第六章 平面向量及其应用22大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以“概念-运算-定理-应用”为逻辑主线，覆盖平面向量与解三角形22类核心题型，通过分层典例培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|15题型（含新定义、四心问题）|选择/填空/解答题结合，突出概念辨析、线性运算、数量积应用|从向量概念到坐标运算，再到数量积衍生问题（夹角/模长/投影）及综合应用（最值/新定义）| |解三角形|7题型（含多三角形、形状判断）|侧重正余弦定理应用，涵盖周长面积、解的个数、最值问题|从定理直接应用到边角互化，再到多三角形综合及动态最值问题|

第六章平面向量及其应用 题型一 平面向量的概念辨析 1 题型二 向量的加减法与数乘向量 3 题型三 平面向量的线性表示 4 题型四 平面向量的基本定理求参数 7 题型五 平面向量的坐标运算 10 题型六 向量共线定理的应用 11 题型七 向量的数量积 13 题型八 向量的夹角 14 题型九 向量的模长 16 题型十 向量的投影 18 题型十一 向量垂直的应用 19 题型十二 向量夹角为锐角钝角问题 21 题型十三 向量的最值与取值范围问题 23 题型十四 平面向量的四心与面积比 26 题型十五 向量新定义 30 题型十六 正余弦定理解三角形 35 题型十七 正余弦定理边角互化 36 题型十八 三角形周长面积问题 38 题型十九 三角形形状问题 41 题型二十 三角形个数问题 44 题型二十一 多三角形问题 47 题型二十二 最值与取值范围问题 50 题型一 平面向量的概念辨析 1．(25-26高一上·湖北武汉外国语学校·期末)“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 2．(25-26高一上·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 3．(25-26高一上·福建莆田第二十四中学·期末)（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量的模可以比较大小，而向量无法比较大小，故A错误； 对于B，若，根据向量相等的定义，这意味着它们大小相等且方向相同，所以一定满足，故B正确； 对于C，当时，满足，，不一定满足，故C错误； 对于D，若，则与大小相等且方向相同； 又因为，则与大小相等且方向相同； 所以，与大小相等且方向相同，所以，故D正确. 4．(24-25高一·安徽淮北合肥一六八中学教育集团淮北五中分校·期末) （多选）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 题型二 向量的加减法与数乘向量 1．(24-25高一下·贵州盘州第七中学·期末)已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 【答案】1 【分析】根据菱形的几何性质，由向量线性运算以及模长的概念，可得答案. 【详解】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 故答案为：. 2．(23-24高一下·河北邯郸涉县第一中学·期末)在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中线的性质结合向量的线性运算分析求解. 【详解】因为为的中点，则， 所以. 故选：A. 3．(25-26高一上·安徽·期末) （多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 4．(25-26高一上·湖北荆州中学·期末) （多选）下列命题为真命题的是（    ）（多选） A．若，则 B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量，满足，，则 【答案】BCD 【分析】利用向量的相关概念判断ABC，利用判断D项. 【详解】A选项：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小（仅模可比较），故A为假命题； B选项：根据零向量的性质，零向量与任意向量共线，故B为真命题； C选项：互为相反向量的两个向量方向相反且模相等，故C为真命题； D选项：由向量模的三角不等式，代入，得，故D为真命题。 综上，真命题为BCD. 故选：BCD 题型三 平面向量的线性表示 1．(25-26高一上·安徽阜阳第一中学·期末)在中，点在边上，且．记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ． 2．(25-26高一上·浙江宁波奉化中学·期末)已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】因为 ， 所以， 即 ， 所以， 故选：C 3．(25-26高一上·辽宁辽阳·期末)如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 4．(25-26高一上·江苏如皋·期末) （多选）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 题型四 平面向量的基本定理求参数 1．(25-26高一上·湖南长沙长郡中学·期末)如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得出向量坐标列式结合二倍角正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则 ， 因为，故， 因为，所以（负值舍去）， 所以，故. 又，则， 因为， 所以， 解得，所以. 故答案为： 2．(25-26高一·江苏盐城亭湖高级中学·期末)在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 3．(25-26高一上·山西忻州部分学校·)如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 4．(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末)如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据图形，利用向量的加法法则计算可得； （2）利用向量的四边形法则结合共线的基本定理可得. 【详解】（1）因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. （2）若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. 题型五 平面向量的坐标运算 1．(25-26高一·浙江台州·期末)已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】依题意，则． 故选：D． 2．(25-26高一上·辽宁县级重点高中协作体·期末)设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则________. 【答案】 【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解. 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 3．(25-26高一上·辽宁大连文谷高级中学·期末)已知向量，则__________. 【答案】 【分析】根据模长公式即可得解. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 4．(23-24高一下·湖北武汉部分学校·期末) （多选）已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用平面向量的性质判断A，应用数量积公式计算判断B，应用向量加法计算判断C，应用数量积运算律及性质计算判断D. 【详解】因为向量不能比较大小，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项正确； 故选：BCD. 题型六 向量共线定理的应用 1．(25-26高一上·山西忻州部分学校·)设向量，若，则实数___________． 【答案】 【分析】根据“若，则”，解出的值； 【详解】，， 则实数， 解得， 故答案为：. 2．(22-23高一下·湖南邵阳·期末)下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 3．(24-25高一下·贵州黔南布依族苗族都匀第一中学·期末)在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算可得出，设，利用平面向量的线性运算可得出，根据平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： 因为，即，解得， 因为，即为的中点，所以， 因为、、三点共线，设，则， 所以， 因为、不共线，且， 所以，所以，，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 4．(25-26高一上·辽宁大连第二中学·期末) （多选）已知向量，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，，不可能有，A错误 B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以，故C错误. D选项，由C选项分析可得，D正确． 题型七 向量的数量积 1．(24-25高一下·陕西西安阎良区·期末)已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 【答案】 【详解】由，所以，所以，即. 2．(25-26高一·江苏常州第一中学·期末)已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 【答案】3 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 即，又， 所以， 所以 故答案为：3 3．(25-26高一·江苏徐州·期末)若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】4 【分析】由 求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴ ， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 4．(25-26高一上·广东深圳实验学校高中部·)已知单位向量与的夹角为，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出，再求模； （2）利用数量积运算律计算. 【详解】（1）由题可得， 则； （2） . 题型八 向量的夹角 1．(25-26高一上·江苏如皋·期末)已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以. 2．(25-26高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可. 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得， 由，可知， 故选：D. 3．(25-26高一上·云南昭通一中教研联盟·期末)已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 4．(25-26高一·广东深圳南山区·期末)若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 【答案】 1 【分析】①先根据已知条件求出，然后化简，然后根据数量积的定义确定其最值.②先利用向量夹角的余弦公式求出，然后利用同角的三角函数关系式求出，进而列出的表达式，然后进行化简、换元，根据基本不等式的性质确定最大值. 【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得. 因为，所以. 所以， 设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值， 所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 故答案为：①1；②. 题型九 向量的模长 1．(25-26高一·江苏锡山高级中学·期末)已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积公式得出，再把模长转化为数量积计算求值. 【详解】因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 故答案为：. 2．(25-26高一·浙江台州·期末)若非零向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，代入可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得， 又因为，则，解得. 故选：A. 3．(25-26高一上·安徽·期末)已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量数量积运算，结合已知条件，直接计算即可； （2）由（1）中所求数量积，结合数量积运算律，求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，解得，又，所以. （2）由（1）得，，故可得：， 则. 4．(25-26高一·江苏盐城中学·期末)设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得， ∵不共线，∴， 解得．∴当时，向量终点在同一直线上. （2）， 故当时，最小. 题型十 向量的投影 1．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以 ， 则在上的投影向量为 . 2．(25-26高一上·江苏常州高级中学·期末)已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 3．(25-26高一上·湖南长沙明德中学·期末)已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 【答案】 【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 4．(25-26高一·广东深圳高级中学（集团）·期末) （多选）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【分析】由向量数量积的定义式计算可判断A；由模长公式结合数量积计算可判断B；计算即可判断C；由向量在向量上的投影向量为代入计算判断D． 【详解】向量，的夹角为 ，且，， ，故A错误； ，故B正确； ， ，故C正确； 向量在向量上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 题型十一 向量垂直的应用 1．(24-25高一下·云南曲靖会泽县·期末)已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数，再应用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，可得，故， 所以在方向上的投影向量的坐标是. 故选：B 2．(24-25高一下·贵州黔南州·期末)已知平面向量，且． (1)求和的坐标； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两平行向量、垂直向量的坐标关系列方程求解； （2）求出、的坐标，直接代入向量夹角公式中求余弦值即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 因为，所以，则. （2）因为，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为. 3．(25-26高一·江苏无锡第一中学·期末)已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)5； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的定义及运算律建立方程求解即可. （2）由（1）中信息，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求解. 【详解】（1）由，得，而， 则，即， 所以. （2）由（1）得，由，得， 所以. 4．(25-26高一上·湖南长沙明德中学·期末)已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解； （2）根据向量垂直可得，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 则. （2）因为与垂直， 所以， 即，解得. 题型十二 向量夹角为锐角钝角问题 1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围_____. 【答案】 【分析】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且两向量不共线求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 又与的夹角为钝角，所以且与不反向共线， 所以且，解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 2．(24-25高一下·江西抚州·)已知向量，，“”是“与的夹角为钝角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示列式求解参数，再结合充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由向量与的夹角为钝角，得，且不共线， 则，解得且， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 3．(25-26高一上·广东深圳实验学校高中部·) （多选）下列命题中正确的是（    ） A．若则或 B．在中，若点满足，则为的垂心 C．已知非零向量，若，则的夹角为锐角 D．若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形 【答案】BD 【分析】根据向量的数量积定义即可判断AC；根据题意，结合向量的运算得 ， ，即可判断B；根据向量的数量积判断得 ，又根据E为AB中点，即可判断D. 【详解】对于A，若则或，或，A错误； 对于B，由， 同理可得，所以P为的垂心，故B正确； 对于C，设与的夹角为，则由得 ，又因为 ， 所以，所以C错误； 对于D，如图， 取AB中点为E，连接CE， 因为， 所以，又E为AB中点，所以， 故三角形ABC的形状一定是等腰三角形，所以D正确. 故选：BD 4．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 题型十三 向量的最值与取值范围问题 1．(24-25高一下·江西抚州·)已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向量问题几何化，设终点为定点（距原点），终点在与夹角的射线上，终点在以为圆心、半径为的圆上；则即点到圆上点的距离，其最小值为点到射线的距离减去圆半径，即可得答案． 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 2．(25-26高一上·湖南邵阳·)已知平面向量满足，且不等式对任意实数都成立，则的值为________. 【答案】2 【分析】对不等式两边同时平方后得到一个恒成立的不等式，通过构造二次函数，根据二次函数的恒成立问题列方程组求解即可. 【详解】对不等式两边同时平方得 ， 将代入后整理得. 令，则对任意实数都成立， 所以的图象开口向上，且， 即，即，解得，即. 故答案为：2. 3．(25-26高一·江苏徐州·期末)已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据得到，代入计算即可得到答案； （2）求得，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 即， 因为，， 所以， 解得. （2）， 所以当时，有最小值2， 故的最小值为. 4．(25-26高一上·辽宁县级重点高中协作体·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，的最小值为50. 【分析】（1）用向量的加法和向量的数乘运算可求得鸿蒙点满足可以被5整除，代入点计算即可判断； （2）构造，计算可得，即可证明结论； （3）利用向量的坐标运算可得，设，可得，计算即可求解. 【详解】（1）不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点； （2）由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点； （3）由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为. 题型十四 平面向量的四心与面积比 1．(25-26高一上·安徽阜阳第一中学·期末)设点在内部，且，则 __________． 【答案】/ 【分析】变形给定等式，作图使得，进而确定点，再利用等高的三角形面积关系求解. 【详解】由，得，在线段上取点，使得， 取点，使点不在直线上，则，点是线段的中点， 因此，所以. 2．(25-26高一·河北保定清苑区清苑中学·期末) （多选）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．平行四边形中，若，则四边形是矩形 C．若，，，四点在同一条直线上，且，则 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 【答案】ABD 【分析】对AB，根据向量数量积的运算律即可判断；对C，举出反例即可判断；对D，根据向量加法的几何意义即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，由可得， 所以，所以， 所以，所以四边形是矩形，故选项B正确； 对于C，依题意如图， 但，故C错误； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ABD. 3．(25-26高一上·云南昆明第一中学·期末)（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 4．(23-24高一下·四川达州外国语学校·期末)如图，是的边上的点，是线段上的点，，的面积是面积的2倍． (1)若的面积为的面积的倍，证明：是的外心； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形面积公式可得，，设，再由余弦定理可得，进而得到即可证明； （2）由正弦定理得，设，，则，进而得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵若的面积为的面积的倍， ， ，即， 设，由于的面积是面积的2倍，同上可得， 分别在和中，由余弦定理得， ， ，解得， ，即是的外心； （2）解：在中，由正弦定理得， ， 设，由条件知， 由（1）得， ， ，即， 所以的取值范围是． 题型十五 向量新定义 1．(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末) （多选）定义平面斜坐标系，为斜坐标系的原点，记，、分别为轴、轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点满足，则记点的斜坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．在斜坐标系下，的坐标不能由点的位置唯一确定 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则、、三点共线 【答案】BC 【分析】利用平面向量坐标的表示及运算即可对A判断求解；由题可得，即可对B判断求解；，，即可求得从而对C判断求解；由题可求得，，假设、、三点共线，则可得，但无解，即可对D判断求解. 【详解】A：由题可设在斜坐标系下记点的斜坐标为，原点，，故的坐标可由点的位置唯一确定，故A错误； B：若，，所以，故B正确； C：若，， 则，故C正确； D：由，，， 则，， 假设、、三点共线，则可得，即，无解，故假设不成立，故D错误. 故选：BC. 2．(24-25高一下·山东聊城·期末)对于向量，，定义运算，已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用新定义列方程求解； （2）由垂直求得值，由新定义求得，再由向量夹角公式计算. 【详解】（1）因为，，， 所以， 因为，所以，解得. （2）由题意得 又，且，所以，解得， 此时， 设与的夹角为， 则 所以与夹角的余弦值为 3．(24-25高一下·河南创新发展联盟·期末)已知向量，且，定义向量的新运算：． (1)若向量，且，求； (2)证明：是的充要条件， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用向量垂直求得，进而利用定义计算即可； （2）利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的性质及定义向量的新运算可证明. 【详解】（1）因为，且，所以， 解得，则， 所以． （2）证明：若，则． 又，所以，即， 所以． 故是的充分条件． 若，则， 整理得，所以． 故是的必要条件． 综上所述，是的充要条件． 4．(24-25高一下·河北承德·期末)如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）构造直角坐标系，得出，对应的直角坐标，通过仿射坐标系的定 （2）同（1）求出的直角坐标，利用直角坐标系中向量夹角的坐标表示求解； （3）设，同（1）表示出的直角坐标，再求出的直角坐标，然后计算数量积，在中，设，由正弦定理表示出，再利用三角函数的知识求得最大值. 【详解】（1），则， 如图，以为原点构造直角坐标系， 在直角坐标系中，当时，记，则， 在仿射坐标系中，，， 则， ， 所以； （2）在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 解得（舍去）或，所以； （3）在直角坐标系中，， 设，，，即， 则，所以， E，F分别为的中点， 则， ， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， ，其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则. 题型十六 正余弦定理解三角形 1．(23-24高一下·四川达州外国语学校·期末)设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，结合大边对大角得，则，进而得到． 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 2．(24-25高一下·新疆阿克苏第四高级中学·期末)在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 3．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，， 由正弦定理得，解得，故A正确. 故选：A 4．(24-25高一下·甘肃临夏州·期末)已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 题型十七 正余弦定理边角互化 1．(25-26高一上·广东深圳外国语学校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，进而求得，利用面积公式求得，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 2．(24-25高一下·云南泸西县第一中学·期末)在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 3．(25-26高一·福建厦门双十中学·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为：_____． 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，利用平方和关系求得，从而利用正弦定理可得，即可解答. 【详解】由，及，根据正弦定理得 ，即， 由余弦定理得，又， 故， 设外接圆的半径为，根据正弦定理得， 解得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 4．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求角； （2）由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边. 【详解】（1）已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. （2）设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 题型十八 三角形周长面积问题 1．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 2．(25-26高一上·浙江湖州·期末)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合二倍角公式和正弦定理，可得，根据余弦定理，可得a值，根据勾股定理，可得角，代入面积公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C 3．(25-26高一上·浙江湖州·期末)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）15 【分析】（1） 应用两角和的正弦值公式，再应用正弦定理计算求解； （2）（ⅰ）应用正弦定理结合诱导公式计算求解边长比；（ⅱ）应用余弦定理结合（ⅰ）的结论得出，再应用面积公式求解. 【详解】（1）， 由正弦定理，， 得. （2）（ⅰ）由正弦定理及， 得， 即， 又， 所以， 所以，即. （ⅱ）由余弦定理，， 把，，代入， 得， 即，解得， 所以， 所以. 4．(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，结合三角形内角和定理，可求角. （2）利用余弦定理可求边，进而求三角形的周长. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 又，， 即， ， 又，，， 又，. （2）由余弦定理得：， ， 即， 或（负值舍去）， . 的周长为. 题型十九 三角形形状问题 1．(24-25高一下·陕西渭南大荔县·期末) （多选）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】AC 【分析】根据函数在上单调性，即可判断A；根据正弦定理得到，与正弦函数的值域为相矛盾，可知不存在这样的角，即可判断B；将变形为，即或，即可判断的形状，进而判断C；由，及的范围分析得到都是锐角，即可判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 对于C，因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 2．(24-25高一下·河南安阳滑县部分学校·期末)在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【详解】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 3．(24-25高一下·河北承德·期末)在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 4．(24-25高一下·河北雄安新区·期末)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若是斜三角形，D是AC的中点，且，，求． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理，正弦定理和三角恒等变换得到，所以或，故为等腰三角形或直角三角形； （2）在（1）基础上，得到，即，设，由题意可得，在和中，分别使用余弦定理，从而得到方程，求出，所以，利用同角三角函数关系求出． 【详解】（1）由余弦定理得， 故， 即，由正弦定理得， 即，即， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形； （2）因为是斜三角形，由（1）知，即， 设，由题意可得，    在中，由余弦定理可得， 由中，由余弦定理可得， 所以，解得，负值舍去，所以， 又，可得． 题型二十 三角形个数问题 1．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 2．(24-25高一下·贵州黔东南州·期末) （多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 3．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末) （多选）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若中C为钝角，则 D．若，，，则解的个数为2 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，由正弦定理可得，然后由可判断选项正误. 【详解】对于A，， 则，因A，B为三角形内角，则， 从而，则为等腰三角形，故A正确； 对于B，，由余弦定理， ，故B正确； 对于C，因C为钝角，则. 则，因正弦函数在上递增， 则，故C错误； 对于D，由正弦定理， 因，且 ，则， 使，即解的个数为2，故D正确. 故选：ABD 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 题型二十一 多三角形问题 1．(25-26高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】由题意得出，结合余弦定理可求得角的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值，结合余弦定理可得出的值，再利用并结合三角形的面积公式可求得的长. 【详解】因为，则， 所以， 由余弦定理可得， 又因为，故， 由平面向量数量积的定义可得，故， 所以，可得， 故，故， 因为的平分线交于点，则， 由三角形的面积公式可得， 即，故. 故答案为：. 2．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值： . 故答案为：C 3．(24-25高一下·甘肃兰州大学附属中学（兰州第三十三中学）·期末)在中，内角的对边分别为，若，且. (1)求角的大小； (2)若，点是的中点，且，求的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据数量积公式，结合正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）根据，两边平方后，利用数量积公式表示边长的关系，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，， 由正弦定理可知， 整理为， 由余弦定理可知， 因为，所以； （2）由余弦定理可知，，即，① ，即， 即②， 由①②可知，，，解得：，或，， 所以或 4．(25-26高一·浙江温州·期末)在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出； （2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 题型二十二 最值与取值范围问题 1．(25-26高一上·广东深圳外国语学校·期末)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用正弦定理得，再根据辅助角公式、倍角公式化简，然后结合正弦函数的性质求值域即可. 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以，     则， 所以 ， 因为三角形ABC是锐角三角形，所以，得， 所以，则，即， 所以的取值范围为. 2．(25-26高一·浙江金华十校·期末)在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）由正弦定理可得； （2）由正弦定理和三角恒等变换得到，所以，由余弦定理和基本不等式得到，得到周长最大值； （3）由余弦定理得，因为，所以，所以，故. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为，所以， ，展开化简得：， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为； （3）因为，所以，又因为， 所以所以， 所以， 因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以或， 所以或（舍去）， 故. 3．(25-26高一上·湖南邵阳·)已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理得，结合基本不等式可得，结合即可求解； （2）根据题意可得，设，，在中，利用余弦定理得，结合基本不等式得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得：，， 所以，又，所以， 由余弦定理得：，即， 又，所以，. 所以，当且仅当时，等号成立， 故的面积的最大值； （2）因为点为的三个内角的角平分线的交点， 所以. 设，， 在中，由余弦定理得：， 即，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的周长的最大值为，当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为． 4．(25-26高一上·江苏南通如皋创新班·期末)的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)求的最大值（其中为的面积）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理，可求角. （2）根据三角形的面积公式及余弦定理化简，再结合基本不等式求其最大值. 【详解】（1）因为，结合正弦定理可化简得， 又为三角形内角，所以， 所以， 因为 ，则， 所以 ，故. （2）由面积公式及余弦定理可得 ， 又，当且仅当时，取等号， 故最大值为. 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第六章平面向量及其应用 题型归纳·内容导航 题型一平面向量的概念辨析1 题型二向量的加减法与数乘向量 3 题型三平面向量的线性表示 4 题型四平面向量的基本定理求参数 .7 题型五平面向量的坐标运算… 10 题型六向量共线定理的应用 ..11 题型七向量的数量积. 13 题型八向量的夹角 .14 题型九向量的模长. 16 题型十向量的投影. 18 题型十一向量垂直的应用… .19 题型十二向量夹角为锐角钝角问题… 21 题型十三向量的最值与取值范围问题 23 题型十四平面向量的四心与面积比 …26 题型十五向量新定义. 30 题型十六正余弦定理解三角形…。 35 题型十七正余弦定理边角互化.… .36 题型十八三角形周长面积问题… 38 题型十九三角形形状问题。 41 题型二十三角形个数问题… 44 题型二十一多三角形问题 ..47 题型二十二最值与取值范围问题， 50 题型通关·靶向提分 题型一平面向量的概念辨析 1.(25-26高一上湖北武汉外国语学校期末)“a=”是“1=且a/的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 2.(25-26高一上·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)下列说法正确的是() A.向量AB与向量BA是相等向量 B.若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 c.与实数类似，对于两个向量a,有a=,a>b,d<三种关系 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D,向量的模是一个非负实数 3.(25-26高一上·福建莆田第二十四中学期末)（多选）关于平面向量，下列说法正确的是() A.若>，则a> B.若d=b,则a//乃 c.若a/b,b/心，则a/ D.若d=b,b=c,则a= 4.(24-25高一安徽准北合肥一六八中学教育集团准北五中分校期末)（多选）关于向量，b,下列命题 中正确的是() A.若a=,则d= B.若d=-b,则a/乃 c.若a>,则a> D.若a=b,b=c,则a= 题型二向量的加减法与数乘向量 1.(24-25高一下·贵州盘州第七中学.期末)已知四边形ABCD是边长为1的菱形，∠A=3,则BA+BC= 2.(23-24高一下·河北邯郸涉县第一中学期末)在平行四边形ABCD中，E为BD的中点，F为BC上一点，则 AB+AD-2AF=() A.2FE B.2EF C.FE D.2CF 3.(25-26高一上，安徽期末)（多选）下列向量运算正确的有() A.AB+CD+BC=AD B.MC-NC=MN C.PA+AB-BQ=PQ D.AB-(AC-BD)-CD=0 4.(25-26高一上·湖北荆州中学.期末)（多选）下列命题为真命题的是()（多选） A.若a>,则a> B.零向量与任意向量共线 C.互为相反向量的两个向量的模相等 D.若向量a,b,满足=1，=4，则3≤a-≤5 题型三平面向量的线性表示 1.(25-26高一上·安徽阜阳第一中学.期末)在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC.记AC=m,AD= 九，则AB=() 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3m-2元 B.-2m+3元 C.3m+2元 D.2m+3元 2.(25-26高一上浙江宁波奉化中学.期末)已知0A=d,0B=,0C=,AC=AB,则下列等式中成立的是 () A. B.c=2b-a C.d=-d D.=2a-b 3.(25-26高一上辽宁辽阳期末)如图，在平行四边形ABCD中，F为CD的中点，BC=3BE,则EF= () A.SBC-AC B.BC-AC C.BC+AC D.BC+AG 4.(25-26高一上江苏如皋.期末)（多选）在△ABC中，BC=3BM,AC=2AN,AM与BN交于点0，则 () A.AM=AB+AC B.AO=AB+AN C.AO=AM D.B0=20N 题型四平面向量的基本定理求参数 1.(25-26高一上·湖南长沙长郡中学.期末)如图，己知△ABC和△ACD为直角三角形，∠ABC=∠ACD= 90°，AB=BC=CD=1,AC与BD交于点0，若D0=1AB+uAC,则= B D 2.(25-26高一江苏盐城亭湖高级中学期末)在△ABC中，E为AC上一点，AC=3AE,P为线段BE上任一 点，若AP=xAB+yAC,则x+3y的值是() A.4 B.3 C.2 D.1 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26高一上山西忻州部分学校)如图，在△ABC中，AN=AC,NM-WB,若CM=4B+uAC,则 1+u=() A.司 B. c.- D.- 4,(25-26高一上，内蒙古呼和浩特期末)如图，在△ABC中，点O在BC上，过点O的直线分别交直线AB、 AC于不同的两点M、N,设AB=a,AC=. B M (1)若0是BC上靠近C的三等分点，用和b表示AO; (2)若0是BC中点，设AM=md,A=n6,求2+的值， 题型五平面向量的坐标运算 1.(25-26高一浙江台州期末)已知=(1,2)，b=(-3,1),则2a+b的坐标为() A.(5,3) B.(-5,4) C.(-2,3) D.(-1,5) 2.(25-26高一上·辽宁县级重点高中协作体.期末)设A,B为平面直角坐标系xOy内两点，若0A=(1,3), AB=(2,2),则1B1= 3.(25-26高一上·辽宁大连文谷高级中学期末)已知向量ā=(2,1)，则= 4.(23-24高一下湖北武汉部分学校期末)（多选)已知平面向量=(-2,1)，b=(4,8),则（) → A.a<b B.a.b=0 c.a+b=(2,9) D.(a+b)·(a-b)=-75 题型六向量共线定理的应用 1.(25-26高一上山西忻州部分学校)设向量a=(2x,1),b=(x+3,一1)，若aIb,则实数x= 2.(22-23高一下…湖南邵阳·期末)下列各组向量中，可以作为基底的是() 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.e=(1,1),e2=(2,2) B.e=(3,-2),2=(-6,4) C.ei=(0,0),e2=(-1,3) D.e=(1,2),e2=(2,3) 3.(24-25高一下·贵州黔南布依族苗族都匀第一中学.期末)在△ABC中，点D满足2CD=DB,点0满足AO =OD,点E、F满足AE=1AB,AF=uAC,λ>0，L>0,若0、E、F三点共线，则61+3的最小值为 () A.4 B.4+V2 C.2+V2 D.4+2 4.(25-26高一上辽宁大连第二中学.期末)（多选）已知向量=(1,3)，=（一2,1），c=(3,-5),则 (). A.(2a+/eB.(a+2b)/ C.a+=2 D.a+=2 题型七向量的数量积 1.(24-25高一下陕西西安阎良区期末)己知a,b都是非零向量，且满足(2b-)⊥a,|=2,则a·b的值 是 2.(25-26高一江苏常州第一中学期末)已知向量a、6,其中=2，在方向上的投影向量是3，则a. 3.(25-26高一江苏徐州期末)若向量d,b满足d=V3,向量在向量上的投影向量为a,则·(2a-)= 4.(25-26高一上广东深圳实验学校高中部)己知单位向量e与e2的夹角为60°，且a=e+e2,b=e-22. (1)求1d: (2)求a.b. 题型八向量的夹角 1.(25-26高一上江苏如皋，期末)已知单位向量à在单位向量上的投影向量为五，则与的夹角为() A.30° B.60 C.120° D.150° 2.(25-26高一上安徽合肥第一中学.期末)已知单位向量，b满足a-2=√7，则向量与向量的夹角为 () A.8 B.3 c.2 D. 3.(25-26高一上·云南昭通一中教研联盟·期末)已知向量，b满足引=V3,=1,a-=V2,则向量 a,b的夹角的余弦值为() 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A号 B.-☒ 3 C. 0.9 4.(25-26高一广东深圳南山区期末)若平面向量a,b满足a-=|,=2,则当(3d+)·(a+2) 最小时，=；记3a+与a+2b的夹角为0，则tane的最大值为一： 题型九向量的模长 1.(25-26高一江苏锡山高级中学.期末)已知向量，b满足a=(cos0,sin8),lb1=2,且a与b的夹角为60°，则l a+2b| 2.(25-26高一浙江台州期末)若非零向量，的夹角为，c=a+1b,(-)·=0,则1的值为 () A.子 B.1 C. D.5 3.(25-26高一上安徽期末)已知1=1=2，且(a+)·(3-)=1. (1)求向量a与b的夹角0： (2)求3a+2. 4.(25-26高一江苏盐城中学期末)设、b是两个不共线的向量，t∈R. (1)若a,t6,(a+)三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求t; (2)若à=l,且a与的夹角为，那么k为何值时， a-kb的值最小？ 题型十向量的投影 1.(24-25高一下福建福州马尾一中等六校期末)已知向量ā，满足=1，=2，a-=V7,则a+ 在五上的投影向量是() A.另 B.3 c.-场 D.-3 2.(25-26高一上江苏常州高级中学.期末)已知非零向量a,b满足(a+)·a=0,则向量在向量a上的投影 向量为() A,月 B.-8 C.-d D.a 3.(25-26高一上潮南长沙明德中学期末已知向量与的夹角是票且位=V2, 2,则向量d在向量 上的投影向量是 4.(25-26高一广东深圳高级中学（集团）期末)（多选）已知向量冠，的夹角为，且=1， =2,则() 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.a-b=2 B.a+b=v7 c.(a-)⊥d D,向量在向量上的投影向量为y3 题型十一向量垂直的应用 1.(24-25高一下.云南曲靖会泽县，期末)已知a=(2,1),b=(2,m),c=(4,4)且a1b,则b在方向上的投影向 量的坐标是() A.(-21) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(特 2.(24-25高一下.贵州黔南州期末)已知平面向量d=(1,2)b=(3,x),c=(2,y),且a/乃，a1c. (1)求b和的坐标； (2)求向量2与向量b+的夹角的余弦值， 3.(25-26高一江苏无锡第一中学期末)已知向量à与向量的夹角为5，且=2，|2-=V21 (1)求61： (2)若a⊥(a-b),求实数的值. 4.(25-26高一上·湖南长沙明德中学.期末)已知平面向量与的夹角为45°，且1=1，=√2. (1)求a+2: (2)若a+2b与a-kb垂直，求k的值， 题型十二向量夹角为锐角钝角问题 1.(24-25高一下·内蒙古呼和浩特期末)已知=(1,1)，b=(0,1),设c=ka+b,d=2d-b,若与d的夹 角为钝角，则k的取值范围一。 2.(24-25高-下江西抚州已知向量=(-1，-2)，石=(1，)，“1>-之”是a与的夹角为钝角"的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 3.(25-26高一上广东深圳实验学校高中部)（多选）下列命题中正确的是() A.若a.b=0则a=0或i=d B.在△ABC中，若点P满足PA·PB=PB.PC=PC.PA,则P为△ABC的垂心 c.已知非零向量，，若a.b>0,则a,b的夹角为锐角 D.若M是△ABC所在平面上的一点，且满足(MA+MB-2MC(MA-MB=0,则△ABC为等腰三 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角形 4.(24-25高一下福建福州第三中学.期末)已知利=2，a.b=1,a与b的夹角为45°. (1)求，并表示出在b方向上的投影向量： (2)若向量-与a-3的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型十三向量的最值与取值范围问题 1.(24-25高一下江西抚州)已知非零平面向量à，，满足1=4,6-=2，若与的夹角为，则 a-的最小值为() A.2V3-2 B.3 C.2W3+2 D.号 2.(25-26高一上湖南邵阳)已知平面向量，满足a·石=2，且不等式a+≥a-对任意实数都成 立，则的值为 3.(25-26高一江苏徐州期末)已知向量a与b的夹角为45°，且d=√2，=2，c=a+(1-)b,1∈R. (1)当31时，求； (2)求的最小值， 4,(25-26高一上·辽宁县级重点高中协作体.期末)如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按= (2,1)或b=(1,3)这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点P(x,y)可以表示为md+nb(m、n为自然 数)，则称P为鸿蒙点 2x (1)通过鸿蒙点(x,y)中x、y满足的关系，判断A(7,10)是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若(x,y)是鸿蒙点，则(x+5,y)也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足x+y=200,求在所有满足条件的鸿蒙点中，m+n最小的点及此时m+n的值. 题型十四平面向量的四心与面积比 1.(25-26高-上安微阜阳第一中学期末设点0在△4BC内部，且20+30丽+50C=0,则= 8/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2,(25-26高一河北保定清苑区清苑中学期末)（多选）下列命题正确的是() A.在△ABC中，(BC+BA·AC=AC2,则△ABC的形状一定是直角三角形 B.平行四边形ABCD中，若AB+AD=AD-AB,则四边形ABCD是矩形 C.若A,B,C,D四点在同一条直线上，且AB=CD,则AB=CD D.在△ABC中， 则P点的轨迹经过△ABC的内心 3.(25-26高一上·云南昆明第一中学.期末)（多选）△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点P满足AP=xAB+y AC,设1=x+y,则() 4 D A.若P为△ABC的重心，则入=司 B.若P为△ABC的内心，则入=昌 C.若P为△ABC的垂心，则1=乙 D.若P为△ABC的外心，则A=君 4,(23-24高一下，四川达州外国语学校·期末)如图，D是△ABC的边BC上的点，E是线段AD上的点， CD=CE,EB=EA,△EDC的面积是△EBD面积的2倍. B (1)若△ABE的面积为△EBD的面积的V2倍，证明：E是△ABC的外心； (2)求瑞0的取值范围 题型十五向量新定义 1.(25-26高一上，内蒙古呼和浩特期末)（多选）定义平面斜坐标系x0y,0为斜坐标系的原点，记 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Lx0y=(0≠90)，e1、e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点A满足OA=xe+y e2,则记A点的斜坐标为(x,y),则下列说法正确的是() A,在斜坐标系下，OA的坐标不能由A点的位置唯一确定 B.若=(1,2)，b=(3,6),则a/b C.若0A=(x1y1),0B=(x2,y2),则01+0B=(x1+x2y1+y2) D.若0A=(1,0),0B=(0,1),0C=(G,),则A、B、C三点共线 2.(24-25高一下山东聊城期末)对于向量=(x1y1),b=(x2y2),定义运算a⑧b=(x1y2y1x2),己知向 量mi=(1,t),元=(-2,2)，tER. (1)若元☒元=元☒元，求t的值： (2)若(4航-)1元，求⑧与元夹角的余弦值， 3.(24-25高一下·河南创新发展联盟·期末)已知向量a=(x1y1),b=(x2,y2),且x2y2≠0，定义向量的新运 算：a⊕6=号-是 (1)若向量d=(2,6)b=(-6,m),且a1b,求a⊕b; (2)证明：alb是a⊕b=0的充要条件， 4.(24-25高一下河北承德期末)如图，设Ox,Oy是平面内相交成a(0<a<π)角的两条射线，e1,e2分 别为与Ox,Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α一仿射坐标系，在a一仿射坐标系中，若0P =xe1+ye2,则记0P=(x,y). D 1若cosa=-3在a-仿射坐标系中，a=(2,-1),6=(-1,1),求1a-l: (2)在a-仿射坐标系中，若d=（-l,w3),且a与1的夹角为5，求a: (3)如图，在-仿射坐标系中，点B,C分别在射线Ox、射线O上（均与点0不重合），BC=1,OD =OC,E,F分别为BD,BC的中点，求OE.OF的最大值. 题型十六正余弦定理解三角形 10/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(23-24高一下.四川达州外国语学校期末)设△ABC中，BC=18,AC=20,sinB=53,则B+C=() A.罗 B. C. 0.g 2.(24-25高一下·新疆阿克苏第四高级中学·期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AB=2, AC=3,cosA=子，则a=() A.1 B.2 C,3 D.4 3.(24-25高一下.内蒙古部分学校期末已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,c且a=5,sinB=,sin A=子，则b=（) A.3 B.4 C. D. 4.(24-25高一下甘肃临夏州期未)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2b,sinA=系，则sin B=() A.吉 B.3 c D. 题型十七正余弦定理边角互化 1.(25-26高一上广东深圳外国语学校期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若S△4Bc= 2婴2asin(B+) =V3c,2sinB=3sinC,则a的值为() A.2 B.3 C.3 D.7 2.（24-25高一下.云南泸西县第一中学.期末)在△ABC中，“sin4=sinB"是“A=B"的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高一福建厦门双十中学.期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2W3, (sinA-sinB)(b+2W3=c(sinB+sinC),则△ABC外接圆的面积为： 4.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期末)△ABC中，内角A,B,C所对的边为a,b,c,a2= b2+c2-bc,BC边上的高为2，b+c=6. (1)求角A; (2)求a边. 题型十八三角形周长面积问题 1.己知△ABC中，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°，则△ABC的 11/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面积为() A.号 B.23 3 c.3 D.23 2.(25-26高一上·浙江湖州期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=2B, c=2b=2,则△ABC的面积为() A.3 B.1 C.3 2 D.月 3.(2526高一上浙江湖州期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=5,B=平 (1)若A=,求边c的值； (2)3acosB +3bcosA 2v2a. (i)求的值； (iⅱ)求△ABC的面积 4.(24-25高一下，辽宁大连期末)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+c sinB. (1)求角B; (2)若b=V5,a=1,求△ABC的周长. 题型十九三角形形状问题 1.(24-25高一下.陕西渭南大荔县·期末)（多选）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法 正确的是() A,若A>B,则cOsA<cosB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若a一c·cosB=a·cosC,则△ABC为等腰三角形或直角三角形 D,若cosAcosBcosC>0,则△ABC为钝角三角形 2.(24-25高一下.河南安阳滑县部分学校期末)在△ABC中，sinA=mc-simB cosB-cosC 则△ABC的形状为() A,直角三角形B.等边三角形 C,等腰三角形 D,等腰或直角三角形 3.(24-25高一下.河北承德.期末)在△ABC中，己知2 sinAsinC(cosB-1)+sin2B=0,则△ABC一定是 () A,直角三角形 B,等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形 12/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25高一下河北雄安新区·期末)已知△ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c.若sAcC= cosB c2+b2-a2 2b2 (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若△ABC是斜三角形，D是AC的中点，且BD=6,BC=4,求sinC. 题型二十三角形个数问题 1.(24-25高一下，安微合肥第六中学.期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别根据下列条件 解三角形，其中有两解的是() A.a=5,A=40°，B=75° B.a=4,b=5,c=6 C.a=3,b=4,A=30° D.a=2,c=V2,C=60° 2.(24-25高一下，贵州黔东南州期末)（多选）已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正 确的是() A,若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形或直角三角形 B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C.若B=,Q=4V3,且△ABC有两解，则b的取值范围是(6,4h3) D.若cos2A+cos2B<1+cos2C,则△ABC为锐角三角形 3.(24-25高一下.湖南衡阳衡南县·期末)（多选)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中 正确的是() A,若cos2A=cos2B,则△ABC为等腰三角形 B.若AB.AC=2,a=2,则b2+c2=8 C.若△ABC中C为钝角，则sinA>cosB D.若b=7.5,c=8,B=5,则△ABC解的个数为2 4.(24-25高一下.黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 b=6,A=3,若△ABC有两解，则a的取值范围为（) A.(3V3,+∞)B.(3,33 C.(3,+o) D.(3V3,6 题型二十一多三角形问题 1.(25-26高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为α、b、c,向量m= (b,a+c),元=(b一c,c-a),且元⊥元.若边a=8,AB.AC=6,∠BAC的平分线交BC于点D,则AD的长 13/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为 2.(24-25高一下.吉林松原宁江区实验高级中学.期末)在△ABC中，己知B=45°，D是BC边上一点，如 图，∠BAD=75°，DC=1,AC=V3,则AB=() D A.号 B.5 c.9 D.6 3.(24-25高一下.甘肃兰州大学附属中学（兰州第三十三中学）·期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若元=(sinA-sinB,c+V3a),i=(a+b,sinC),且m1i. (1)求角B的大小： (2)若b=V7,点D是AC的中点，且BD=2,求的值： 4.(25-26高一浙江温州·期末)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2,c=3且acosB=4 cosA. (1)求A; (2)点D是线段BC上靠近点B的三等分点，求AD. 题型二十二最值与取值范围问题 1.(25-26高一上广东深圳外国语学校期末)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且A=2,a cosB b (1)求角B的大小； (2)若b=2V3,求a2+c2的取值范围. 2.(25-26高一浙江金华十校·期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,sinB=bsinA. (1)求a的值； 2若，c-名=1，求△ABC周长的最大值； (3)若b2=c+1,求证：B=2A 3.(25-26高一上·湖南邵阳)己知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的外接圆的直 径为2W3,A为锐角，a=3. (1)求△ABC的面积的最大值； 14/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点0为△ABC的内切圆的圆心，求△OBC的周长的最大值. 4.(25-26高一上江苏南通如皋创新班期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin十B=csinA. 2 (1)求C; (2)求ae的最大值（其中5aABc为△ABC的面积）. 15/15