广东省河源市源城区2025-2026学年第二学期 九年级中考二模数学卷

**基本信息** 以广东进出口数据、广式彩色玻璃窗等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题的梯度设计，考查代数、几何、统计核心知识，突出抽象能力、推理意识与模型观念，适配九年级二模综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、科学记数法、平行四边形等|结合社会热点（如2题进出口），基础与能力题并重| |填空题|5/15|计算、函数平移、面积比等|融入文化传承（15题玻璃窗），考查知识综合应用| |解答题|8/75|方程应用、圆的作图、抛物线实践、新定义探究等|设置喷泉设计（21题）、孪生三角形（23题）等综合题，体现数学思维与问题解决能力|

2025-2026学年第二学期九年级数学第二次模拟考试答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A D A D C B B A 10.【解题思路】∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴AB=CD=4,BC =AD=6.当点 P 在 CD 上时, 当点 P 在 DA 上时,如图,连接 PB,∵ 点 E 是 AB 的中点,∴AE=BE=2.∵点 P 所走路径长为x,∴AP=4+6-x= x(点拨：也可以利用 进行求解).结合各选项中的图象，可知选 A. 11. 12.1 13.-1 14. 15.23:1 数据标注如图所示. 【解题思路】由题意得 解得x=5,，则其中一块=浅蓝色玻璃的面积为 四块白色玻璃的面积为40×30-50=1150,.∴题图(1)需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为(1150×9):(50×9)=23:1. 16.(1)A (1分) (2)三 (2分) (3)由①,得y=2x-4,③ 把③代入②，得10x-3(2x-4)=20, 去括号,得10x-6x+12=20, 解得x=2. (5分) 将x=2代入③,得y=2×2-4=0, (6分) ∴方程组的解为 (7分) 17.(1)当X=1时， 原式 (3分) (2)根据题意，得 (5分) ∴X=m+1. (7分) 18.(1)如图即为所求作. 作法提示：过点 A 作 OA 的垂线，在垂线上截取AP=2OA.(4分) (2)由(1)可知 设AO=x,则PA=2x, 在 中， 即 解得 ∴⊙O的半径为 (7分) 19.(1)150 (2分) 解法提示： 参与这次问卷调查的学生人数为 150. 答：估计该校 780名初中学生中每天参加体育活动时间不低于 1.5 h的学生人数为 520. (5分) (3)在希望增设的活动项目中，乒乓球占比38%，跳绳占比25%，篮球和排球共占比 乒乓球占比最高，故建议学校增设乒乓球活动. (9分) 20. (1)设这台电视机的原价为x元，这台平板电脑的原价为y元， 根据题意，得 (2分) 解得 答：这台电视机的原价为3500元，这台平板电脑的原价为2 800元. (4分) (2)设厂商补贴是a元， 根据题意,得4200×(1-15%)-a≥2970, (6分) 解得a≤600. 答：厂商补贴最多是600元. (8分) 21.(1)∵BC∥x轴,OB=5, ∴点 C 的纵坐标为5. 由题意知抛物线 经过点C， ∴令 解得x=3或x=-1(舍去), ∴点C的坐标为(3,5). (2分) (2)∵抛物线L2的形状与L1相同， ∴可设抛物线L2的解析式为 (点拨：若两条抛物线形状及开口方向相同，则两条抛物线解析式的二次项系数相等). (3分) 由题意知E(6,2),抛物线L2经过点 C,E, ∴将(3,5),(6,2)分别代入 得 解得 ∴抛物线L2的解析式为 (5分) (3)令 解得x=8或 (舍去). (7分) ∵OF=6,HI=0.4,喷头 E 喷出的水柱恰好从 GJ的中点处落入接水装置， ∴FH=8-0.4÷2-6=1.8(米). (9分) 22. (2分) (2)设 将等式①的左右两边同时乘以 得 ①-②,得 故 (5分) (7分) (3)由题意可知完成所有打卡任务一共可以获得的积分 (8分) 将等式③的左右两边同时乘以2， 得 ③-④,得 (10分) 将等式⑤的左右两边同时乘以2， 得 ⑤-⑥,得 ∴完成所有打卡任务一共可以获得917506 积分.(13分) 23.(1)①是 (1分) ②BD=CE,BD⊥CE. (2分) 证明:∵ ∠BAC=∠DAE=90°, ∴ ∠BAD=∠CAE. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴ △ABD≌△ACE, ∴ BD=CE,∠ABD=∠ACE. (3分) ∵∠ABD+∠DBC+∠ACB=180°-∠BAC=90°, ∴ ∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°, 即∠BCE+∠DBC=90°. 记BD,CE交于点O, 则∠BOC=180°-(∠BCE+∠DBC)=90°, ∴BD⊥CE. (4分) (2)证明:如图(1),延长BA到点 F,使AF=AB,连接EF. ∵M是BE的中点, ∴ EF=2AM(关键点1:构造长度是AM的2倍的线段).(5分) ∵△ABC和△ADE是“孪生三角形”,AB=AC,AD=AE, ∴∠BAC+∠DAE=180°, ∴∠BAE+∠DAC=180°. ∵∠BAE+∠EAF=180°, ∴ ∠EAF=∠DAC. 又∵AE=AD,AF=AB=AC, ∴ △AEF≌△ADC, (7分) ∴ EF=CD(关键点2：利用全等三角形得到相等线段)， ∴ CD=2AM. (8分) (3)∵AB=AC,∠B=30°, ∴ ∠C=30°,∠BAC=120°. ∵AD=AE=DE,∴△ADE 为等边三角形, ∴ ∠DAE=60°, ∴ ∠BAC+∠DAE=180°, ∴ ∠BAE+∠CAD=180°. 如图(2),设CD的中点为 H,连接AH,延长 CA 到点 N,使AN=AC,连接DN. ∵H是CD的中点, ∴ DN=2AH. ∵∠NAD+∠CAD=180°, ∴ ∠BAE=∠NAD. 又∵AB=AC=AN,AD=AE, ∴△BAE≌△NAD, ∴ BE=ND=2AH. (9分) 当D,E,C三点共线时,如图(3)、图(4),设ED 的中点为G,连接AG,则AG⊥CE. ∵AD=AE=DE=2, (10分) 当点 C 在线段 ED的延长线上时，如图(3)， 则 CD=GC-GD=1, (12分) 当点 C 在线段 DE 的延长线上时，如图(4)， 则 CD=GC+GD=3, 综上，BE的长为 或 (14分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级第二次模拟考试 数学试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分.） 1.质检员抽查 4袋面粉的质量，其中超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数.下面最接近标准质量的是（ ） ( ) A.-4g B.+2.6g C.-1.5g D.-2.3g 2. 2026年 1月 26 日，广东省十四届人大五次会议在广州开幕，政府工作报告指出,2025 年广东货物进出口总额95000亿元,增长4.4%,贡献了全国24.1%的增量.将数据95000亿用科学记数法表示为（ ） ( ) A. B. C. D. 3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A.a<-b B.a+b>0 C.b-a<0 D.ab>0 4.若（ ） ( ) A.7 B.10 C.16 D.25 D.25 5. 甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的人数相同，竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一个合适的小组参加年级的比赛，那么应选（ ） ( ) A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组 6.如图,▱中,AB=5,BC=7,BE平分交AD 于点 E,则AE:DE=（ ） ( ) A.2:5 B.3:4 C.4:3 D.5:2 7.如图，图(1)由 5个相同的小正方形组成，从图(2)标有序号的 6个位置中任选一处再添加 1个相同的小正方形，所得图形能折叠成正方体的概率是（ ） ( ) A. B. C. D. 8.已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（ ） ( ) A.16 B.11 C.9 D.7 9.如图,▱的对角线AC,BD 相交于点O, 的平分线与边AB相交于点 P，E是PD的中点.若AD=6,CD=9,则EO的长为（ ） A.1 B. C.2 D.3 10.如图,点E为矩形ABCD的边AB的中点,点P 从点 C出发,沿路径C→D→A运动,已知AB=4,BC=6,则△PCE的面积y关于点 P所走路径长x的函数图象大致为（ ） ( ) 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 11.计算: 12.已知点关于y轴对称，则 13.若实数a,b满足 则 14.在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移2 个单位长度，则平移后的直线的解析式为 . 15.广式彩色玻璃窗 广式彩色玻璃窗由中式传统木窗棂镶嵌彩色玻璃而成.图(1)是一款广式彩色玻璃窗，其图案由 36个相同的五边形和 9个相同的正方形组成，五边形部分镶嵌白色玻璃，正方形部分镶嵌浅蓝色玻璃，图(2)标注了其中一块五边形玻璃的尺寸，若:=2:3,则图(1)需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为 . 三、解答题（本大题共8小题，共75分.） 16.（本小题满分7分）以下是某同学解方程组 的部分运算过程. 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得.…第四步 (1)这种解二元一次方程组的方法叫作（ ） ( ) A.代入消元法 B.加减消元法 (2)上面的运算过程从第 步开始出现了错误. (3)请写出解该方程组的正确过程. 17.（本小题满分7分）老师在黑板上写了一道练习题，却被值日生不小心擦掉了一部分，保留的部分如下：化简(擦掉部分用X表示) (1)若X=1,，请求出化简结果； (2)若化简后的结果为,求X. 18.（本小题满分7分）如图,OA 为⊙O 的半径. (1)尺规作图过点A 作⊙O 的切线AP，使得点P在点A 的左侧且PA=2OA；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下,连接OP,若OP=3,求⊙O的半径. 19.（本小题满分9分）某校为了解初中学生每天参加体育活动时间的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行整理，分为四组：A(t<1);B(1≤t<1.5);C(1.5≤t<2);D(t≥2)(t为时间，单位：h).并绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与这次问卷调查的学生人数为 . (2)估计该校780名初中学生中每天参加体育活动时间不低于1.5h的学生人数. (3)对以上体育活动时间分析后，学校拟增设课间体育活动项目，“你希望增设的活动项目调查问卷”情况如下表(由于部分原因导致两个数据缺失)，根据调查结果，向学校提出相应的建议. 20.（本小题满分9分）家素材预测国补某商场国补活动中，家电国补为20%(即产品降价20%，后同)数码产品国补为10%，运动器材不仅有15%的国补，还有一定金额的厂商补贴. (1)王阿姨在该商场购买了一台电视机(家电)和一台平板电脑(数码产品)，一共付了5320元，比原便宜了980元，求这台电视机和这台平板电脑的原价分别为多少元； (2)李叔叔准备在该商场购买一台原价为4200元的跑步机(运动器材)，店员预估国补、厂商补贴后价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元. 21.（本小题满分9分）综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图(1)的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处. 素材1 如图(2)是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台BC的高为5米(即OB=5米)，BC∥x轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同. 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台DE的高为2米(即EF=2米)，点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线水最终落入圆柱形接水装置(纵截面为矩形 GHIJ）中，接水装置高米,底面直径米,在x轴上. 问题解决 任务1 (1)求点C 的坐标. 任务2 (2)求抛物线的解析式. 任务3 (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从GJ的中点处落入接水装置，求接水装置离EF的水平距离 FH. 22.（本小题满分13分）【阅读材料】“错位相减法”是一种用于求解规律排列的数的和的巧妙方法，它能够解决一些看起来复杂的问题.例如求的和可以用“错位相减法”求解，解题过程如下： 设 将等式①的左右两边同时乘以5，得 ②-①,得故 【解决问题】 (1)填空: (2)令，求的值(用含的代数式表示). (3)寒假期间，老师布置了一项“15 天阅读打卡挑战”，积分规则如下：阅读第1天基础积分为2，之后每天的基础积分是前一天的2倍；阅读第k天的积分倍数为k，当天积分=基础积分×倍数，总积分为每天积分之和.按照这个规则，完成所有打卡任务一共可以获得多少积分?(已知 23.（本小题满分14分）在学习三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“孪生三角形”进行研究.定义：顶角互补的两个等腰三角形叫作“孪生三角形”. (1)观察思考 如图(1),. ① “孪生三角形”；(填“是”或“不是”) 重难题视频 ②连接的数量及位置关系并证明. (2)性质探究 如图(2),是“孪生三角形”,的中点,连接,通过探究发现请你写出证明过程. (3)拓展应用 如图(3)绕点 旋转,当点在一条直线上时，求的长. 学科网（北京）股份有限公司 $