专题20 （优质好题速递）线线角、线面角、二面角必刷题型（8大题型49题）（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修二

专题20 线线角、线面角、二面角必刷题型 （8大题型49题） 题型01 中位线平移求异面直线所成角 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_____. 2．如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，为的中点，为底面的中心，则异面直线与所成角为__________. 3．棱长为2的正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值是__________. 4．如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为________． 5．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 6．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______. 题型02 平行四边形平移求异面直线所成角 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北唐山·期末）已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆·月考）如图，在斜三棱柱中，，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 7．（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 8．（24-25高一下·河南新乡·期末）在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是______． 题型03 补形法求异面直线所成角 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为______．    2．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为______. 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 题型04 定义法求线面角 1．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，直三棱柱中， ，为线段的中点. (1)求证：平面; (2)求直线与平面所成角的正切值. 3．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 4．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值． 6．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在棱长为2的正四面体中，是的重心，是的中点.延长到，使得. (1)证明：平面. (2)证明：. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 7．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点. (1)若点F满足，求证：四点共面； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 8．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 题型05 等体积法求线面角 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱台中，平面平面，，求与平面所成角的正弦值． 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 4．（24-25高一下·北京·期末）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点到平面BDM的距离. 题型06 线面角中的其他问题 1．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，四棱锥中，点O，E分别为AC，PD的中点，，，，是边长为2的正三角形． (1)求证：平面BOE； (2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值； (3)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值． 2．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． (1)证明：平面； (2)求的值； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 4．（24-25高一下·贵州黔西南·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，若. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值； (3)若为侧面内（包含边界）的一点，且四棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值的最小值. 5．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 题型07 求二面角 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 2．（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面，，，，． (1)在棱（不包含端点）上确定一点的位置，使得，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 4．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 5．（24-25高一下·北京·期末）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 6．如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 7．在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 题型08 二面角中的其他问题 1．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 2．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面是菱形，. (1)若分别是的中点，证明：平面； (2)若，证明：平面平面； (3)若平面平面，且二面角的大小为60°，求的值. 4．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 5．（24-25高一下·云南大理·月考）如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 7．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．    (1)求证：； (2)若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； (3)令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 线线角、线面角、二面角必刷题型 （8大题型49题） 题型01 中位线平移求异面直线所成角 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_____. 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义找到其对应平面角，再应用余弦定理求其余弦值. 【详解】如图，令E为的中点，连接、. 因为是的中点，则， 所以与所成的角即为与所成的角， 即（或其补角）， 由，，则，，， 在中，. 故答案为： 2．如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，为的中点，为底面的中心，则异面直线与所成角为__________. 【答案】/ 【分析】取的中点，分别连接，求得为等边三角形，得到，进而求得异面直线与所成角. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为为正方形中心，可得， 又因为为的中点，可得且， 因为为的中点，可得， 所以为等边三角形，所以, 又因为，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 所以异面直线与所成角为. 故答案为：. 3．棱长为2的正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值是__________. 【答案】 【分析】连接，取中点，连接，所以，直线和夹角即为，求出各边长度，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】连接，取中点，连接，    因为是正四面体，且棱长为2，分别为的中点， 所以， 因为分别为中点， 所以，且， 所以直线和夹角即为， 在中， 所以在中由余弦定理可得， 所以直线和夹角的余弦值是. 故答案为： 4．如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的角就是异面直线所成的角或补角，再利用解三角形的知识求出此角即可； 【详解】令，取中点分别为， 连结，则， 就是直线与所成角或其补角. 又因为在中，， 连结，得， ， 则， ∴直线与所成角为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】/0.625 【分析】过作，交于点，连接，利用比例性质得，则（或其补角）即为与所成角，利用余弦定理得，即可得解. 【详解】在平面中，过作，交于点，连接，如图， ，，又，，则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，，， ，与所成角的余弦值为. 故答案为： 题型02 平行四边形平移求异面直线所成角 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，.易证四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成角.在中，根据余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，. ∵点为的中点，点为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角即为异面直线与所成角. 在中，，，， 由余弦定理可知：， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可. 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·河北唐山·期末）已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出直四棱柱由面对角线构成的四面体，在四面体的各个面中求出三角形内角的余弦判断即可. 【详解】直四棱柱中，四面体的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对角线， 该四棱柱的所有棱长都为2，，则，， 在中，，； 在中，，； 在中，，； 在中，，， 所以选项ABD均有可能，C不可能. 故选：C 4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，可证，则为异面直线与所成的角. 【详解】解：取的中点，连接，. ， 因为是的中点，所以，， ， 且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成的角， 在中，， 故选：C. 5．（24-25高一下·重庆·月考）如图，在斜三棱柱中，，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易知所求的角即为或其补角，再由余弦定理计算出的各边长，再根据余弦定理计算即可得出结果. 【详解】连接，如下图所示： 根据三棱柱性质可得， 又因为分别为的中点，所以，， 又且，所以可得且， 即可得四边形为平行四边形，因此； 即可得异面直线和所成的角即为和所成的角，即为或其补角. 因为，所以，， 在中，由余弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得，则, 因此在中，由余弦定理可得. 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：B. 6．如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】由得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理即可求解． 【详解】连接，如图所示， 因为，所以所成角或其补角为异面直线与所成的角， 因为， 在中，由余弦定理可得. 故答案为： 7．（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】/ 【分析】取中点为F，连接EF，则为异面直线与所成角或其补角，然后由题意结合余弦定理可得答案. 【详解】如图取中点为F，连接EF，易得， 则，则为异面直线与所成角或其补角. 因平面，几何体为四棱柱，. 则，，. ，，. 因，，则，又易得， 则. 从而. 故答案为： 8．（24-25高一下·河南新乡·期末）在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是______． 【答案】 【分析】取棱AB的中点H，连接，可得是异面直线与EF所成的角或其补角，作，由正四棱台的侧面积为，可得，据此可得，然后由结合余弦定理可得答案. 【详解】取棱AB的中点H，连接， 易证四边形为平行四边形，则， 因为E，F分别是棱的中点，所以， 则是异面直线与EF所成的角或其补角．作，垂足为G，则， 因为正四棱台的侧面积为，所以， 所以，则， 因为，所以，即所求值为． 故答案为： 题型03 补形法求异面直线所成角 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为______．    【答案】/0.25 【点睛】利用补形法，作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，从而可求得异面直线和所成角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】由题可知直三棱柱为正三棱柱，如图作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，连结， 则易知为异面直线所成角或其补角．    设， 则，，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 2．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可. 【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体. 如图所示.取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． ， ， ， ， 在中，由余弦定理可得，， 则直线 与 所成角的余弦值为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】/ 【分析】由题意将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，从而可得则为直线与所成角或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图， 连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以则为直线与所成角或其补角， 设正方体边长为， 则，，， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】过点作，使，连接，则是异面直线和所成的角或其补角，再结合几何关系，利用余弦定理求解即可． 【详解】过点作，使，连接， 则是异面直线和所成的角或其补角， 过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 在中，，由，得，， 所以，又，则， 由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为． 题型04 定义法求线面角 1．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【详解】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，直三棱柱中， ，为线段的中点. (1)求证：平面; (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，交于点，连接，由直三棱柱的特征可得为的中点，则，利用线面平行的判定定理可得证； （2）取中点，连接，则，利用线面垂直的判定定理可证得平面，则平面，由此可知所求线面角即，根据边长关系求出其正切值即可. 【详解】（1） 连接，交于点，连接， 三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，则为的中点， 为线段的中点，， 平面，平面， 平面. （2）取中点，连接，则， 三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，则， 平面，平面， 平面，则平面. 所以直线与平面所成角即为. , 在中，. 3．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）根据线线平行可证明为平行四边形，即可由和线面平行的判定定理求证 （2）根据面面垂直的性质可得平面，，进而可得即为直线与平面所成角，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点， 中点为， 所以，且， 又，故，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面，    （2）由于底面，平面，所以平面底面，又两平面的交线为， 过作于，连接， 所以平面，故即为直线与平面所成角， 又，，所以，， ， 由，所以， 故 4．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题可求的余弦值，根据余弦定理可求，利用勾股定理可得，翻折后，由此即可证明平面； （2）由（1）得，过作交于，连接，然后可证平面，即就是直线AB与平面AED所成角，进行求值即可. 【详解】（1）,,, , ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. （2）由（1）知，，平面平面， 所以就是二面角的平面角，即， 过作交于，连接， 平面，平面，， 又，平面， 所以平面，即就是直线AB与平面AED所成角， 又，所以， 直线AB与平面AED所成角的正弦值为. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值． 【答案】． 【分析】过作面的垂线，即得直线与底面所成的角，求解. 【详解】解：设正四面体的棱长为1． 如图，作平面，垂足为， 则是的重心，故. 过点作，， 则平面．连接， 于是就是直线与底面所成的角． 在Rt中，， ． ∴直线与底面所成的角的正弦值为． 6．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在棱长为2的正四面体中，是的重心，是的中点.延长到，使得. (1)证明：平面. (2)证明：. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. （2）利用全等三角形性质推理得证. （3）求出PO长，并利用（2）的结论，结合线面角的定义求解. 【详解】（1）连接并延长交于点，连接，， 由是的重心，得是的中点，而是的中点，则， 由平面，平面，得平面， 又是的中点，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，则平面平面， 又平面，所以平面. （2）在正四面体中，，， 则，而， 因此，所以. （3）连接，，由是正三角形的重心，得平面， 则直线与平面所成的角为， 由正四面体的每条棱长为2，得， 则，又，， 于是，由（2）知， 在中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 7．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点. (1)若点F满足，求证：四点共面； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，则可得四边形为平行四边形，再结合正方体的性质可得，从而可证得结论； （2）延长交与，连接，过作交与，连接，过作与，连接，则与面所成角就是与面所成角，可得就是与面所成角，在Rt中求解即可. 【详解】（1）连接，由，知，且， 因为为的中点，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为,，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，故四点共面. （2）延长交与，连接，则与面所成角就是与面所成角. 过作交与，连接，过作与，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面 所以就是与面所成角. 令，由，得， 在Rt中，由等面积法可求得， 同理在Rt中，， 在Rt中，， 故直线平面所成角的正弦值为. 8．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. （2）在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. （3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 题型05 等体积法求线面角 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱台中，平面平面，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】． 【分析】根据给定条件，结构正方体的结构特征，将三棱台置于正方体内，再利用公式法求解线面角的正弦. 【详解】在三棱台中，平面平面，， 将棱台放入以为棱长的正方体内，点分别在正方体面对角线上， 由，得与平面所成角即为与面所成角， 令，，设点到平面的距离为， 由，得，即，解得， 因此，所以与平面所成角的正弦值为． 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案； （2）利用等体积法求出到面的距离，进而得到与面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面. （2） 取中点为，连接， 因为为正三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 设，，， 所以在中，， 由（1）得平面， 又因为，所以平面， 又因为平面， 所以， 所以，， 设到面的距离为，因为， 所以， 所以， 设与面所成角为， 则， 所以与面所成角的正弦值为. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据全等三角形的判定定理，结合全等三角形的性质、二面角的定义、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； （3）利用三棱锥体积的等积性，结合正弦定理、线面角的定义进行求解即可.. 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值； （3）由上可知是正三角形的中心，所以， 由勾股定理可得， 由三棱柱的性质可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以，即是直角三角形， 设点到平面的距离为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4．（24-25高一下·北京·期末）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点到平面BDM的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）设直线与平面所成角为，则，其中为点到平面的距离，利用等体积法求出，进而得到答案； （3）根据线面垂直的判定定理，证明面，进而得到答案. 【详解】（1） 连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 因为点在棱上，平面， 平面，且平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）设直线与平面所成角为，则， 其中为点到平面的距离， 因为，，，，， 所以， ， 所以为等边三角形，为直角三角形， 所以，， 又因为, 即，即， 所以， 所以直线与平面BDM所成角的正弦值为 （3） 连接，，, 因为为等边三角形， 所以，， 又因为，， 所以为等腰三角形， 所以，， 又因为，面， 所以面， 又因为面， 所以， 又因为，，， 所以，即， 又因为，面， 所以面， 求点到平面BDM的距离为. 题型06 线面角中的其他问题 1．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，四棱锥中，点O，E分别为AC，PD的中点，，，，是边长为2的正三角形． (1)求证：平面BOE； (2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值； (3)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理得，结合线线平行性质得，利用线面垂直定理证明线面垂直即可； （2）先证即为二面角的平面角，再由三棱锥体积得出，进而有，利用直角三角形求解正弦值即可； （3）先证直线PC与平面ACE所成角即为直线与平面所成角，结合正弦定理得出当，即如（2）中平面时正弦值的最大值，即可求解. 【详解】（1） 如图，延长交于G点，是边长为2的等边三角形，则. 在中，已知，且满足. 根据勾股定理的逆定理，.则G为中点. 又为的中点，则.，则. 又平面，，则平面，即平面BOE. （2）因为平面BOE，平面BOE，则，， 因此即为二面角的平面角， 由（1）可知平面，平面，所以平面平面， 则E在平面的射影H在OG上， 因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为， 则，所以，而，， 所以，所以； （3）由，则直线PC与平面ACE所成角即为直线与平面所成角， 由（1）可知平面，平面，所以平面平面， 因此即为所求角， 在中，，， 由正弦定理：，所以， 当，即如（2）中平面时，， 所以直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值为． 2．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. （2）在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. （3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． (1)证明：平面； (2)求的值； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明，再结合平面平面以及面面垂直的性质即可得证； （2）由线面平行的性质得，所以，进一步即可求解； （3）由二面角的定义说明是二面角的平面角，设，结合的取值范围得，由线面角的定义说明为直线与平面所成的角，进一步得，结合的范围即可求解. 【详解】（1）如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面． （2）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为，，所以，故． （3）如图，取的中点， 因为平面，，平面，所以，． 又，分别是，的中点，所以， 由，得， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即． 因为是边长为6的等边三角形，所以． 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即． 由得，， 在中，． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以 因为，所以， 所以的取值范围为． 4．（24-25高一下·贵州黔西南·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，若. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值； (3)若为侧面内（包含边界）的一点，且四棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，证得，利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到点到的距离为，再直角中，即可求解； （2）取的中点，连接，分别证得和，得到为的平面角，在直角中，即可求解. （3）设四棱锥的高为，求得，取的中点，证得点在线段上运动，取的中点，证得平面，再连接，证得，求得长，在直角中，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即点到的距离为， 又因为，可得， 所以点到的距离为. （2）取的中点，连接， 因为底面是正方形，可得， 由（1）知，平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以为的平面角， 在直角中，可得， 所以，即二面角的余弦值为. （3）因为底面是正方形，且，所以正方形的面积为， 设四棱锥的高为， 因为四棱锥的体积为，可得，解得， 分别取的中点，连接， 可得，所以在同一个平面内， 因为，且平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又因为，且平面， 所以平面平面， 由（1）知平面，且点到的距离为， 所以到的距离为，即到的距离为， 即点在线段上运动，且点到平面的距离为， 要使得与平面所成角的正弦值的最小值，则最长， 即点与重合时，与平面所成角的正弦值取得最小值， 取的中点，因为为的中点，可得， 因为平面，所以平面， 连接，因为平面，所以， 在直角中，，可得， 在直角中，可得，则， 即与平面所成角的正弦值的最小值为. 5．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，可证平面，证明可得结论； （2）过作，交于点，连接，截面为直角梯形，求得面积即可； （3）延长交于点，过作于，所以平面，连接，为与平面所成的角，可得，进而可求的值. 【详解】（1）如图： 在上任取一点，过作交于， 在上任取一点，过作交于， 由平面平面，平面平面，平面 所以：平面， 同理有平面，从而有， 平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，平面， 从而有，即平面. 从而三棱柱是直三棱柱. （2） 当时，连接延长交直线于，所以， 又因为，所以，所以为线段上靠近的一个三等分点， 过作，交于点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又，平面，平面平面， 所以平面，所以平面， 从而截面为直角梯形，， 所以， 从而直角梯形的面积为. （3） 延长交于点，过作于， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角， 由，，可知，， 若直线与平面所成角的正切值为，即， 从而，即，，从而易得， 即点为上靠近的一个三等分点，. 题型07 求二面角 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】（1）连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 2．（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点． (2)． 【分析】（1）设交于点F，可证，因此只要，就有，进而可得平面； （2）先证，平面，得，计算，从而证明，得出为二面角的平面角，然后由余弦定理计算． 【详解】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面，，，，． (1)在棱（不包含端点）上确定一点的位置，使得，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)点在的中点处，理由见解析 (2)． 【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质推导出的位置. （2）先确定二面角的平面角，然后根据垂直关系求出其余弦值即可. 【详解】（1）如图，由因为平面，平面，． 若，因为平面， 则平面，平面，故． 同理平面，平面，故． 所以的充要条件为． 取的中点，连结，则的充要条件为． 易知点在的中点处（点在处舍去）． （2）如图，过点作，使， 则四边形为平行四边形，所以且． 因为，所以． 又，所以平面． 又因为，所以即为二面角的平面角． 由平面，平面，得，故， 所以， 故． 4．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 5．（24-25高一下·北京·期末）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析． (2)①证明见解析．② 【分析】（1）因为，得到，结合线面平行的性质定理得到，通过平行的传递性证得；（2）①作，垂足为连接利用三垂线定理，即可证得；②利用二面角的定义，得到即为所求二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为底面为矩形，所以， 又平面,平面,所以. 平面，平面平面， 又因为，所以. （2） ①证明：取的中点，连接, 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，，的中点， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； ②在面内过点作的垂线，垂足为，连接， 因为底面为矩形，所以,由题意知平面， 由①知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为所求二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 因为侧面为等边三角形，，所以， 因为，，所以，所以， 同理得， 所以, 在等腰中， ， 在中，由余弦定理． 二面角的余弦值为. 6．如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明面，再证面面； （2）过作垂足为，过作垂足为，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点， 过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面， 则，又，面，故面，又面，故； 又面面，，面面， 故即为平面与平面的夹角； 在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 7．在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行； （2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可. 【详解】（1）取的中点为，在线段上取点， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为和分别为和的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面， 所以平面. （2）因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面 所以平面 过点作，垂足为点，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为. 题型08 二面角中的其他问题 1．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由三角形全等得到，由三线合一得到⊥，⊥，从而得到线面垂直，线线垂直； （2）由（1）得到为二面角的平面角，即，作出辅助线，由（1）知，⊥，证明出⊥平面，并求出，求出，由锥体体积公式得到答案. 【详解】（1）为正三角形，为中点，故⊥， 因为，，，所以≌， 故，又为中点，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）由（1）知，⊥，⊥， 故为二面角的平面角，即， 因为，，所以， 由勾股定理得， 过点作⊥于点， 由（1）知，⊥平面，而平面， 所以⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 其中， 即三棱锥的高为，    由勾股定理得， 故， 三棱锥的体积为. 2．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面从而得到，再根据从而证明平面； （2）先证明点为外接球的球心，求出半径即可求出答案； （3）证明，，从而得到即为二面角的平面角，接着证明为直角三角形，利用基本不等式得到的面积最大时，即可得到答案. 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 所以三棱锥外接球的半径为， 外接球的体积为 （3）因为平面，平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值， 所以，所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 此时为等腰直角三角形，所以， 所以当的面积最大时，求二面角的平面角的大小为. 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面是菱形，. (1)若分别是的中点，证明：平面； (2)若，证明：平面平面； (3)若平面平面，且二面角的大小为60°，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，得出，即可得证； （2）取的中点，连接，利用勾股定理的逆定理可得，结合，可证平面，进而可证结论； （3）过作于点，连接，可证，进而得为二面角的平面角，进而可得，求得，可得，进而利用勾股定理可求得. 【详解】（1）证明：如图， 取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，四边形是菱形，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3）取中点，连接， 因为底面是菱形，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又二面角的大小为60°， 所以， 在中，可得 所以， 因为， 所以， 在中，， 所以， 所以 4．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）由题设，令，根据几何关系法、余弦定理、勾股定理及平方关系求到的距离、到平面的距离，进而求二面角正弦值的范围. 【详解】（1）由是边长为4的正方形，且， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； （2）由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则所求二面角的正弦值范围为； 5．（24-25高一下·云南大理·月考）如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）利用棱锥的体积公式计算即可； （3）作出二面角的平面角，再结合三角函数值求出的长度即可判断. 【详解】（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且，所以平面 （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积． （3）假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以，则为二面角的平面角． 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故． 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故． 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为． 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，. 【分析】（1）根据异面直线所成角定义结合余弦定理计算求解； （2）先根据边长关系得出，进而应用线面垂直判定定理得出平面，即可证明线线垂直； （3）应用面面垂直判定定理得出平面，进而得到平面，应用定义得出即为二面角的平面角，再结合基本不等式求解最大值即可求出角的最值. 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 在中，由余弦定理，. （2）连结，交于，连结， 因为，且，所以， 所以，即，所以，， 又平面，所以平面，平面，所以. （3）由（2）知，即为二面角的平面角，即，，当时，二面角的平面角的大小为0； 当时，作，垂足为，作，垂足为，连结， 由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面， 平面，所以，又因为，平面，所以平面， 平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在矩形中，，，所以， 又， 所以， 综上，当且仅当，即时，最大为. 7．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．    (1)求证：； (2)若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； (3)令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面，再应用线面垂直的性质得出线线垂直即可； （2）应用线面角定义得出即为侧棱与底面所成角，再应用等体积得出，即可求出角的值； （3）应用二面角定义结合面面垂直的性质定理得出即为二面角的平面角，再结合正切函数的值域计算求解. 【详解】（1）取中点，连接、、，    由题知，，则，又，则， ∵平面，∴平面． ∵平面．∴． （2）∵，为中点，∴， ∵，∴点到三顶点距离相等，∴点在底面的射影为的外心． ∵为直角三角形，为斜边中点， ∴平面，∴即为侧棱与底面所成角， 又∵，∴ 由， ∴，又∵，∴． ∴侧棱与底面所成角为． （3）由（1）知平面．平面，    ∴平面平面． ∵平面平面， 过作于，则平面，平面， 过作于，连接， 则即为二面角的平面角． ∵， ∴，，中，，得． ∴． ∵，∴，∴． ∴二面角的正弦值的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $