，为公差的等差数列， 所以，. （2）解：由（1）可知，，所以， 则①， 又②， ①②得， 所以. （3）解：由（1）（2）可知，，. 所以，. 由可得，，整理可得. 令，易知在上单调递增， 在上单调递增，所以，在上单调递增. 又，， ，， 所以，当时，有，即，在，时不成立. 所以k可取，，. 例3．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知数列中，， (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列满足：，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 可得， 可得数列是首项为1，公差为3的等差数列； （2）由（1）可得， 则； （3）由题可知， 则前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 变式1．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) ， 【分析】（1）分析可知数列是首项为3，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）利用分组求和及错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为， 则，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 所以. （2）因为, 所以， 设, 则， 两式相减可得： ， 所以， 又， 所以, 变式2．（25-26高二下·青海西宁·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式进行计算即可； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，所以， 又，所以 ，所以， 所以. （2）由（1）可知， 则①， 所以②， 由①②得： ， 所以. 变式3．（25-26高二下·福建福州·期中）已知数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用来变形，可得数列是常数列，进而即可求得其通项； （2）结合（1），再利用错位相减即可求出． 【详解】（1）因为，所以， 两式相减可得， 所以，所以数列是常数列， 又，所以， 所以，所以． （2）结合（1）得， 则， 两边乘以4可得：， 两式相减得：， ， 即． 考点三 分组与并项求和 例1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用的关系求数列的通项公式；应用等比数列基本量的计算可求得等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和即可. 【详解】（1）当时，. 当时，，也符合上式，所以. 设正项等比数列的公比为，则，又， 所以，即，解得， 所以. （2）设的前项和为， 所以. . 例2．（2026·江西·三模）已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，整理得， 解得或． 因为，所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知． 记数列的前项和为，则． 因为， 所以两式相减得， 所以． 因为数列的前项和为， 所以． 例3．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项的基本量运算求解即得； （2）利用分组求和法，结合等比等差数列求和公式计算即得． 【详解】（1）由题意，，则. ，故， 由可得，消去，可得， 即. 因为且，所以. 故数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）根据题意得：， 由（1）得. 故 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，再由和的等比中项可求出的通项公式； （2）利用裂项相消法和分组求和法求前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 可得，所以，解得， 所以， 则， 是和的等比中项，可得，所以， 设等比数列的公比为，则，解得， 所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）． 又因为， 所以的前项和． 记的前项和为， 当为偶数时，； 当为奇数时，， 综上： 变式2．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1），，两式相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件;及是等差数列求解即可； （2）分组后采用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则, 所以； （2）由第（1）问，， ∴设，① ①，得，，② ∴①-②，得， ， 另一部分的前n项和为 所以. 变式3．（2026·四川广安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，结合等比数列定义完成证明； （2）先求出的通项，将拆分为等比数列和等差数列分别求和后相加得到. 【详解】（1）已知且． 当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $