精品解析：天津市河西区2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查(三)数学试卷

河西区2025—2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至4页，第II卷5至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·球体的表面积公式，其中为球体的半径． ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高． ·球体的体积公式，其中为球体的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用集合交集和补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，，可得， 又由集合，所以. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 4. 下列函数中，在内单调递增的偶函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 5. 为了解高三年级学生参与“人工智能辅助学习”的频次（次/周）与数学模拟测试成绩（分）之间的关系，学校收集了一组成对数据，计算可得样本平均数，，通过数据分析求得经验回归方程为，下列关于这组数据的统计分析中，说法错误的是（ ） A. 变量与呈正相关关系 B. 经验回归直线必过样本中心点，且 C. 若某学生每周参与辅助学习6次，其测试成绩为110分，则该样本点的残差为 D. 若这组数据的残差平方和越小，则决定系数越小，说明经验回归模型的拟合效果越好 【答案】D 【解析】 【详解】选项 A：回归方程中的系数为 ，所以变量与呈正相关关系，A正确. 选项 B：经验回归直线必过样本中心点 ， 将样本中心代入回归方程 进行验证， 可得 ，满足回归直线性质，B正确. 选项 C：当时，预测值 ， 残差 ，C 正确. 选项 D：残差平方和越小，决定系数越大，说明模型拟合效果越好，D 错误. 6. 已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数化简，再根据对称中心与相邻对称轴的距离求出周期，进而得到，最后求区间内的最小值. 【详解】， 正弦函数中，对称中心到相邻对称轴的距离为，已知该距离为， 因此：， 由周期公式（），得：， 所以， 当时，令，则， 此时在时取得最小值，所以. 7. 已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（ ） A. 4049 B. C. 4051 D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， ，，解得或， 即或，此时可能小于1，不满足都有意义， 故，则. 8. 双曲线：的左、右焦点依次为、，坐标原点为，过右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线交双曲线的右支于点，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线的方程求出直线的斜率，再联立直线与渐近线的方程求解出点的坐标，然后利用中点坐标公式求解出点的坐标，然后再将点坐标带入双曲线的方程中，从而解得双曲线的离心率. 【详解】 由题意可知渐近线， 则直线 联立直线，和直线可解得点 则线段的中点为又因为中点在抛物线上，将点的坐标代入双曲线的方程化简得：即 故选：A. 9. 已知正方体中，点，，分别为棱，，的中点，过点，，的平面将正方体分成的两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过补形的方法，作出截面，通过分割多面体的方法求得其中一部分的体积，从而求得另一部分的体积，即可得到两部分体积之比. 【详解】如图，以正方体的侧面为面，作正方体. 取的中点，连接， 由// ，且，知四边形为平行四边形， 所以// ， . 易知// ，. 又点，分别为棱，的中点，所以// ，所以// . 连接，交于点， 因为// ，且，所以， 所以为棱最靠近的六等分点. 取棱最靠近的六等分点，连接. 因为，// ， 所以四边形为平行四边形，所以// ，. 所以，// ， 所以四边形为平行四边形，所以// ，. 连接，则点五点共面，五边形为正方体的截面. 设正方体的棱长为， 则，，， 所以几何体的体积等于 . 所以剩余部分的体积为. 所以过点，，的平面将正方体分成的两个几何体的体积之比为. 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知是虚数单位，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】. 11. 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式通项公式求解. 【详解】对于二项式，当为偶数时，中间项（第项）的二项式系数最大. 本题中（偶数），因此第项的二项式系数最大，此时. 二项式的通项为 将代入通项 因此，该项的系数为. 12. 某高中即将举办“青春风采”校园艺术节，在前期筹备中，校学生会从各班报名的同学中筛选出了9名优秀骨干志愿者，并将他们分配到“后台统筹”和“前台引导”两个不同的工作组．已知这9名志愿者中，有5名同学属于“后台统筹”组，4名同学属于“前台引导”组．现因舞台彩排需要，随机从这9名志愿者中抽调3人参与第一次全要素带妆彩排．则抽调的3名志愿者中，恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为_________；已知在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组，则在此前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】抽调的3名志愿者恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为， 恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为， 至少有1名来自“前台引导”组的概率为， 所以在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为. 13. 已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线上一点位于第四象限，且，以为圆心，且与相切的圆交直线于，两点，若直线过点，且与直线垂直，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线的焦点为，准线， 则以为圆心，且与相切的圆的方程为， 抛物线上一点位于第四象限，设， ，即，解得，所以， 直线过点，且与直线垂直，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即， 直线与圆相交于两点， 联立可得，代入可得， 解得，因此， 所以. 14. 已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由题意，故得，，，。 由，可得, 即,即， 由， 则,因此 因，设， 则，即， 又是的中点，，则 ,, 故. 15. 已知，函数，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】需对和分别分析，通过变量替换令简化计算、求函数最值确定的范围，即可得出结果. 【详解】令，则，当时，，，；当时，，，. 不等式化简为：时：①；时：②. 分析(即)的情况： 将②变形为，需求的最小值. 令，则 所以，令，解得. 代入，得. 因此，式②恒成立的条件是：. 分析(即)的情况： 将式①分为、和讨论： (1)时，不等式为恒成立； (2)，不等式变为，需求的最小值. 对求导(或代数变形)，得极值点，代入得. 因此，时， (3)，若，右边，不等式恒成立； 若，右边，不等式变形为，需求的最大值. 对求导，得极值点，代入得. 因此，时，. 综合所有条件 由时，；时，. 综上的取值范围是. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． （1）求的值； （2）求和的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式得，即可求出； （2）代入余弦定理的公式即可求出和的值； （3）先利用正弦定理求出的值，再利用公式求出，最后利用两角差的余弦公式即可求出. 【小问1详解】 由余弦定理可得：， 将上式代入已知面积条件中，得： ， 又因为三角形面积公式为，两式联立可得：， 因为在中，，，所以：， 显然两边同除以得：， 因为，所以角A的大小为：, 【小问2详解】 由余弦定理，将，代入得： ，即，解得， 又由已知得. 【小问3详解】 在中，由正弦定理得：， 由（2）可知，，． ， ， ， . 17. 如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过作于，根据已知证得、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值； （3）向量法求点面距离即可. 【小问1详解】 在直角梯形中，过作于， 因为，，且， 所以四边形为正方形，可得，， 因为，所以 ， 在中，， 在中， ， 在中，所以，即， 因为侧棱底面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 已知平面的一个法向量为，平面外一点， 在平面上任取一点，所以， 点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 18. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设数列满足，求数列的最大项和最小项． 【答案】（1）；． （2） （3）最大项为，最小项为． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和．求出奇数项，利用错位相减法求出，求出偶数项，利用裂项相消法求出，从而得到. （3）求出，由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨．①记偶数项为．计算，得到偶数项子数列是严格递减数列．则在所有偶数项中最大值为；②记奇数项为，判断奇数项子数列单调性，从而得到所有奇数项中的最小值为；进而即得． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意得方程组：， 得：即， 因为，解得，此时． 所以；． 【小问2详解】 前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和． 因为奇数项． ， ， ， ， 所以． 偶数项 ． ， ， ． 所以. 【小问3详解】 ， 由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨． ①记偶数项为． ． 因为，所以 ． 故，即偶数项子数列是严格递减数列． 因此，在所有偶数项中，最大值为． ②记奇数项为． ． 当时， ，所以，即． 当时， ，所以， 即从第三项起，奇数项子数列严格递增，有 因此，在所有奇数项中，最小值为． 因为所有偶数项为正，所有奇数项为负， 所以数列最大项为，最小项为． 19. 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，半焦距为，已知点在椭圆上，过点且斜率为整数的直线交椭圆的另一点为，线段的垂直平分线与轴交于点． （1）求椭圆的离心率； （2）求直线的斜率； （3）设关于轴的对称点为，直线交轴交于点，若的面积为，求椭圆的标准方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合和离心率定义将方程转化为关于离心率的方程，求解即可； （2）设直线的斜率为，写出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出的中点坐标，再根据中点坐标写出的垂直平分线方程，结合垂直平分线与轴交点的条件，建立关于的方程，求解； （3）根据（2）的结果得到点的坐标，再写出其关于轴的对称点坐标，求出直线，并得到与轴的交点坐标，利用三角形的面积公式，结合已知面积，建立方程，再结合（1）中的离心率求出的值，进而得到椭圆方程. 【小问1详解】 将点直接代入椭圆方程： 由于，且，转化为离心率的方程： ， 整理得：， ，因为椭圆的离心率满足，故舍去，． 解得离心率． 【小问2详解】 由（Ⅰ）知，．椭圆方程为． 设直线的斜率为，过定点． 直线的方程为：． 代入椭圆方程：， 化简得， ， ， 计算线段的中点的坐标： ， ， 中垂线的斜率为．令其方程中，得轴截距： ， 题目已知 ： 解得或．因为直线的斜率为整数． 故舍去，所以． 【小问3详解】 将代回点得：， 此时点坐标为．对称点． 直线的斜率： 直线的方程为：． 令，解得交点． ， ，， ，，． 椭圆的方程为： 20. 已知函数，其中． （1）当（为自然对数的底数）时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在两个零点，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数较大的零点为，记，当实数满足时，求证： ． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数并确定单调性求出最小值，再建立不等式求解. （3）根据给定条件构造函数，利用导数确定进而证明不等式. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数，求导得，由，得， 若，则在上恒成立，故为上的增函数，与题设矛盾； ，而，则，即，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 而，当时，，函数在存在两个零点， 当且仅当，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，，即，两边取自然对数得， 而，则，令函数，显然是方程的根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由是函数较大的零点，得 ，即落在的严格单调递增区间内， 令 ， 要证明 ，只需证明 且 即可， ①由，得 ， ，则 ， ，而 且 ，得 ， ， 则 ，由在上单调递增，且，得， 因此； ② ，令函数 ，求导得 ， 函数在上单调递减，，因此 ，而 ， 则，由，得 ，即 ，而 ， 因此 ，即 ， ， 又函数在上单调递增，且，则 ，即 ， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2025—2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至4页，第II卷5至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·球体的表面积公式，其中为球体的半径． ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高． ·球体的体积公式，其中为球体的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在内单调递增的偶函数为（ ） A. B. C. D. 5. 为了解高三年级学生参与“人工智能辅助学习”的频次（次/周）与数学模拟测试成绩（分）之间的关系，学校收集了一组成对数据，计算可得样本平均数，，通过数据分析求得经验回归方程为，下列关于这组数据的统计分析中，说法错误的是（ ） A. 变量与呈正相关关系 B. 经验回归直线必过样本中心点，且 C. 若某学生每周参与辅助学习6次，其测试成绩为110分，则该样本点的残差为 D. 若这组数据的残差平方和越小，则决定系数越小，说明经验回归模型的拟合效果越好 6. 已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（ ） A. 4049 B. C. 4051 D. 8. 双曲线：的左、右焦点依次为、，坐标原点为，过右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线交双曲线的右支于点，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知正方体中，点，，分别为棱，，的中点，过点，，的平面将正方体分成的两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知是虚数单位，则_________． 11. 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 12. 某高中即将举办“青春风采”校园艺术节，在前期筹备中，校学生会从各班报名的同学中筛选出了9名优秀骨干志愿者，并将他们分配到“后台统筹”和“前台引导”两个不同的工作组．已知这9名志愿者中，有5名同学属于“后台统筹”组，4名同学属于“前台引导”组．现因舞台彩排需要，随机从这9名志愿者中抽调3人参与第一次全要素带妆彩排．则抽调的3名志愿者中，恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为_________；已知在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组，则在此前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为__________． 13. 已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线上一点位于第四象限，且，以为圆心，且与相切的圆交直线于，两点，若直线过点，且与直线垂直，则_________． 14. 已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 15. 已知，函数，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． （1）求的值； （2）求和的值； （3）求的值． 17. 如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设数列满足，求数列的最大项和最小项． 19. 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，半焦距为，已知点在椭圆上，过点且斜率为整数的直线交椭圆的另一点为，线段的垂直平分线与轴交于点． （1）求椭圆的离心率； （2）求直线的斜率； （3）设关于轴的对称点为，直线交轴交于点，若的面积为，求椭圆的标准方程 20. 已知函数，其中． （1）当（为自然对数的底数）时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在两个零点，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数较大的零点为，记，当实数满足时，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $