广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高三下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 以非遗文化、马拉松等真实情境为载体，覆盖函数、几何、概率等主干知识，突出数学思维与应用能力考查，适配高三高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合、复数、立体几何、概率|第8题以非遗体验为情境考查概率，体现应用意识| |多选题|3|抛物线、正方体动态问题、黄金螺旋线与数列|第11题结合黄金螺旋线考查数列性质，培养数学眼光| |填空题|3|指数对数运算、双曲线离心率|第13题综合重心内心求离心率，强化推理能力| |解答题|5|统计、三角函数、立体几何、导数|第15题分析马拉松志愿者数据，提升数据意识；第19题论证导数方程解，发展逻辑推理|

广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高三下学期5月月考数学试卷 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.已知,集合,,若,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.设复数,其中是虚数单位,若为纯虚数,则实数a=( ) A. B. C. 或 D. 3.已知四面体的所有棱长都等于,,分别是棱,的中点,则等于( ) A. B. C. D. 4.某教师要把语文、数学、外语、历史四个学科排到如下的课表中,如果相同科目既不同行也不同列,星期一的课表已经确定如下表,则其余三天的课表的不同排法种数有( ) 第一节 第二节 第三节 第四节 星期一 语文 数学 英语 历史 星期二 星期三 星期四 A. B. C. D. 5.若是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于 A. B. C. D. 6.已知直线与直线相交于点,线段是圆的一条动弦,且,点是线段的中点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.已知,,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 8.“水韵江苏 家门口享非遗”展示活动中,主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目,并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验,每个主题都恰有1人体验,记事件“甲体验指尖非遗”,“甲体验潮玩非遗”,“乙体验舌尖非遗”,则( ) A.与对立 B. C.与相互独立 D. 二、多选题 9.已知抛物线的焦点到准线的距离为,直线与交于、两点,且,,若过点、分别作的两条切线交于点,则下列各选项正确的是( ) A. B. C. D.以为直径的圆过点 10.如图,已知正方体的棱长为,点为的中点,点为正方体上底面上的动点,则( ) A.满足平面的点的轨迹长度为 B.满足的点的轨迹长度为 C.存在唯一的点满足 D.存在点满足 11.若数列满足,,则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以为边长的正方形中的扇形面积为,数列的前项和为,则 ( ) A. B.是奇数 C. D. 三、填空题 12._. 13.已知,为双曲线的焦点,点在上,点,分别为的内心和重心.若,且,则的离心率为_. 14.设全集,,,若,则实数a的所有取值构成的集合为_; 四、解答题 15.2024年10月13日,成都市将举办马拉松比赛,其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人,担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和,请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. (附:设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为:,记两组数据总体的样本平均数为,则总体样本方差) 16.已知,其图象一个对称轴为, (1)求的解析式及单调递减区间; (2)若函数上有个不同的零点,求的取值范围; (3)若在上最小值为,求使不等式成立的的取值集合. 17.如图,所在平面与菱形所在平面垂直,且,,点为中点,点在线段上且. (1)求证:; (2)求三棱锥的体积. 18.已知平面内的动点到两定点,的距离之比为. (1)求点的轨迹方程; (2)过点且斜率为的直线与点的轨迹交于不同两点、,为坐标原点,求的面积. 19.已知函数,. (1)讨论函数的单调性; (2)证明:当时,方程有且仅有一个解. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司