山东省泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟训练

**基本信息** 以AI工具使用、体育锻炼等真实情境为载体，覆盖函数、概率统计等核心知识，通过基础选择到综合解答题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|集合运算、函数导数、二项式系数|第5题结合函数图像解不等式，考查几何直观| |多选题|3题/18分|二项式定理、统计推断|第10题综合检验回归方程与独立性检验，体现数据意识| |填空题|3题/15分|函数奇偶性、分布列|第12题利用奇偶性求函数值，强化数学抽象| |解答题|5题/77分|概率应用、导数极值证明|18题以AI使用调查为情境，融合独立性检验与期望计算；19题导数极值证明，突出逻辑推理|

山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末考试模拟训练 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）的展开式的二项式系数和为（    ） A．1 B．5 C．16 D．32 4．（本题5分）根据表中数据，得到关于的一元线性回归方程为，且，则（　　） 1 2 3 4 5 6 7 y A．1 B．2 C．4 D．2.4 5．（本题5分）已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．8 D．24 7．（本题5分）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 8．（本题5分）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知，则（    ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D．当时，除以11的余数为10 10．（本题6分）下列结论正确的是（   ） A．一组数据，经过分析、计算，得，，y关于x的经验回归方程为，则． B．若随机变量，满足，则 C．若随机变量，，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 11．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间是 B．在处取得极大值 C．在点处的切线方程为 D．若，则函数有两个零点 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为______． 13．（本题5分）随机变量X的分布列如下，则_______． X 0 1 2 P 0.3 0.3 14．（本题5分）若对任意，，则的取值范围是_____． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知甲袋子装有编号分别为1，2，3的三个红球和编号分别为1，2，3的三个白球（小球除编号、颜色外完全相同）． (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记事件A为“摸到的两个小球颜色相同”，事件B为“摸到的两个小球的编号之和大于4”，判断A，B是否相互独立，并说明理由． (2)现从甲袋中不放回地摸球，直到摸出所有白球，则停止摸球． （ⅰ）若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率； （ⅱ）若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率． 16．（本题15分）已知函数为偶函数. (1)求实数m的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 17．（本题15分）某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方式从和的学生中抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者分数差大于分的概率. 18．（本题17分）在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据： 经常使用 不经常使用 合计 男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计 140 60 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关； (2)为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求曲线切线斜率的最小值； (2)若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年期末考试模拟训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B D A C C ACD ABD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，集合是正整数集合， ，所以， 故选：D 2．B 【分析】先得到，再根据函数解析式及对数的运算法则即可求解． 【详解】由，则， 所以． 故选：B． 3．D 【分析】利用二项式系数性质求解. 【详解】二项式系数和为， 故选：D. 4．B 【分析】根据线性回归直线经过样本中心点，求的值. 【详解】由题意：，. 因为一元线性回归直线经过点， 可得：. 故选：B 5．D 【分析】根据函数单调性得的解，然后分类讨论可得. 【详解】由已知时，，时，或， 所以或， 综上不等式的解集为， 故选：D. 6．A 【分析】利用正态分布性质可求得的值，再利用二项式定理的通项即可求出结果. 【详解】易知随机变量，其对称轴为， 又，所以，解得； 因此， 显然含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A 7．C 【分析】根据正态分布的性质，结合所给区间概率公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 由所给公式， 即， 所以， 因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为， 故选：C 8．C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 9．ACD 【分析】对于AC：利用赋值法分析求解；对于B：根据二项展开式的通项公式分析求解；对于D：整理可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：令，则； 对于选项B：因为的通项为， 可知含项为， 所以的值为，故B错误； 对于选项C：令，则； 令，则； 所以，故C正确； 对于选项D：令，则， 因为， 可知除以11的余数为， 则除以11的余数为，且除以11的余数为， 所以当时，除以11的余数为10，故D正确； 故选：ACD. 10．ABD 【分析】对A，利用回归直线经过样本中心点代入运算得解；对B，由方差的性质判断；对C，由正态分布的对称性判断即可；对D，根据独立性检验的性质判断即可. 【详解】对于A，经验回归方程经过，代入可得，故A正确； 对于B，由随机变量方差的性质知，故B正确； 对于C，由正态分布的对称性，， 则， 所以，故C错误； 对于D，由独立性检验，，故D正确. 故选：ABD. 11．BC 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，可判断选项A、B的正误； 由导数的几何意义可求在点处的切线方程，可判断选项C; 由方程的交点，可判断选项D的正误. 【详解】由题意，， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，取得极大值； 当时，，单调递减；故选项A错误，选项B正确； 在点处的切线斜率， 所以切线方程为：，即，故选项C正确； 当时，, 当时，取得最大值； 当时，, 所以当，方程有两个交点，则函数有两个零点， 故选项D错误. 故选：BC 12．/ 【分析】根据函数奇偶性得，再结合题设求出函数解析式结合指数、对数运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为： 13． 【分析】利用分布列的性质，求出值，再利用期望、方差的定义计算作答. 【详解】依题意：. 所以， 所以. 所以. 故答案为： 14． 【分析】依题意分和两种情况讨论．当时，构造，，求导，根据其单调性分析即可；当时，构造，根据其单调性分析可将题意中的恒成立问题转化为在上恒成立问题，进而分析即可得出答案． 【详解】依题意可得在上恒成立，（*） 当时，令， 则， 则在上单调递增， 所以，故（*）成立； 当时，即， 令，， 因函数与在上单调递增，故在上单调递增， 又，且， 则（*）成立，等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，（**） 令，，则， 若时，，此时在上单调递增， 所以，故（**）成立，即（*）成立； 若时，令，解得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以， 又，此时在上单调递减， 所以，所以，故（**）不成立，即（*）不成立． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 15．(1)A，B相互独立，理由见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先根据计数原理和组合数的概念得出从甲袋中一次性摸出两个小球，，事件A，事件B及事件AB包含的种类；再根据古典概型的概率公式得出，，；最后判断是否满足即可判断. （2）（ⅰ）先求出每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法及恰好摸四次就停止摸球包含的不同摸法；再根据古典概型的概率公式即可求解． （ⅱ）先求出每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法及恰好摸两次就停止摸球包含的不同摸法；再根据古典概型的概率公式即可求解． 【详解】（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，不同的组合有种； 摸到的两个小球颜色相同有两种情况：两个红球或两个白球.其中从三个红球中摸出两个红球，不同的组合有种；从三个白球中摸出两个白球，不同的组合有种；故事件A包含的组合有种. 摸到的两个小球的编号之和大于4有两种情况：编号2,3组合或编号3,3组合，其中编号2,3组合的不同组合有种；编号3,3组合的不同组合有种；故事件B包含的组合有种. 摸到的两个小球颜色相同且编号之和大于4有两种不同的组合方式：编号2,3红球组合和编号2,3白色组合. 所以根据古典概型的概率公式可得： ，， . 因为， 所以A，B相互独立． （2）（ⅰ）若每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法有种； 恰好摸四次就停止摸球指的是前三次中有一次摸到红球，两次摸到白球，第四次摸到白球，包含的不同摸法有种； 所以由古典概型的概率公式可得： 若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率为． （ⅱ）若每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法有种； 恰好摸两次就停止摸球包含两种情况：第一次摸到一红球一白球，第二次摸到两个白球或第一次摸到两个白球，第二次摸到一红球一白球，不同的摸法有种； 所以若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率为． 16．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由偶函数的性质得，求参数即可； （2）应用对数的运算性质求解方程的根； （3）由题设在上有解，应用导数研究右侧的单调性，进而求值域，即可得参数范围. 【详解】（1）由题知，的定义域为R，且为偶函数， ∴，即， 整理得恒成立，可得； （2）由（1）可知，， 方程可化为， ∴，则，整理得， 令，则，不等式可化为，解得（舍）或， ∴，可得，故方程的根为； （3）在上有零点， ∴在上有解， 设，，则， ∴在上单调递减，， ∴. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据矩形面积和为求出； （2）利用抽样比得出在中抽取人，在中抽取人，再利用古典概型的概率公式即可. 【详解】（1）根据题意可得 解得； （2）和的学生的频率之比为， 在中抽取人，在中抽取人， 要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，一共有种结果， 而抽取的名发言者分数差大于分有种结果， 抽取的名发言者分数差大于分的概率为. 18．(1)企业员工对AI工具的使用情况与性别有关 (2) 【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论； （2）应用分层抽样的等比例性质确定男女人数，确定有X的所有可能取值集合为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）零假设为：该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关. 根据列联表数据计算得： . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关”，此推断犯错误的概率不超过. 故分析认为企业员工对AI工具的使用情况与性别有关. （2）由题意知，抽取的7名员工中男员工有4名，女员工有3名. 则X可能的取值集合为， 因此，， ，， 所以. 19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）代入，求导，然后继续求导判断； （2）（i）对求二阶导，分，，讨论判断；（ii）依据题意得到，代入，对证明的式子两边取自然对化简为，然后换元，求导即可. 【详解】（1）当时，，． 令，则， 令，解得． 当时，，单减；当时，，单增． 所以，当时，取得极小值也是最小值， 所以，曲线切线斜率的最小值为． （2）（i），则， 若有两个不同的极值点，则在上存在两个变号零点． 令． 当时，，单增，此时至多存在一个零点，舍去． 当时，．当时，，单增，当时，，单减．所以，当时，取极大值． 令，则，所以时，，单减， 当时，单增，所以存在极小值也是最小值． 所以，对，恒有的极大值． 当时，，的图象在连续不断， 由零点存在定理，存在，使得．当时，， 同理，存在，使得． 所以，对，在上存在两个不同的变号零点． 综上，a的取值范围为． （ii）不妨设，是的两个零点，且， 则，， 两式相减得：，两式相加得：， 于是要证，只需证，只需证， 即证，即证（*）． 事实上，令，，， 所以，所以不等式（*）成立，所以原不等式成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $