精品解析：广东深圳外国语学校2025-2026学年高三第九次月考数学试题

深圳外国语学校2026届高三第九次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算和模长公式即可求解. 【详解】由， 得，即  则 . 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，由得， 所以集合，，于是． 3. 一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】借助百分位数定义与平均数定义计算即可得. 【详解】，这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数， 即，即有，解得. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 由余弦定理得，化简得 则或. 5. 圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示 则 易得，所以，即，所以， 所以圆柱体积 记 ，得， ，单调递增 ，单调递减 故 6. 已知正项等比数列的前项积为，若，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求得，然后求得公比，再由通项公式求得结论． 【详解】设的公比为.，， ，，， ，， .. 7. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，只需到直线的距离小于或等于，再利用点到直线的距离公式列不等式求解． 【详解】解：圆，圆心为：，半径为， 当与圆相切，且直线时，最大， ∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于， ∴只需到直线的距离小于或等于， 故，解得， 8. 已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数在上的值域，利用单调性求出在上的值域，再结合方程恒有解列式求解. 【详解】当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此函数在上的值域为， 而函数在上单调递减，值域为， 要使关于的方程恒有解，则，解得， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由周期公式得到表达式判断A，代入验证可得判断B，C，应用余弦函数性质得出最值判断D. 【详解】，由于最小正周期为，故，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 故，当时，取上的最小值为，故D正确. 10. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用对立事件概率求法、全概率及条件概率公式判断A、B、D；由概率的性质判断C. 【详解】由题设，且， ， ， 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据外接球体积公式、勾股定理、空间向量坐标的线性表示等知识逐项计算判断即可. 【详解】四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接， 则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点． 因为，所以，所以， 则，则，A正确． 设四面体外接球的球心为，则在上，设， 则，解得，所以四面体外接球的半径为3， 四面体外接球的体积为，C错误． 易得四面体内切球的半径，内切球的球心为， 则的最大值为，最小值为，B正确． 因为平面，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），． 当取得最小值时，，即， 得，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量＝（1，2）与向量＝（m，3）满足，则＝______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题，， 13. 某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，其余4款AI助手可以分成两组分给乙组和丙组，或者分成三组分别分配给甲、乙、丙三个小组，分别求之再相加即可. 【详解】由于智能编程功能的必须分配给甲组， 则其余4款AI助手可以分成两组分给乙组和丙组， 有种分配方法， 或者 有种分配方法， 所以共有种分配方法. 14. 已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】易知，当时将方程变形为，令，，由可得关于对称，由题意可得有两个实数根，即函数与有两个交点，进而得出，，代入，利用一元二次函数的性质可得答案． 【详解】由题意得， 所以是函数的一个零点， 当时，令，可得， 令，， ， 所以关于对称， 若要函数有三个不同的零点， 则需满足方程有两个实数根， 即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称， 又，可得，， 所以， 当且仅当，，时，等号成立， 此时的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合恒等变形可得，进而得到即可； （2）利用余弦定理解出，进而得到，再根据面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 利用正弦定理：， 整理得：， 由于， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 ，， ，即， 解得（负值已舍去），则， . 16. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系 （2），（万亿千瓦时） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； 【小问2详解】 ， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，先求坐标，运用向量数量积求解夹角；（3）转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积. 【小问1详解】 由底面，底面，得； 又，， 故，，因此平面. 平面，故. 在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即. 又，平面，因此平面，得证. 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， 由题意得各点坐标. 由（1）可知，所以. 因为所以为的中点，得. ， 则，， 所以，解得，即. 得，. ， 故，因此异面直线与的夹角为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 设平面的法向量为，则，​ 化简得 令，得，因此平面的一个法向量为. ，点到平面的距离，​ 又，，​， . 故， 三棱锥体积. 18. 已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点. （1）求双曲线的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）​或. （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的离心率和求解方程； （2）根据向量关系得到点的坐标即可求解直线方程； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理整理出，再换元利用二次函数性质得到的范围即可求解. 【小问1详解】 由双曲线，得，即. 已知离心率​​，得. 由双曲线关系，得. 因此双曲线的方程为. 【小问2详解】 由得，设，. 向量，， 由​​得，解得​​， 代入双曲线方程得​​，或， 故直线的斜率， 所以直线PQ方程为​或. 【小问3详解】 设直线，，则，圆与轴相切，故半径. 联立直线与双曲线方程，整理得， 由在左支，得，设，中点， 由韦达定理得， 则，即. 故，，， 设，由切线性质， 令，代入得，由，所以， 设，代入上式得， 可知二次函数在内单调递增，所以， 因此， 由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即. 则​​，即的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围； （3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有. 【答案】（1）单调递增区间：，单调递减区间： （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先确定的表达式，先求定义域，再求导，通过分析导数的正负来确定单调区间； （2）化简，设，得到关于的函数，再根据的范围，利用导数求该函数的值域 （3）先根据数列前项和与通项的关系求出​，再结合求出，进而表示出​，利用放缩法证明不等式 【小问1详解】 当时，，则 令，则 当时，，，故，单调递减. ，故时，，即. 当时：，故，即 综上，单调递增区间：，单调递减区间： 【小问2详解】 当时，，方程为 设，则，且 两式相减 因此 令，求导， 令，，单调递减， 所以在上单调递减时，；时， 所以 记，则，单调递增， 所以 【小问3详解】 由(1)知，当时，，即 取，得， 因此 由(2)知，当时，. 取（，此时），则 所以 记，，则 故在上单调递增，因此，即 取，则 所以，得证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026届高三第九次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. 5 C. D. 10 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或 5. 圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列的前项积为，若，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 7. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为 10. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量＝（1，2）与向量＝（m，3）满足，则＝______. 13. 某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有___________种． 14. 已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 18. 已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点. （1）求双曲线的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围； （3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $