精品解析：天津市第一中学、咸水沽第一中学2025-2026学年高三考前联合模拟考试数学试题

2025～2026学年高三年级第三次联合模拟考试 高三数学 第I卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，为非零实数，则“”是 “”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的70%分位数为6 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若，则 7. 已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 9. 椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，P为，，的一个公共点，若，则，，离心率的乘积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 复数 （其中为虚数单位），则的模为________． 11. 在的展开式中，的系数是______． 12. 已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 13. 某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 14. 在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________． 15. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为__________. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求． 17. 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 19. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. （1）求数列的通项公式； （2）记，证明对于任意的，； （3）求（其中）. 20. 已知函数（）. （1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围； （2）函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年高三年级第三次联合模拟考试 高三数学 第I卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出全集，再求出集合在全集中的补集，最后求出与集合的交集. 【详解】已知，所以， 已知，可得， 已知，，所以. 故选：A. 2. 设，为非零实数，则“”是 “”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件定义举特殊值判断即可. 【详解】由题意当时，满足，但，故充分性不满足； 当时，满足，但，故必要性不满足； 所以“”是 “”成立的既不充分也不必要条件. 3. 函数在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式判断的奇偶性，再根据特值以及函数极限，即可容易判断选择. 【详解】依题意，，且其定义域为， 故函数为偶函数，图像关于轴对称，排除C； ，排除B； 当时，，，此时，排除D， 故选：A． 【点睛】本题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及函数奇偶性的判断，以及函数极限的估计，属综合基础题. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的70%分位数为6 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各选项，结合相关系数、分位数、正态分布、方差的性质判断正误. 【详解】A：线性相关程度越强时，相关系数的绝对值越接近1，负相关时会接近，故A错误. B：将数据排序为1，2，4，5，6，7，8，9，分位数对应的位置为，取第个数为，故B错误. C：正态分布中越大，数据离散程度越高，区间内的概率越小，故C错误. D：原4个数据的，加入数据5后，新方差为，故D正确. 故选：D 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数以及余弦函数的单调性分析可知. 【详解】，即， ，即， ，则，可得， 即，所以，即. 6. 已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于 ，面面平行的判定定理要求相交，若 ，则 可能相交，故错误； 对于 ，过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故正确； 对于C，若 ，则 或 ，故 错误； 对于，若， 如果或，则不能判断 ，故错误. 7. 已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依题意得，，则，由基本不等式即可求解． 【详解】因为b是a，1的等差中项，所以，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为， 故选：B. 8. 已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求的范围，再结合函数的对称性列式，确定，再分别代入函数的解析数，由对称性求，并验证函数的单调性后，即可求解. 【详解】因为函数在内单调递减， 所以，得， 因为是函数的一条对称轴， 所以，① 因为函数是奇函数， 所以，②， 由①②可得，， 而，所以 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数单调递减，符合题意， 所以 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意， 所以. 故选：B 9. 椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，P为，，的一个公共点，若，则，，离心率的乘积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆方程为：，双曲线方程为：，过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为,结合勾股定理确定的关系即可求解； 【详解】画出简图： 设椭圆方程为：，双曲线方程为：， 因为P为，，的一个公共点， 则， 联立可得：， 又抛物线的方程为，所以焦点坐标为：，准线方程为：， 过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为, 则， 又，结合， 易得， 所以, 结合勾股定理：，及可得： ， 联立方程可得：， 所以， 由抛物线离心率为1，所以，，离心率的乘积为4， 故选：D 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 复数 （其中为虚数单位），则的模为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的运算法则化简复数后，再由模的定义计算． 【详解】 ， 所以． 11. 在的展开式中，的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】写出已知二项式展开式的通项，进而写出对应项，即可得系数. 【详解】已知二项式的展开式通项公式为，， 令，可得，则. 故答案为： 12. 已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】设的中点为，，弦心距为，由和根据勾股定理列式求解，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】 ，所以在圆内， 设的中点为， 设，因为， 所以， 设圆心到直线的距离为，所以， 又， 解得，则，， 所以的面积是. 故答案为：4. 13. 某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 【答案】 ①. 0.6## ②. 1.6## 【解析】 【分析】第一空，设事件表示“第次投篮命中”，然后根据全概率公式求解即可. 第二空，先求出每组投篮训练成功的概率，再根据二项分布的期望公式计算. 【详解】设事件表示“第次投篮命中”，则表示“第次投篮未命中”. 由题意，. 根据全概率公式可得. 每组连续投篮命中2次为成功，第一次命中概率为，若第一次命中，则第二次命中的概率为，根据分步乘法计数原理，每组投篮训练成功的概率为. 又每组投篮训练成功与否相互独立，且每组投篮训练成功的概率均为，共进行组投篮训练，所以，所以. 14. 在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】易得四边形为平行四边形，设，再将用表示，根据共线，求得，再将用表示，根据数量积的运算律即可求出；根据求得，以点为原点建立平面直角坐标系，设，再根据数量积的坐标表示即可求出答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 则可设， 故， 因为共线， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 所以； 因为， 所以， 所以， 又，所以， 因为，所以， 如图以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 设， 故， 则， 当时，取得最小值. 故答案为：；. 15. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式对和分类讨论，分别满足不等式对任意的恒成立，列式求解即可. 【详解】解：①当时，由得到在上恒成立，显然a不存在； ②当时，由，可设， 由的大致图象，可得的大致图象，如图所示， 由题意可知则，所以， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为 综上，的最大值为 故答案为： 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 可得， 得到，即， 显然，则， 又，可得. 【小问2详解】 ， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， . 【小问3详解】 由正弦定理得，则， ，即，则，故为锐角， ， ，， . 17. 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）2； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）由题意易知四边形为直角梯形，计算可得答案； （3）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【小问1详解】 底面，底面， ． 又平面， 平面； 【小问2详解】 由题意易知四边形为直角梯形， ． ； 【小问3详解】 如图，以为原点， 所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则 易知平面， 平面的一个法向量， 设平面的法向量， ， 令，得，所以， ，由图可得平面与平面所成角为锐角， 故平面与平面所成角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式列方程组求解可得方程； （2）设，，，且，，联立直线的方程和椭圆方程表示出点坐标，根据三点共线得的关系，然后可证. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可设，，，且，. 直线的方程为. 由消去，整理得. 成立. 由，解得. 所以.所以. ①当直线轴时，，解得， 由椭圆的对称性可得. 又因为，所以. ②当直线不垂直轴时，即时，， 直线的斜率.同理. 因为，，三点共线，所以.所以. 在和中，，， 所以.因为，均为锐角，所以. 综上，若，，三点共线，则. 19. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. （1）求数列的通项公式； （2）记，证明对于任意的，； （3）求（其中）. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助等比中项求出公比，进而求出通项公式. （2）求出插入区间内项后的等差数列公差，再按数列的相邻3项在同一等差数列内和在相邻两个等差数列内分类证明. （3）求出数列中项及前面的项数和，再利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式及错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列的公比为，因为数列是各项均为正数，故，， 因为，， 所以，解得，而，则公比， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得等差数列的公差， 当时，，则； 当时，则，， ，因此， 所以. 【小问3详解】 依题意，在内的数列的所有项和为， 数列中，项及前面的项数和为， 当时， 令， 则， 两式相减得， 解得，而， 因此， 当时，满足上式， 所以. 20. 已知函数（）. （1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围； （2）函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）转化为无变号零点，利用导数求解即可； （2）（i）转化为函数有三个零点，进而转化为有两个不相等的正根，根据单调性和零点存在性定理即可求解；（ii）根据，的关系，，结合的单调性，结合（i）中的两根关系、a的取值范围即可得证. 【小问1详解】 （），令（）， 因为函数在定义域内无极值， 所以函数无变号零点，即函数在上无变号零点. 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 由上可知，，∴. 【小问2详解】 （ⅰ）（，）， （，），令，则， 因为有三个不同的极值点，即有三个变号零点， 所以必有两个不相等的正根， 所以方程必有两个不相等的正根， 记为，则，且， 由得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，且，所以必有，且为极小值点，，且为极大值点. ，当时，，在上有唯一零点， 因为，， 必有为极大值点. 综上，当且仅当时，有三个不同的极值点，即a的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可知，，所以， 又函数在单调递增，，，， 所以， 又，所以，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $